www.etude-generale.com 1ère S Matière : Mathématiques
Professeur : Yahya MATIOUI
Les fonctions numériques
Généralités sur les fonctions numériques (Rappelle et complément)
Dé…nition générale d’une fonction
Dé…nition 1 Une fonction est une relation qui permet d’associer à un élément x, au plus un autre élément appelé image: On note cette fonction par : f; g; h; :::
On représente la fonction f par :
f E ! F
x 7 ! f(x)
* L’image d’un élément x par f sera notée f(x):
* L’ensemble E appelé ensemble de départ.
* L’ensemble F appelé ensemble d’arrivé.
Remarque 2 Il faut faire la di¤érence entre la fonction f qui représente une relation et f(x) qui représente l’image de x par f qui est un élément.
Exemple 3 Soit f la fonction numérique de la variable réelle x dé…nie par : f [ 1;4[ ! R
x 7 ! x2+ 2x 3
On a :f(1) = 12 + 2 1 3 = 0: C’est-à-dire 0 est l’image de1 par la fonction f:
L’ensemble de dé…nition d’une fonction
Dé…nition 4 Soit f la fonction numérique de la variable réelle x:
L’ensemble de dé…nition de la fonction f est l’ensemble des nombres réelsx qui possèdent une image par cette fonction. L’ensemble de dé…nition de la fonctionf est noté: Df tel que :
Df =fx2R= f(x)2Rg
Exemple 5 Déterminer l’ensemble de dé…nition des fonctions numériques suivantes f; h; g et M telles que :
f(x) = 2x
; h(x) =p
x 1 ; g(x) = x2+ 4
et M(x) = x3+ 5x 1
Pour la fonction f :
Df = fx2R= x 16= 0g
= fx2R= x6= 1g
= ] 1;1[[]1;+1[ Pour la fonction h:
Dh = fx2R= x 1 0g
= fx2R= x 1g
= [1;+1[ Pour la fonction g :
Dg = x2R= x2 16= 0 On résout l’équation: x2 1 = 0:
x2 1 = 0 () (x 1)(x+ 1) = 0 () x= 1 ou x= 1 Donc
Dg = fx2R= x6= 1 et x6= 1g
= R n f 1;1g
= ] 1; 1[[] 1;1[[]1;+1[ Pour la fonction M :
M est une fonction polynomiale. Donc : DM =R:
Égalité de deux fonctions
Dé…nition 6 Soient f et g deux fonctions numériques dé…nies respectivement sur Df et Dg: Les deux fonctions f et g sont égales si, et seulement si :
Ces deux fonctions ont même ensemble de dé…nition. C’est-à-dire: Df =Dg: Pour tout réelx de l’ensemble de dé…nition Df; on a : f(x) =g(x):
Remarque 7 En particulier deux fonctions sont égales si, et seulement si, leurs représen- tations graphiques relativement à un repère donné sont confondues.
Exemple 8 On considère les deux fonctions numériquesf etg dé…nies par :f(x) =jx+ 2j et g(x) =p
x2+ 4x+ 4
Est-ce-que les fonctions f et g sont égales ?
Graphe d’une fonction
Dé…nition 9 Soit f la fonction numérique dé…nie sur Df: (Df R)
La représentation graphique ou courbe de la fonctionf dans un repère orthonormé(O;!i ;!j ) est l’ensemble des points M(x; f(x))noté (Cf) tel que x2Df: Autrement dit :
(Cf) = fM(x; f(x))= x2Dfg
Fonction paire - Fonction impaire - Fonction périodique
Fonction paire.
Dé…nition 10 Soit f la fonction numérique de la variable réelle x dé…nie sur Df. La fonction f est dite paire si, et seulement si :
Pour tout x2Df ,on a : x2Df: Pour tout x2Df; on a : f( x) =f(x):
Interprétation géométrique de la fonction paire.
Propriété 11 Soit f une fonction numérique de la variable réelle x et (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé(O;!i ;!j ). La fonctionf est paire si, et seulement si sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Remarque 12 Pour étudier une fonction paire f; il su¢ t de l’étudier sur : E = Df \ [0;+1[:
Exemple 13 Soitf la fonction numérique de la variable réellexdé…nie par:f(x) =x2+jxj: et (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;!i ;!j ).
