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Terminales S3&4 – spécialité mathématiques mercredi 16 novembre 2016
Devoir surveillé n ◦ 2
Durée : 1 heure
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée
Exercice 1 (3 points). — Déterminer l’ensemble des entiers x tels que 5x≡3 [8].
Exercice 2 (4 points). — Pour tout n ∈N, on poseAn = 6n+ 13n+1.
1. Calculer A0, A1, A2 et A3 et vérifier que chacun de ces nombres est divisible par 7.
2. En utilisant les congruences, démontrer que, pour tout n∈N, An est divisible par 7.
Exercice 3 (6 points). — On considère l’équation (E) x2+y2 −8z = 6 où x, y et z sont des entiers.
On suppose que (a;b;c)∈Z3 est solution de (E).
1. Montrer que a2+b2 ≡6 [8].
2. a. Soit n ∈Z. Compléter (directement sur l’énoncé) le tableau suivant :
Reste den modulo 8 0 1 2 3 4 5 6 7
Reste den2 modulo 8
b. Déduire de la question précédente les restes possibles dans la division euclidienne de a2+b2 par 8.
3. Que peut-on conclure des questions précédentes à propos de l’équation (E) ?
Exercice 4 (7 points).
1. Justifier que, pour tout entier n>2, 2n ≡0 [4].
2. Déterminer, pour tout n∈N, le reste de 3n modulo 4 en fonction de n.
3. On considère quatre entiers consécutifs a, b, c etd.
a. Démontrer que, pour tout n ∈N∗,an+bn+cn+dn≡1 + 2n+ 3n [4].
b. Déduire des questions précédentes, pour tout n ∈ N∗, le reste dans la division euclidienne de an+bn+cn+dn par 4 suivant la valeur de n.
Exercice 5 (facultatif). — Résoudre l’équation 3x+ 1 = 5y + 7z d’inconnue (x;y;z)∈N3.
