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THEME 8 : TRIANGLES (1) Inégalité somme des angles- hauteur - Aire

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Academic year: 2022

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(1)

THEME 8 : TRIANGLES (1)

Inégalité – somme des angles- hauteur - Aire

A la fin du thème, tu dois savoir :

 Connaitre et utiliser la propriété de l’inégalité triangulaire

 Calculer un angle en utilisant la somme des angles dans un triangle

Cas particuliers : Les propriétés

 Définition de la hauteur et le vocabulaire dans un triangle

Tracer une hauteur dans un triangle

A - CONSTRUCTION D’UN TRIANGLE

1. Construire un triangle connaissant la longueur de ses trois côtés.

Construire le triangle ABC tel que AB = 2,4 cm, AC = 4 cm et BC = 4,8 cm.

4,8 cm

B C

A

2,4 cm 4 cm

2. Construire un triangle connaissant la longueur de deux côtés et l’angle qu’ils forment.

Construire le triangle ABC tel que BAC = 45°, AB = 3,9 cm et AC = 4,5 cm.

1°) On trace un côté, par exemple [AC]. 2°) On trace avec le rapporteur l’angle BAC de 45°.

4°) On termine le triangle ABC.

3°) Sur la demi-droite obtenue on place B à 3,9 cm de A.

A C A C

45°

A C

45°

B

3,9 cm

A C

45°

B

3,9 cm

4,5 cm 1°) On trace le côté le plus long.

B C

2°) On trace un arc de cercle de centre C et de rayon 4 cm, car AC = 4 cm.

B C

4°) On trace le triangle ABC et on vérifie les trois longueurs en les mesurant.

B C

A

3°) On trace un arc de cercle de centre B et de rayon 2,4 cm, car AB = 2,4 cm.

B C

A

(2)

4,5 cm

B

C A

3,9cm 45°

3. Construire un triangle connaissant la mesure de deux angles et la longueur d’un côté.

Construire le triangle ABC tel que AB = 3,5 cm, BAC = 40° et ABC = 62°.

3,5 cm B C

A

40° 62°

B - INEGALITE TRIANGULAIRE

Propriété :

Si A, B et C sont trois points quelconques, alors AB ≤ AC + CB C

A

B

Cas particuliers :

* Si le point C appartient au segment [AB], alors AB = AC + CB.

Si AB = AC + CB , alors le point C appartient au segment [AB].

1°) On trace le côté [AB]. 2°) On trace un angle, par exemple BAC. 3°) On trace le deuxième angle.

A B A B

40°

A B

40° 62°

C

(3)

Exemple 1 : AB = 7, AC = 3 et CB = 4

A C B

3 4

7

* Si le point C n’appartient pas au segment [AB], alors AB < AC + CB

Conséquence : Chaque côté d’un triangle est strictement inférieur à la somme des deux autres côtés.

On peut construire un triangle dont les côtés ont pour mesures trois nombres donnés à condition que le plus grand des trois nombres soit strictement inférieur à la somme des deux autres.

Exemple 2 :

On peut tracer un triangle dont les côtés mesurent 9 cm ; 4,5 cm et 5 cm car 9 < 4,5 + 5

Exemple 3 :

On ne peut pas tracer de triangle dont les côtés mesurent 2 cm , 4 cm et 7 cm , car 7 > 2 + 4

C - SOMME DES ANGLES DANS UN TRIANGLE

C-1) PROPRIETE

La somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à 180 °

A + B + C = 180°

Exemple : ABC est un triangle tel que B = 43° et C = 71°. Calcule la mesure de l’angle A.

Sachant que la sommes des angles dans un triangle est égale à 180°, on a : A + B + C = 180°

A + 43° + 71° = 180°

A + 114° = 180°

A = 180° − 114°

A = 66° Conclusion : La mesure de l’angle A dans le triangle ABC est égale à 66.°

A

B

C

A

B

C

(4)

C-2)- CAS PARTICULIERS  Triangle rectangle

Si un triangle est rectangle, alors ses angles aigus sont complémentaires, autrement dit leur somme est égale à 90°

 Triangle isocèle

Si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base ont la même mesure

A

B C

 Triangle équilatéral

Si un triangle est équilatéral, alors chacun de ses angles mesure 60°

A = B = C

J

I K

J + K = 90°

B = C

A

B C

(5)

D - HAUTEURS D’UN TRIANGLE

Définition :

La hauteur relative à un côté d’un triangle est la droite perpendiculaire à ce côté qui passe par le

sommet opposé à ce côté.

Hauteur relative à [BC]

B H B C

H

C

A A

La longueur AH est aussi appelée hauteur relative à [BC].

1°) On doit tracer la hauteur issue de A : donc elle passe par A en étant perpendiculaire à (BC).

2°) On place un côté de l’équerre sur (BC) (il faut parfois prolonger en pointillésle côté [BC]), l’autre contre A.

4°) On trace le triangle ABC.

3°) On trace la hauteur et on code l’angle droit.

C

B A

C

B A

C

B A

C

B A

C

B A

C

B A

(6)

5 cm

4 cm 2,5 cm

8 cm

A C E

B

D E - AIRE D’UN TRIANGLE

Pour calculer l’aire d’un triangle, on multiplie par un côté (appelé base ) par la hauteur correspondante et on divise par deux. Soit :Aire b h

= ×2 .

h h h

b b b

On donne le triangle ABC ci-contre :

a) Le côté associé à la hauteur [CD] est [AB].

b) La hauteur relative au côté [AC] est [BE].

c) A désigne l’aire du triangle ABC.

A = × = × = = 2 20 2

5 , 2 8 2

CD

AB 10 (en cm2).

A = × = × = = 2 20 2

4 5 2

BE

AC 10 (en cm2).

Donc l’aire de ABC vaut 10 cm2.

ou :

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