1. Montrer que la fonctionf est paire, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
f la fonction numérique dé…nie par : f(x) =x2+jxj: Donc :Df =R: Pour tout x2Df; on a : x2Df: (1):
Soit x2Df: Calculons f( x) .
f( x) = ( x)2+j xj=x2+jxj=f(x): (2)
La courbe(Cf) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Fonction impaire
Dé…nition 14 Soit f la fonction numérique de la variable réelle x dé…nie sur Df. La fonction f est dite impaire si, et seulement si :
Pour tout x2Df, on a : x2Df:
Pour tout x2Df; on a : f( x) = f(x):
Interprétation géométrique de la fonction impaire
Propriété 15 Soit f une fonction numérique de la variable réelle x et (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;!i ;!j ). La fonction f est impaire si, et seule- ment si sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Exemple 16 Soit f la fonction numérique de la variable réelle x dé…nie par : f(x) = x2x+1: et (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;!i ;!j ).
1. Montrer que la fonction f est impaire, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
L’ensemble de dé…nition de la fonction f est : Df =R : Pour tout x de Df; on a : x2Df: (1):
Soit x2Df: Calculons f( x) : f( x) = ( x)2+ 1
x = x2+ 1
x = f(x): (2) D’après (1) et (2); on déduit quef est une fonction impaire.
La courbe(Cf) est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Fonction périodique Dé…nition 17 .
Soit f :Df !R et soit T 2]0;+1[. On dit que T est une période pour f si : pour tout x2Df; (x+T)2Df et f(x+T) =f(x):
Exemple 18 Soit f la fonction numérique dé…nie sur R par : f(x) = 1
2sin (2x) cosx Montrons que 2 est une période de f :
(8x2R); x+ 2 2R (1) Soit x2R:
f(x+ 2 ) = 1
2sin (2 (x+ 2 )) cos (x+ 2 )
= 1
2sin (2x+ 4 ) cos (x)
= 1
2sin (2x) cos (x) =f(x) (2) D’après (1) et (2) on en déduit que 2 est une période de f:
Remarque 19 Pour étudier une fonction périodique de périodeT, il su¢ t de l’étudier sur un
intervalle deRde longueurT: Très souvent, on choisit un des deux intervalles [0; T[ ou 2T;T2 :
Les variations d’une fonction numérique
Dé…nition 20 Soit f une fonction numérique dé…nie sur l’intervalle I:
f est croissante sur l’intervalle I si pour tout x1 2 I, pour tout x2 2 I; x1 x2 alors f(x1) f(x2):
f est strictement croissante sur l’intervalleI si pour toutx1 2I, pour toutx2 2I; x1 < x2 alors f(x1)< f(x2)
f est décroissante sur l’intervalle I si pour tout x1 2 I, pour tout x2 2 I; x1 x2 alors f(x1) f(x2):
f est strictement décroissante sur l’intervalle I si pour tout x1 2 I, pour tout x2 2 I;
x1 < x2 alors f(x1) f(x2):
f est constante sur l’intervalle I s’il existe un réel k tel que pour tout x2I; f(x) = k:
La fonctionf est dite monotone surI si et seulement si elle est croissante ou décroissante sur I:
La fonction f est dite strictement monotone sur I si et seulement si elle est strictement croissante ou strictement décroissante sur I:
Exemple 21 Soit f la fonction numérique dé…nie sur Rn f 1g par : f(x) = x+11 : Étudier la monotonie de la fonction f sur les intervalles ] 1;+1[ et ] 1; 1[: Étude des variations
L’étude des variations d’une fonction f consiste à déterminer les intervalles de Df sur lesquels cette fonction est croissante ou décroissante. Le résultat de cette étude permet de construire un tableau de variations.
