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1 — Nombres réels

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Academic year: 2022

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Licence MIASHS – 2014/2015 Analyse 1 (MI001AX)

TD n

o

1 — Nombres réels

Exercice 1

Résoudre dansRles équations suivantes : a) 2x+ 3 = 0

b) (x−2)(x2−1) = 0 c) x2+ 4x+ 3 = 0 d) x2−4x+ 4 = 0 e) x2+x+ 1 = 0

f) x3−4x2+ 4x−1 = 0 (on pourra remarquer que 1 est racine évidente puis factoriser l’expression).

Exercice 2

Résoudre dansRles inéquations suivantes : a) (2x+ 1)(x+ 2)≤0

b) 2x+ 1 x+ 2 ≤0

c) x4−3x3+ 4x2−6x+ 4>0 d) |x−9| ≤2

e) x−2 x+ 3 ≥ x

x−1 f) 1≤√

3x2−2≤2 Exercice 3

Résoudre dansRles équations et inéquations suivantes : a)

1 x−2

≤3 b) √

3x+ 1−x >0 c) e3x−6e2x= 6−11ex

d) ln(x−1) + ln(x+ 1)−2 ln(x) = 0 Exercice 4

Soientaet bdeux nombres réels tels quea < b.

a) Montrer qu’il existe un nombre rationnelrstrictement compris entreaetb.

b) En déduire que l’intervalle ]a, b[ contient une infinité de nombres rationnels.

Exercice 5

Si x est un nombre réel, on note bxc sa partie entière, qui est (par définition) l’unique entier relatif satisfaisant la double inégalité :

bxc ≤x <bxc+ 1.

1. Déterminer les valeurs suivantes :b1.5c,b−1.5c,bπc,b0c.

2. Représenter graphiquement la fonctionx7→ bxcentre−3 et 3.

3. Donner un encadrement debxcen fonction dex.

4. Les assertions suivantes sont-elles vraies ? Si oui, les démontrer, sinon, donner un contre-exemple.

(a) Pour tout réelx,bx+ 1c=bxc+ 1 ; (b) Pour tout réelx, b2xc

2 =bxc;

(c) Pour tout réelxet tout entiernstrictement positif, 0≤ bnxc −nbxc ≤n−1

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