Première générale – spécialité mathématiques – Groupe M3 mardi 05 novembre 2019
Devoir surveillé n ◦ 2
Durée : 1 heure
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
Exercice 1. (3 points) — Dans chacun des cas suivants, déterminer à partir de quel rang (un) est définie et calculer ses 3 premiers termes.
a)un =n2−3 b)un =√
n−5 c)un= 3 n.
Exercice 2. (3 points) — Dans chacun des cas suivants, calculer les 3 premiers termes de la suite (un).
a)
u0 = 1
pour tout n∈N, un+1=u2n−3 b)
u3 = 1
pour tout n>3, un+1 =n−un
c)
u0 = 2
pour toutn ∈N, un+1 = (n+ 1)un n+ 2 Exercice 3. (8 points) — Étudier les variations des suites suivantes.
1. (un) est définie par : pour tout n ∈N, un =n2+n−1.
2. (vn) est définie par : pour tout n∈N, vn = n+31 . 3. (wn) est définie par : pour tout n∈N, wn = 3n.
4. (tn) est définie par : t0 = 0 et, pour tout n∈N, tn+1 =tn−2n.
Exercice 4. (6 points) — On considère la suite (un) définie par : pour toutn ∈N, un = 3n
(n2+ 2)2n.
1. À l’aide de la calculatrice, conjecturer que (un) est monotone à partir d’un rang que l’on déterminera.
2. Justifier que, pour toutn ∈N, un>0.
3. Montrer que, pour tout n ∈N, un+1
un −1 = n(n−4) 2((n+ 1)2+ 2). 4. Valider ou infirmer la conjecture faite en question 1.
Exercice 5. (bonus) — On considère la suite (un) définie par u0 = 2 et, pour tout n ∈ N, un+1 = 1− u1
n.
Montrer que la suite (u3n) est constante.