Pour construire le tableau des variations de la fonction f sur Df on détermine les inter- vallesI contenus dans Df sur lesquels f est monotone, c’est-à-dire soit croissante, soit décroissante. On note les résultats obtenus dans un tableau où des ‡èches indiquent la croissance ou la décroissance de f:
Exemple 22 Soit f la fonction numérique dé…nie sur R qui véri…e : f est croissante sur les intervalles] 1; 1[ et [2;+1[:
f est décroissante sur l’intervalle[ 1;2] et f( 1) = 2 et f(2) = 1:
Donner le tableau de variations de la fonction f
Taux de variations d’une fonction
Propriété 23 Soitf une fonction numérique dé…nie sur l’intervalleI:pour tousxetydeux éléments distincts de I: Le taux de variation de la fonction f entre x et y est : f(x)x yf(y):
Si pour tous x et y deux éléments de I on a : f(x)x yf(y) 0 alors f est croissante sur I:
Si pour tousxetydeux éléments deI on a: f(x)x yf(y) 0alorsf est strictement croissante sur I:
Si pour tous x et y deux éléments de I on a : f(x)x yf(y) 0 alors f est décroissante sur I:
Si pour tous x et y deux éléments de I on a : f(x)x yf(y) 0 alors f est strictement décroissante sur I:
Si pour tous x et y deux éléments de I on a : f(x)x yf(y) = 0 alors f est constante sur I:
Exemple 24 Soit f la fonction numérique dé…nie sur R par : f(x) =x+ 1
x
1. Soient x et y deux éléments distincts de R : Montrer que : f(x)x yf(y) = xyxy1: 2. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur [1;+1[:
Extremum d’une fonction
Dé…nition 25 Soit f une fonction numérique dé…nie sur un intervalle I et a un élément de I:
1. On dit que f(a) est une valeur maximale de la fonction f sur l’intervalle I si, et seulement si f(x) f(a) pour tout x2I:
2. On dit que f(b) est une valeur minimale de la fonction f sur l’intervalle I si, et seulement si f(x) f(b) pour tout x2I:
Remarque 26 Un extremum est un maximum ou un minimum.
Exemple 27 On considère la fonction f dé…nie par :
Déterminer la valeur maximale et minimale de f sur [ 3;4]:
Fonction majorée, fonction minorée et fonction bornée
Dé…nition 28 .
Soit f une fonction dé…nie sur un intervalle I: On dit que : f est majorée sur I : 9M 2R; 8x2I; f(x) M;
f est minorée sur I : 9m2R; 8x2I; f(x) m;
f est bornée sur I : f est majorée et minorée : 9M 2R; 8x2I; jf(x)j M:
Exemple 29 On considère f la fonction numérique dé…nie par : f(x) = 2x2+ 4x+ 1
Montrer que la fonction f est majorée par 3:
Il faut montrer que : (8x2R); f(x) 3:
Soit x2R:
f(x) 3 = 2x2+ 4x+ 1 3
= 2x2+ 4x 2
= 2 x2 2x+ 1
= 2 (x 1)2 0 Donc
(8x2R); f(x) 3:
Ceci signi…e que la fonction f est majorée par 3:
Exemple 30 On considère f la fonction numérique dé…nie par : f(x) = x2 + 4x+ 1
x2+ 1 Montrer que la fonction f est minorée par 1:
Il faut montrer que : (8x2Df); f(x) 1:
On a
Df = x2R= x2+ 16= 0
= R Soit x2R:
f(x) + 1 = x2+ 4x+ 1 x2+ 1 + 1
= x2+ 4x+ 1 +x2+ 1 x2+ 1
= 2x2+ 4x+ 2 x2+ 1
= 2 (x2+ 2x+ 1) x2+ 1
= 2 (x+ 1)2 x2+ 1 0 Donc
(8x2R); f(x) 1:
Ceci signi…e que la fonction f est minorée par 1:
Exemple 31 On considère f la fonction numérique dé…nie par : f(x) = 2x2+ 3
x2+ 1
Montrer que la fonction f est minorée par 2; est-ce-que 2 est une valeur minimale de la fonction f:
Il faut montrer que : (8x2Df); f(x) 2:
On a
Df = x2R= x2+ 16= 0
= R Soit x2R:
f(x) 2 = 2x2+ 3 x2+ 1 2
= 2x2+ 3 2x2 2 x2+ 1
= 1
x2+ 1 0 Donc
(8x2R); f(x) 2:
Résolvons dans R l’équation f(x) = 2.
