Devoir Surveillé n˚1

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BTS DOMOTIQUE Probabilités Lundi 29 septembre 2008

Devoir Surveillé n˚1

EXERCICE n^o 1

Un lecteur d’une bibliothèque est passionné de romans policiers et de biographies. Cette bibliothèque lui propose 150 romans policiers et 50 biographies.

40 % des écrivains de romans policiers sont français et 70 % des écrivains de biographies sont français.

Le lecteur choisit un livre au hasard parmi les 200 ouvrages.

1. La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier est :

(a) 0,4 (b) 0,75 (c) 1

150 2. Le lecteur ayant choisi un roman policier, la probabilité que l’auteur soit français est :

(a) 0,3 (b) 0,8 (c) 0,4

3. La probabilité que Ie lecteur choisisse un roman policier français est :

(a) 1,15 (b) 0,4 (c) 0,3

4. La probabilité que le lecteur choisisse un livre d’un écrivain français est :

(a) 0,9 (b) 0,7 (c) 0,475

5. La probabilité que le lecteur ait choisi un roman policier sachant que l’écrivain est français est : (a) 4

150 (b) 12

19 (c) 0,3

6. Le lecteur est venu 20 fois à la bibliothèque ; la probabilité qu’il ait choisi au moins un roman policier est :

(a) 1−(0,25)²⁰ (b) 20×0,75 (c) 0,75×(0,25)²⁰

EXERCICE n^o 2

Dans un village de vacances, trois stages sont proposés aux adultes et aux enfants. Ils ont lieu dans la même plage horaire ; leurs thèmes sont : la magie, le théâtre et la photo numérique.

150 personnes dont 90 adultes se sont inscrites à l’un de ces stages, et parmi les 150 personnes inscrites :

• la magie a été choisie par la moitié des enfants et 20 % des adultes,

• 27 adultes ont opté pour la photo numérique ainsi que 10 % des enfants.

Recopier et compléter le tableau suivant :

Magie Théâtre Photo numérique Total

Adultes Enfants

Total 150

On appelle au hasard une personne qui s’est inscrite à un stage. On utilisera les notations suivantes :

• A l’évènement « la personne appelée est un adulte » ;

• M l’évènement « la personne appelée a choisi la magie » ;

• T l’évènement « la personne appelée a choisi le théâtre » ;

• N l’évènement « la personne appelée a choisi la photo numérique ».

1. (a) Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un enfant ?

(b) Quelle est la probabilité que la personne appelée ait choisi la photo sachant que c’est un adulte ? (c) Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un adulte ayant choisi le théâtre ?

(d) Montrer que la probabilité que la personne appelée soit un adulte ou une personne ayant choisi le théâtre est 0,76.

http://nathalie.daval.free.fr -1-

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2. Le directeur du village désigne une personne ayant choisi la magie. Il dit qu’il y a deux chances sur trois pour que ce soit un enfant. A-t-il raison ? Justifier votre réponse.

EXERCICE n^o 3

Une revue professionnelle est proposée en deux versions : une édition papier et une édition électronique consultable via internet. Il est possible de s’abonner à une seule des deux éditions ou de s’abonner à l’édition papier et à l’édition électronique. L’éditeur de la revue a chargé un centre d’appel de démarcher les personnes figurant sur une liste de lecteurs potentiels.

On admet que lorsqu’un lecteur potentiel est contatcté par un employé du centre d’appel, la probabilité qu’il s’abonne à l’édition papier est égale à 0,2 ; s’il s’abonne à l’édition papier, la probabilité qu’il s’abonne aussi à l’édition électronique est égale à 0,4 ; s’il ne s’abonne pas à l’édition papier, la probabilité qu’il s’abonne à l’édition électronique est égale à 0,1.

Partie I

Une personne figurant sur la liste de lecteurs potentiels est contactée par un employé du centre d’appel. On note :

• A l’évènement « la personne s’abonne à l’édition papier »,

• B l’évènement « la personne s’abonne à l’édition électronique », 1. (a) Faire un arbre récapitulant cette situation.

(b) Donner la probabilité deB sachant A et la probabilité de B sachant A.

2. (a) Calculer la probabilité que la personne contactée s’abonne à l’édition papier et à l’édition électronique.

(b) Justifier que la probabilité de l’évènement B est égale à 0,16.

(c) Les évènements Aet B sont-ils indépendants ?

3. On suppose que la personne contactée s’est abonnée à l’édition électronique. Quelle est alors la probabilité qu’elle soit aussi abonnée à l’édition papier ?

Partie II

Pour chacune des personnes contactée, le centre d’appel reçoit de l’éditeur de la revue :

• 2 euros si la personne ne s’abonne à aucune des deux éditions ;

• 10 euros si la personne s’abonne uniquement à l’édition électronique ;

• 15 euros si la personne s’abonne uniquement à l’édition papier ;

• 20 euros si la personne s’abonne aux deux éditions.

1. Reproduire et compléter, sans donner de justification, le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la somme reçue par le centre d’appel pour une personne contactée.

