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Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle NOM : ………..; Prénom : ………
Devoir surveillé n° 8 (2 heures)
Exercice 1 (21 points)
Cet exercice comporte 8 questions indépendantes. Aucune justification n’est demandée pour cet exercice.
Vous devez indiquer pour chaque affirmation si elle est vraie ou fausse.
Vous cocherez les cases du tableau donné à la fin de la page 2.
Une réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte enlève 0,25 point, l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de points. Un éventuel total négatif sera ramené à zéro.
1. Une urne contient 75 boules blanches et 25 boules noires. L’expérience élémentaire consiste à tirer une boule. Les boules ont toutes la même probabilité d’être tirées. On effectue n tirages indépendants et avec remise, n désignant un entier supérieur à 10. Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de boules blanches tirées.
(a) X suit une loi binomiale de paramètres n et 1 4 . ( b ) P(X=0 )= 1
22n.
( c ) P(X<5 )=1−P(X>5 ).
( d ) E(X)=0 ,7 5n
2. La durée d’attente en seconde de la caisse d’un supermarché est une variable aléatoire Y qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,01. Alors :
(a) La densité de probabilité de Y est la fonction f définie sur [0;+õ[ par : f(t)=e-0,01t (b) Pour tout réel t positif, P(YÂt)=1−e-0,01t
(c) La probabilité d’attendre moins de 3 minutes à cette caisse est, à 0,01 près, égale à 0,16 (d) Il y a plus d’une chance sur deux que l’attente à cette caisse soit supérieure à une minute.
3. On donne le cube ABCDEF GH, d’arête de longueur 1, et les milieux I et J des arêtes [AB] et [CG].
(a) ÄAC.ÄAI = 1 2 (b) ÄAC.ÄAI =ÄAI.ÄAB
(c) ÄAB.ÄIJ =ÄAB.ÄIC (d) ÄAB.ÄIJ =AB×IC×cos
π 3
4. Soient A, B et C trois points du plan. On appelle I le barycentre des points A et B affectés respectivement des coefficients 3 et -2.
"Si G le barycentre des points A, B et C affectés respectivement des coefficients 3, -2 et 1 alors G est le milieu de [CI]".
5. Soient A, B et C trois points du plan et G le barycentre de A, B et C affectés respectivement des coefficients 3,−2 et1.
"L’ensemble des points M du plan tels que 3ÄMA−2ÄMB+ÄMC=1 est le cercle de centre G et de rayon 1.
6. Soit (E) l’équation différentielle y′=-3y−2.
"Les solutions de (E) sur Ë sont les fonctions définies sur Ë par f(x)=ke-3x+2
3 où k est un réel quelconque"
7. "La fonction f définie sur Ë par f(x)=
(
x2+3x+1)
ex est une solution sur Ë de l’équation différentielle y′−y=(2x+3)ex "8. Soit
(
O; Åi; Åj; Åk)
un repère orthonormal de l’espace. On considère les points A(2;4;1), B(0;4;-3), C(3;1;-3), D(1;0;-2), E(3;2;-1), I
3 5;4;-9
5
(a) Une équation du plan (ABC) est : 2x+2y−z−11=0.
(b) Le point E est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).
(c) Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.
(d) La droite (CD) est donnée par la représentation paramétrique suivante : (CD)
x=-1+2ty=-1+t
z=1−t
(
t☻Ë)
(e) Le point I est sur la droite (AB).
E
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Exercice 2 (9 points)
Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Vous indiquerez votre réponse (A , B , C o u D ) d a n s l e t a b l e a u à la fin de la page 2. A u c u n e j u s t i fi c a t i o n n’e s t d e ma n d é e .
D a n s l a p a r t i e A , u n e r é p o n s e e x a c t e r a p p o r t e 2 p o i n t s ; u n e r é p o n s e i n e x a c t e e n l è v e 0 . 5 p o i n t ; l’a b s e n c e d e r é p o n s e e s t c o m p t é e 0 p o i n t . D a n s l a p a r t i e B , u n e r é p o n s e e x a c t e r a p p o r t e 1 p o i n t ; u n e r é p o n s e i n e x a c t e e n l è v e 0 . 2 5 p o i n t ; l’a b s e n c e d e r é p o n s e e s t c o m p t é e 0 p o i n t . S i l e t o t a l e s t n é g a t i f , l a n o t e e s t r a m e n é e à 0 .
Les parties A et B sont indépendantes
P a r t i e A : P o u r r é a l i s e r d e s é t i q u e t t e s d e p u b l i p o s t a g e , u n e e n t r e p r i s e u t i l i s e d e u x b a n q u e s d e d o n n é e s : B1 , contenant 6000 adresses, dont 120 sont erronées et 5880 sont exactes.
B2 , contenant 4000 adresses, dont 200 sont erronées et 3800 sont exactes.
1. On prélève au hasard, avec remise, 10 étiquettes parmi les 6000 réalisées à l’aide de B1. La probabilité qu’exactement trois de ces étiquettes comportent une adresse erronée est :
A :
120 3 +
5880 7
6000 10
B : 3
120 C :
10 3 ×
120 6000
3×
5880 6000
7
D :
10 3 ×
3 120
3×
7 5880
7
2. Parmi les 10000 étiquettes, on en choisit une au hasard. Sachant que l’étiquette comporte une adresse exacte, la probabilité qu’elle ait été réalisée à l’aide de B1 est :
A : 0,98 B : 0,4×0,95
0,6×0,98×+0,6×0,02 C : 0,6×0,98 D : 0,6×0,98 0,6×0,98+0,4×0,95 Partie B : L’espace est rapporté à un repère orthonormal
(
O; Åi; Åj; Åk)
. On considère :- les points A(0;0;3), B(2;0;4), C(-1;1;2) et D(1;-4;0). - les plans
( )
P1 : 7x+4y−3z+9=0 et( )
P2 : x−2y=0.- les droites
( )
∆1 et( )
∆2 définies par leurs systèmes d’équations paramétriques respectifs
x=-1+ty=-8+2t z=-10+5t
(
t☻Ë)
x=7+2t′y=8+4t′ z=8−t′
(
t′☻Ë)
A B C D
1. Le plan ( )P1 est Le plan (ABC) Le plan (BCD) Le plan (ACD) Le plan (ABD)
2. La droite ( )∆1 contient Le point A Le point B Le point C Le point D
3. Position relative de ( )∆1 et ( )P1 ( )∆1 est strictement parallèle à ( )P1 ( )∆1 est incluse dans ( )P1 ( )∆1 coupe ( )P1 ( )∆1 est orthogonale à ( )P1
4. Position relative de ( )∆1 et de ( )∆2 ( )∆1 est strictement parallèle à ( )∆2 ( )∆1 et ( )∆2 sont confondues ( )∆1 et ( )∆2 sont sécantes
( )∆1 et ( )∆2 sont non coplanaires
5. L’intersection de ( )P1 et ( )P2 est une droite dont une représentation paramétrique est
x=ty=-2+1 2t
z=3t
x=2ty=t
z=3+6t
x=5ty=1−2t
z=t
x=-1+ty=2+t z=-3t
1a 1b 1c 1d
2a 2b 2c 2d
3a 3b 3c 3d
4
Note /21 :
5 6 7 Ex 1
8a 8b 8c 8d 8e
A1
A2
Note /9 :
B1 B2
B3
Note /30 :
B4 Ex 2
B5