Soit x2R:
f(x) = 2 () 2x2+ 3
x2 + 1 = 2 () 2x2+3 = 2x2+2 () 3 = 2 (Ce qui est impossible) Donc
(8x2R); f(x)6= 2
Ceci signi…e que 2 n’est pas une valeur minimale de la fonction f:
Fonctions de référence
L’étude et la représentation graphique de la fonction x 7 ! ax
2+ bx + c; (a 6 = 0)
Soient a; b etcdes réels tels que a6= 0: On considère la fonction f dé…nie sur R par: f(x) = ax2+bx+c
et (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;!i ;!j ):
Dé…nition 32 Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction f dé…nie sur R par : f(x) = ax2+bx+c avec a; b et c des réels et a 6= 0:
Forme canonique
Propriété 33 Toute fonction polynôme f de degré 2 dé…nie sur R par f(x) =ax2+bx+c avec a6= 0, peut s’écrire sous la forme :
f(x) = a(x )2+ avec = b
2a et =f( ) Variations
Propriété 34 (Admis)
Soit f une fonction polynôme de degré2dé…nie surR parf(x) =ax2+bx+cavec a6= 0:
Les variations de f sont données par les tableaux suivants :fg 1er cas. . Si a 0:
2ème cas. Si a 0:
Remarque 35 La forme canonique d’une fonction polynôme du second degré, permet de déduire ses variations à partir des variations de la fonction carrée.
La représentation graphique de la fonction f:
La courbe représentative de la fonctionf est appelée parabole de sommetS( ; )et a pour axe de symétrie la droite d’équationx= 2ab:
Exemple 36 On considère la fonction f dé…nie par : f(x) = 1
2x2 3x+11 2 1. Déterminer le tableau de variations de la fonction f:
2. Tracer la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé(O;!i ;!j ):
L’étude et la représentation graphique de la fonction x 7 !
ax+bcx+davec a; b; c et d des réels et c 6 = 0:
On considère la fonction dé…nie par :
f(x) = ax+b cx+d
et (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;!i ;!j ):
Dé…nition 37 On appelle fonction homographique toute fonction f qui peut s’écrire sous la forme f(x) = ax+bcx+d où a; b et c6= 0 et d sont des réels tels que ad bc6= 0:
L’ensemble de dé…nition de la fonction.
Df = fx2R= cx+d6= 0g
= fx2R= cx6= dg
= x2R= x6= d c
= 1; d
c [ d
c ;+1 Les variations de la fonction f:
1ère cas. Si = a b
c d =ad bc 0:
2éme cas. Si = a b
c d =ad bc <0:
La représentation graphique de la fonction f:
La courbe représentative de la fonction f est appelée hyperbole et le point S cd;ac ; son centre de symétrie, et les droites d’équations : x = cd et y = ac sont ses deux asymptotes.
