1èreBT S DOM OT IQU E Limites Lundi 20 octobre 2008
Devoir surveillé n˚2
EXERCICE no 1
Déterminer les limites suivantes : 1. lim
x→+∞ −3x2+ 4x+ 1 2. lim
x→2−
x+ 3 x2−4
3. lim
x→−∞
x2−5x4+ 3x−1 x4−x2−1
4. lim
x→0+
x2
2 −x+ 1 + lnx
5. lim
x→+∞
lnx x2 +x3
ex
6. lim
x→−∞ ex+e−x+√2−3x EXERCICE no 2
Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O;−→ı;−→), on donne la courbe représentativeCf d’une fonctionf définie sur l’intervalle ]− ∞;−2 [∪]−2 ; 3 [∪] 3 ; +∞[.
On a tracé sur le graphique les asymptotes àCf (droites en pointillés), ainsi que les tangentes horizontales.
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1. À l’aide des indications ci-dessus, déterminer les limites suivantes : a) lim
x→−∞f(x) b) lim
x→−2−
f(x) c) lim
x→−2+f(x) d) lim
x→3−
f(x) e) lim
x→3+f(x) f) lim
x→+∞f(x).
2. Combien la courbe admet-elle d’asymptotes ? Donner une équation de chacune d’elle.
3. Établir le tableau de variation complet def. (avec le signe de la dérivée ainsi que les limites).
EXERCICE no 3
Soitf la fonction définie sur ] 1 ; +∞[ parf(x) =x2+ 3x+ 1
x−1 etCf sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal (O;−→ı;→−).
1. (a) Déterminer la limite def(x) lorsquextend vers +∞. (b) Déterminer la limite def(x) lorsquextend vers 1.
(c) La courbeCf admet-elle des asymptotes ? Si oui, en donner les équations.
2. (a) Montrer quef(x) peut se mettre sous la forme quef(x) = 4 +x+ 5 x−1.
(b) En déduire que la courbe représentativeCf admet une asymptote obliqueDdont on donnera une équation.
3. Etudier la position deCf par rapport àD.
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Correction du DS n˚2
EXERCICE no 1 Calcul de limites :
1. On a une forme indéterminée du type «∞ − ∞» donc, on factorise par le terme de plus haut degré : f(x) =−3x2+ 4x+ 1 =x2
−3 + 4 x+ 1
x2
.
x→+∞lim x2= +∞
x→+∞lim
−3 + 4 x+ 1
x2
=−3
par produit : lim
x→+∞ f(x) = -∞.
2. lim
x→2−
(x+ 3) = 5 lim
x→2−
x2−4= 0−
par quotient : lim
x→2−
x+ 3 x2−4
= -∞.
3. On a une forme indéterminée du type « ∞
∞ » donc, on factorise : f(x) = x2−5x4+ 3x−1
x4−x2−1 = x4
1
x2 −5 + 3 x3 − 1
x4
x4
1− 1 x2 − 1
x4 =
1
x2 −5 + 3 x3 − 1
x4 1− 1
x2 − 1 x4
x→−∞lim 1
x2 −5 + 3 x3 − 1
x4
=−5
x→−∞lim
1− 1 x2 − 1
x4
= 1
par quotient : lim
x→−∞ f(x) = -5 .
4. lim
x→0+
x2
2 −x+ 1
= 1
x→0lim+ lnx=−∞
par somme : lim
x→0+
x2
2 −x+ 1 + lnx
=−∞
5. lim
x→+∞
lnx x2 = 0
x→+∞lim x3 ex = 0
par somme : lim
x→+∞
lnx x2 +x3
ex
= 0 .
6.
x→−∞lim ex= 0
x→−∞lim e−x= +∞
x→−∞lim 2−3x= +∞et lim
X→+∞
√X = +∞
par somme : lim
x→−∞ ex+e−x+√2−3x= +∞.
EXERCICE no 2
1. Par lecture graphique, on obtient : (a) lim
x→−∞f(x) = -1 . (b) lim
x→−2−
f(x) = -∞. (c) lim
x→−2+f(x) = +∞.
(d) lim
x→3−f(x) = +∞. (e) lim
x→3+f(x) = -∞. (f) lim
x→+∞f(x) = +∞.
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2. La courbe admet quatre asymptotes d’équations :
x=-2 ; x=3 ; y=-1 ; y=x-5 .
3. Tableau de variation def :
x −∞ −2 0,5 3 5 7 +∞
f′(x) − − 0 + + 0 − 0 +
−1 +∞ +∞ 6 +∞
f ց ց ր ր ց ր
−∞ 1 −∞ 3
EXERCICE no 3
1. (a) Cette limite est un Forme Indéterminée de type « ∞
∞ », il faut donc factoriser par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur :
f(x) = x2 1 + 3x+x12
x 1−1x
=x 1 + 3x+x12
1−x1
.
x→+∞lim x= +∞
x→+∞lim
1 + 3 x+ 1
x2
= 1
x→+∞lim
1− 1 x
= 1
par produit puis quotient : lim
x→+∞ f(x) = +∞.
(b) lim
x→1(x2+ 3x+ 1) = 5
xlim→1(x−1) = 0+
par quotient : lim
x→1 f(x) = +∞.
(c) D’après la question 1.(b), la courbe Cf admet une asymptote verticale d’équationx= 1 . 2. (a) 4 +x+ 5
x−1 =(4 +x)(x−1) + 5
x−1 = 4x+x2−4−x+ 5
x−1 =x2+ 3x+ 1
x−1 =f(x).
(b) f(x)−(x+ 4) = 4 +x+ 5
x−1 −x−4 = 5 x−1.
x→+∞lim 5 = 5
x→+∞lim (x−1) = +∞
par quotient : lim
x→+∞[f(x)−(x+ 4)] = 0 .
Donc, la droite d’équationy=x+ 4 est une asymptote oblique à la courbeCf .
3. f(x)−(x+ 4) = 5
x−1 or, 5>0
x >1 doncx−1>0
d’oùf(x)−(x+ 4)>0.
On en déduit que pour toutxsupérieur à 1, f(x)> x+ 4 et donc que Cf est toujours au dessus deD.
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