Le cas de GL 2 : ´etude locale (encore formelle)

Expos´e III.

Le cas de GL ₂ : ´etude locale (encore formelle)

(Laurent Lafforgue, IHES, 3 juillet 2014)

1 Compatibilit´ e avec le passage aux termes constants

On se place toujours sur le corps globalF. Consid´erant un entierk≥1, on note

Gb= GL2(C)/µk

le groupe r´eductif surCquotient de GL₂(C) par le groupe finiµ_k={z∈C^× |z^k= 1}, etρla repr´esentation de transfert

Gb ,→ GLk+1(C) g 7→ sym^k(g). Le groupe r´eductifGb admet pour tore maximal

Tb=T2(C)/µk= (C^×)²/µk

avec donc

XTb=

(n1, n2)∈Z²|n1+n2∈kZ et

X^∨

Tb=

(r1, r2)∈Q²|r1, r2∈ 1

kZ ∧ r1−r2∈Z

.

Le groupe r´eductif Gb sur Cest le dual du groupe r´eductif G d´eploy´e sur F qui s’inscrit dans le carr´e cart´esien

G

//

GL2

det

Gm

λ7→λ^k

//Gm

et dont le tore maximalT s’inscrit dans le carr´e cart´esien : T

//

T2=G²m

(µ17→,µ2 ) µ1µ2

Gm

λ7→λ^k

//Gm

Ainsi, les points deGpeuvent ˆetre not´es comme des couples

g,det(g)^1/k

o`u

g=

g1,1 g1,2

g2,1 g2,2

est un point de GL₂et det(g)^1/k est une racinek-i`eme de det(g) dansGm. De mˆeme, les points deT peuvent ˆetre not´es comme des triplets

µ₁, µ₂,(µ₁µ₂)^1/k

o`uµ1, µ2sont deux points deG<sup>m</sup>et (µ1µ2)<sup>1/k</sup> est une racinek-i`eme deµ1µ2dansG^m. L’homomorphisme injectif de tores induit parρ

ρT :Tb= (C^×)²/µk → Tbk+1= (C^×)^k+1

(λ1, λ2) 7→ λ^k₁, λ^k−1₁ λ2, . . . , λ1λ^k−1₂ , λ^k₂ admet pour dual l’´epimorphisme

ρ^∨_T :T_k+1=G^k+1m → Tb=G²m×_GmGm

(λ0, λ1, . . . , λk) 7→

λ^k₀λ^k−1₁ . . . λ_k−1=µ1, λ1λ²₂. . . λ^k_k=µ2, λ0λ1. . . λk = (µ1µ2)^1/k . Celui-ci est ´equivariant pour l’action du groupe de WeylW_G=S²deGsurT_k+1=G^k+1m par la permutation

λ_i7→λ_k−i, 0≤i≤k , et donc on a un morphisme induit de sch´emas sur F

Tk+1/WG→T /WG.

D’autre part, le noyauTρ deρ^∨_T :Tk+1→T est le sous-tore de codimension 2 deTk+1=G^k+1m d´efini par les deux ´equations

λ0λ1. . . λk = 1 et λ1λ²₂. . . λ^k_k= 1. Il est stable par l’action du groupe de WeylWG =S²deG.

On remarque au passage que, dans le cas particulierk= 2,T_ρest le sous-tore de dimension 1 deT₃=G³m

constitu´e des triplets de la forme (λ, λ⁻², λ). Ses points sont fix´es par l’action sur T₃ deW_G =S² si bien que, dans ce cas,T_ρ agit surT₃/W_G etT /W_G s’identifie au quotient deT₃/W_G par l’action deT_ρ.

Dans le cas g´en´eral, le morphisme

T_k+1= (A¹)^k+1 −−−→^Tr A¹

(λ0, λ1, . . . , λk) 7→ λ0+λ1+. . .+λk

est invariant par l’action deWG =S², donc se factorise en un morphisme Tk+1/WG

−−−→Tr A¹

qui s’inscrit dans un diagramme de sch´emas surF : T_k+1/W_G

ρ^∨_T

 //T_k+1/W_G ^Tr //A¹

T /W_G

On rappelle d’autre part que l’on a choisi une fois pour toutes un caract`ere continu unitaire non trivial ψ= Y

x∈ |F|

ψx:AF/F →C^×.

En toute placexdeF, on dispose donc de l’application compos´ee ψx◦Tr : (Tk+1/WG) (Fx),→ Tk+1/WG

(Fx)−−−→^Tr Fx ψx

−−−→C^×. La fonction noyauk_x^ρT de laρT-transformation de Fourier surT(Fx)

k^ρ_x^T :T(Fx) → C t 7→

Z

(ρ^∨_T)⁻¹(t)

dtρ·ψx(Tr (tρ)) provient donc d’une fonction

k_x^ρT : (T /W_G)(F_x) → C t 7→

Z

(ρ^∨_T)⁻¹(t)

dtρ·ψx(Tr (tρ)) = lim

a7→0

Z

(ρ^∨_T)⁻¹(t)

dtρ·ψx(Tr (tρ))·1Ix(a·tρ) o`u 1I<sub>x</sub> d´esigne n’importe quelle fonction localement constante `a support compact [resp. de classe C^∞ `a d´ecroissance rapide sixest une place archim´edienne] sur (T<sub>k+1</sub>/W<sub>G</sub>)(F<sub>x</sub>) qui est ´egale `a 1 dans un voisinage du point 0.