Exemple 38 On considère la fonction f dé…nie par : f(x) = 3x 1
2x+ 1 1. Déterminer Df:
2. Donner le tableau de variations de la fonction f:
3. Tracer la courbe représentative de la fonctionf dans un repère orthonormé O;!i ;!j :
La fonction racine carrée
Dé…nition 39 La fonction racine carrée est la fonction dé…nie sur[0;+1[par:f(x) =p x:
Étude des variations : Soient x et y deux réels de [0;+1[ tels que :x6=y:
f(x) f(y)
x y =
px py
x y = x y
(x y) px+py = 1
px+py 0:
La fonctionf est strictement croissante sur[0;+1[: Tableau de variations :
Courbe représentative :
L’étude et représentation graphique de la fonction f : x 7 ! p x + a
La fonctionf est dé…nie sur[ a;+1[: Monotonie def sur[ a;+1[:
Soient x ety deux éléments de [ a;+1[tels que : x < y:
x < y =) x+a < a+y
=) p
x+a <p y+a
=) f(x)< f(y)
Donc la fonction f est strictement croissante sur [ a;+1[:
Le tableau de variations def:
Courbe représentative :
2 3 4 5 6 7 8
-1 -2 -3 -4
2 3 4
-1 -2
0 1
1
x y
Cas de la fonction f :x7 !p a x:
La fonctionf est dé…nie sur] 1; a]: Monotonie def sur] 1; a]:
Soient x ety deux éléments de ] 1; a] tels que :x < y:
x < y =) y < x
=) p
a y <p a x
=) f(y)< f(x)
Donc la fonction f est strictement décroissante sur] 1; a]: courbe représentative :
2 3
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
2 3 4
-1
0 1
1
x y
Fonction cube
Dé…nition 40 La fonction cube est la fonction qui à tout réelxassocie le réelx3:La fonction cube est donc la fonction f dé…nie surR par: f(x) =x3:
Étude des variations : Soient x et y deux réels tels que: x6=y:
f(x) f(y)
x y = x3 y3
x y = (x y) (x2+xy+y2)
x y =x2+xy+y2
On peut considérer le trinôme du second degré en x:Calculons le discriminant :
=y2 4 1 y2 = 3y2 <0
On en déduit que le signe du trinôme est toujours le signe de 1 (coef f icient de x2); donc : f(x)x yf(y) 0:
La fonctionf est strictement croissante surR: Tableau de variations :
Courbe représentative :
Fonction partie entière (1ère SM)
Dé…nition et propriétés de la fonction partie entière
Dé…nition 41 Soit x un réel. La partie entière de x; notée E(x) (ou aussi [x]), est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x:
Exemple 42 E(2;7) = 2; E(3) = 3, E( 1;2) = 2 et E( 2;3) = 3:
Remarque 43 . 8x2R; E(x)2Z: 8x2Z; E(x) =x:
Propriété 44 Soit x un réel et k un entier relatif.
E(x) =k () k x < k+ 1 On a aussi deux encadrements à connaître :
8x2R; E(x) x < E(x) + 1 et x 1< E(x) x
Exemple 45 Résoudre dansRles équations suvantes : E(x) = 2, E(x) = 5 et2E(x) = 1:
Soit x2R:
E(x) = 2 () 2 x < 1 () x2[ 2;1[
donc
S= [ 2;1[
Soit x2R:
E(x) = 5 () 5 x <6 () x2[5;6[
donc
S= [5;6[
Soit x2R:
2E(x) = 1 () E(x) = 1 2 2= Z donc
S =? Propriété 46 (Admis)
La fonction partie entière est croissante sur R:
Voici le graphe de la fonction partie entière.
Exemple 47 Montrer que : (8x2R) (8p2Z); E(x+p) =E(x) +p:
Soit (x; p)2R Z:
On a E(x) x < E(x) + 1, donc E(x) +p
| {z }
2Z
x•+p < E(x) + 1 +p: Alors
(8x2R) (8p2Z); E(x+p) =E(x) +p:
Composée de deux fonctions
Dé…nition d’une fonction composée
Activité
Soient f etg deux fonctions dé…nies sur R par: f(x) = 2x+ 3 etg(x) =x2+ 1:
1. Déterminer Df etDg: 2. Calculer f(1) etg(5):
3. Calculer f(3) etg(f(3)); puis g(f(x)): Notation