Somme reçue en euro 2 10 15 20

Probabilité

2. Proposer, en expliquant votre démarche, une estimation de la somme que le centre d’appel recevra de l’éditeur s’il parvient à contacter 5000 lecteurs potentiels.

EXERCICE n^o 4

Une urne contient 4 boules rouges et 2 boules noires indiscernables au toucher.

1. On effectue au hasard un tirage sans remise de deux boules de l’urne.

• On noteA0 l’évènement : « on a obtenu aucune boule noire » ;

• On noteA1 l’évènement : « on a obtenu une seule boule noire » ;

• On noteA2 l’évènement : « on a obtenu deux boules noires ».

(a) Combien y a t-il de tirages possibles ? (b) Calculer les probabilités de A0, A1 et A2.

2. Après ce premier tirage, il reste donc 4 boules dans l’urne. On effectue à nouveau au hasard un tirage sans remise de deux boules de l’urne. On note B l’évènement : « on a obtenu une boule noire au tirage n˚2 ».

(a) Calculer PA0(B), PA1(B) et PA2(B).

(b) En déduire que p(B) = 15⁸.

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Correction du DS n˚1

EXERCICE n^o 1

On peut s’aider de l’arbre de probabilités pondéré suivant :

Roman policier 0,75

Français 0,4

Etranger 0,6

Biographie

0,25 0,7 Français

Etranger 0,3

1. Réponse (b) : P(R) = 0,75.

2. Réponse (c) : PR(F) = 0,4.

3. Réponse (c) : P(R∩F) = 0,75×0,4 = 0,3.

4. Réponse (c) : P(F) =P(R∩F) +P(B∩F) = 0,75×0,4 + 0,25×0,7 = 0,475.

5. Réponse (b) : PF(R) = P(R∩F)

P(F) = 0,3

0,475 = 300 475 = 12

19. 6. Réponse (a) : 1−P(B)²⁰= 1−(0,25)²⁰.

EXERCICE n^o 2 Tableau récapitulatif :

Magie Théâtre Photo numérique Total

Adultes 18 45 27 90

Enfants 30 24 6 60

Total 48 69 33 150

1. (a) P(A) = 60 150 = 2

5 = 0,4.

(b) PA(N) = 27 90 = 3

10 = 0,3.

(c) P(A∩T) = 45 150 = 3

10 = 0,3.

(d) P(A∪T) =P(A) +P(T)−P(A∩T) = 90 150+ 69

150 − 45

150 = 114 150 = 19

25 = 0,76.

2. PM(A) = 30 48 = 5

8 6= 2

3 donc, il a tort.

EXERCICE n^o 3 Partie I

1. (a) On obtient l’arbre suivant :

0,2 A

0,4 B 0,6 B

A

0,8 0,1 B

0,9 B

(4)

(b) PA(B) = 0,6 et P_A(B) = 0,9.

2. (a) P(A∩B) =P(A)×PA(B) = 0,2×0,4 = 0,08.

(b) P(B) =P(A∩B) +P(A∩B) =P(A)×PA(B) +P(A)×P_A(B) = 0,2×0,4 + 0,8×0,1 = 0,16.

(c) P(A)×P(B) = 0,2×0,16 = 0,032 6=P(A∩B). Donc,A etB ne sont pas indépendants.

3. PB(A) = P(A∩B)

P(B) = 0,08

0,16 = 0,5.

Partie II

1. Somme reçue en euro 2 10 15 20

Probabilité 0,72 0,08 0,12 0,08

2. La moyenne de la somme reçue par appel correspond à l’espérance mathématique, d’où : E = 2×0,72 + 10×0,08 + 15×0,12 + 20×0,08 = 5,64.

Donc, pour 5000 lecteurs, le centre d’appel reçevra 5000×5,64 = 28200 euros.

EXERCICE n^o 4

1. (a) On effectue un tirage de 2 boules parmi 6, le nombre d’issues possibles est donc de 6 2

!

= 15.

(b) P(A0) = 2 0

!

× 4 2

!

6 2

! = 1×6 15 = 2

5 = 0,4.

P(A1) = 2 1

!

× 4 1

!

6 2

! = 2×4 15 = 8

15 = 0,53.

P(A2) = 2 2

!

× 4 0

!

6 2

! = 1×1 15 = 1

15 = 0,07.

2. (a) PA0(B) = 2 1

!

× 2 1

!

4 2

! = 2×2 6 = 2

3 = 0,67.

PA1(B) = 1 1

!

× 3 1

!

4 2

! = 1×3 6 = 1

2 = 0,5.

L’événement B sachantA2 est impossible puisque si l’on tire deux boules noires au premier tirage, il ne reste aucune boule noire donc : PA2(B) = 0.

(b) P(B) =P(A0∩B) +P(A1∩B) +P(A2∩B)

=P(A0)×PA0(B) +P(A1)×PA1(B) +P(A2)×PA2(B)

= 2 5 ×2

3 + 8 15× 1

2+ 1

15×0 = 8 15.