La fonction h : x 7 ! h(x) = g(f(x)) on la note par h = g f d’où h(x) = (g f) (x) = g(f(x)):
Dé…nition 48 Soient f et g deux fonctions dé…nies respectivement sur Df et Dg telles que f(Df) Dg:
On pose : Dg f = fx2R= x2Df et f(x)2Dgg: La fonction h dé…nie sur Dg f par h(x) =g(f(x))est appelée la composée de f suivie deg et on noteh=g f (lire g rond f):
Exemple 49 On considère les deux fonctions f et g dé…nies par : g(x) = x2
x2+ 1 et f(x) = 1 px2 x Déterminer g f:
On détermine Dg =R et Df = ] 1;0[[]1;+1[: D’autre part
Dg f = fx2R= x2Df et f(x)2Dgg
= x2R= x2] 1;0[[]1;+1[ et 1
px2 x 2R
= ] 1;0[[]1;+1[: Soit x2Dg f:
(g f) (x) = g(f(x))
= (f(x))2 (f(x))2+ 1
=
p 1 x2 x
2
p 1 x2 x
2
+ 1
=
1 x2 x 1 x2 x + 1
= 1
x2 x+ 1 Donc
(8x2Dg f), (g f) (x) = 1 x2 x+ 1: Exemple 50 On considère les deux fonctions f et g dé…nies par :
g(x) = x 1
x 2 et f(x) = x2 x Déterminer f g:
On détermine Dg =R n f2g et Df =R: D’autre part
Df g = fx2R= x2Dg et g(x)2Dfg
= x2R= x2Rn f2g et x 1 x 2 2R
= Rn f2g:
Soit x2Df g:
(f g) (x) = f(g(x))
= (g(x))2 g(x)
= x 1
x 2
2 x 1
x 2
= x 1
(x 2)2 Donc
(8x2Df g), (f g) (x) =: x 1 (x 2)2
Remarque 51 La composée de deux fonctions n’est pas commutative c’est-à-dire : g f 6= f g:
Variations d’une fonction composée
Propriété 52 (Admis)
Soient f et g deux fonctions dé…nies respectivement sur I et J telles que f(I) J.
Si f et g ont même monotonie (strictement monotone) respectivement sur I et J alors g f est croissante sur I ( g f est strictement croissante sur I):
Sif etg ont monotonie(strictement monotone)opposéesrespectivement surI etJ alors g f est décroissante sur I ( g f est strictement décroissante sur I):
Exemple 53 On considère les deux fonctions f et g dé…nies par : f(x) =p
x+ 2 et g(x) = x 3 x+ 3 1. Déterminer Df et Dg:
2. Soit h la fonction numérique dé…nie sur [ 2;+1[ par : h(x) =
px+ 2 3 px+ 2 + 3
Déterminer la monotonie de h sur [ 2;+1[: L’ensemble de dé…nition de la fonction f:
Df = fx2R= x+ 2 0g
= fx2R= x 2g
= [ 2;+1[:
L’ensemble de dé…nition de la fonction g:
Dg = fx2R= x+ 3 6= 0g
= fx2R= x6= 3g
= ] 1; 3[[] 3;+1[: On détermine la mnotonie de h sur [ 2;+1[:
On a
(8x2[ 2;+1[); h(x) = (g f) (x): La fonction f est strictement croissante sur [ 2;+1[; et on a
par suite f([ 2;+1[) [0;+1[, et comme g est strictement croissante sur [0;+1[; alors h est strictement croissante sur[ 2;+1[:
Exemple 54 On considère la fonction f dé…nies par : f(x) = 2x2+ 4x+ 3 x2 + 2x+ 2 On considère les deux fonctions u et v dé…nies par :
v(x) = 2x+ 3
x+ 2 et u(x) =x2+ 2x 1. Donner les tableaux de variations des fonctions u et v:
2. Déterminer la monotonie de la fonction f sur [ 1;+1[ et ] 1; 1]: On a: u(x) =x2+ 2x et 2ab = 1 et a 0 et b= 2 0:
On a: v(x) = 2x+3x+2 et = 2 3
1 2 = 1 0:
La monotonie de f sur [ 1;+1[: On a
f =v u
La fonction u est strictement croissante sur [ 1;+1[ ,par suite u([ 1;+1[) [ 1;+1[et commev est strictement croissante sur[ 1;+1[, alors f est stricte- ment croissante sur[ 1;+1[:
La monotonie de f sur ] 1; 1]:
La fonctionuest strictement décroissante sur] 1; 1],par suiteu(] 1; 1]) [ 1;+1[et commev est strictement croissante sur[ 1;+1[, alors f est stricte- ment décroissante sur ] 1; 1]:
Donc
FIN
Pr : Yahya MATIOUI
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