Comme le sch´ema affine quotient deGpar l’action par conjugaison deGs’identifie `aT /WG, la fonction k^ρ_x^T : (T /W_G)(F_x)→C

en toute placex∈ |F| peut ˆetre vue comme une fonction G(F_x)→C qui est invariante par conjugaison.

Le centre

Z

Gb=C^×/µ_k ∼=C^× deGbagit sur l’espaceC^k+1 de

ρ= sym^k:Gb→GL_k+1(C) par le cocaract`ere

detcG:C^× −→^∼ Z

Gb

λ 7−→ λ 7−→^ρ







λ 0

. ..

0 λ





. Il lui correspond le caract`ere d´efini surF

det_G:G→Gm

dont le compos´e

T_k+1

ρ^∨_T

−−−→T−−−→^detG Gm

n’est autre que

detk+1: (λ0, λ1, . . . , λk)7→λ0λ1. . . λk. D’autre part, parmi les poids de la repr´esentation irr´eductibleρ

ρⁱ_T :Tb= (C^×)²/µk → C

(λ₁, λ₂) 7→ λ^k−i₁ λⁱ₂, 0≤i≤k , on distingue le poids dominant qui est

ρ⁰_T : (λ₁, λ₂)7→λ^k₁. Il correspond au cocaract`ere

Gm → T =G²m×_GmGm

λ 7→ (λ^k,1, λ).

Enfin, le caract`ere modulaireδB associ´e au sous-groupe de BorelB deGconstitu´e des matrices triangu- laires sup´erieures est

δB :T → Gm

µ₁, µ₂,(µ₁µ₂)^1/k

7→ µ₁µ⁻¹₂ . Alors

det_B :G → Gm

g,det(g)^1/k

7→ det(g) est l’unique caract`ere qui, consid´er´e comme un ´el´ement de X_T =X^∨

Tb, v´erifie hdet_B, ρ⁰_Ti=hδ_B, ρ⁰_Ti.

Ainsi, on dispose surGdes trois caract`eres

detG :G → Gm

g,det(g)^1/k

7→ det(g)^1/k, detB= (detG)^k

et

detρ= detG·detB= (detG)^k+1. Rappelons l’´enonc´e du probl`eme I.4 dans le cas o`u nous sommes : Probl`eme III.1. –

Etant donn´´ e un entierk≥1, consid´erons la repr´esentation de transfert ρ= sym^k:Gb= GL2(C)/µk →GLk+1(C) du groupe r´eductif d´eploy´e

G= GL2×_GmGm

muni de ses trois caract`eres

detG, detB= (detG)^k et detρ= detG·detB.

En toute placexdeF, on voudrait munirG(Fx)de











•une mesure dρg que les translations `a gauche ou `a droite transforment par le caract`ere |detρ(•)|x,

•une fonction invariante par conjugaison

G(Fx)→C g7→k^G_x(g) de telle fa¸con que l’op´erateur de ρ-transformation de Fourier associ´e

f_x7→fb_x=

"

g⁰7→

Z

G(F_x)

d_ρg·f_x(g)·k_x^ρ(g g⁰)

#

v´erifie les propri´et´es suivantes :

(1) Pour toute fonction localement constante `a support compact [resp. de classeC<sup>∞</sup>`a d´ecroissance rapide sixest archim´edienne]

fx:G(Fx)→C, le produit

|detB|^1/2_x ·fx,N_B :T(Fx) → C

t 7→ |detB(t)|^1/2_x · |δB(t)|^−1/2_x · Z

N_B(F_x)

du·fx(u·t) admet pourρT-transform´ee de Fourier sur T(Fx) le produit

|det_B|^1/2_x ·(fb_x)_NB :T(F_x) → C

t 7→ |detB(t)|^1/2_x · |δB(t)|^1/2_x · Z

N_B(F_x)

du·fb_x(t·u). (2) L’op´erateur

fx7→fbx

est unitaire, c’est-`a-dire pr´eserve le produit hermitien (f₁, f₂)7→ hf₁, f₂i=

Z

G(Fx)

d_ρg·f₁(g)·f₂(g).

Remarque :

D’apr`es le lemme I.3, un op´erateur de cette forme fx7→fbx=

"

g⁰7→

Z

G(F_x)

dρg·fx(g)·k_x^ρ(g g⁰)

#

v´erifiera n´ecessairement les formules de transformation par les translations fcx^g=|detρ(g)|⁻¹_x · ^g−1fbx,

gcfx=|detρ(g)|⁻¹_x ·fb_x^g−1,

pour toute fonctionfx:G(Fx)→Cet toutg∈G(Fx).

Les points deG(F_x) sont les couples

g,det(g)^1/k

compos´es de g∈GL2(Fx) et det(g)^1/k∈F_x^×. Par cons´equent, les fonctions

G(Fx)→C

invariantes par conjugaison sont les fonctions de det(g)^1/k∈F_x^× et Tr (g)∈Fx.

Faisant une transformation de Fourier partielle en la variable Tr (g), on peut chercher ces fonctions sous la forme

k_x^ρ

g,det(g)^1/k

= Z

F_x

dµ·ψ_x(µ·Tr (g))·bk_x^ρ

µ,det(g)^1/k o`udµd´esigne une mesure additive de F_x.

On a :

Proposition III.2.(modulo v´erification des convergences et de la l´egitimit´e des ´echanges de sommations) – Consid´erons une fonction invariante par conjugaison

k^ρ_x:G(Fx)→C

´ecrite sous la forme

k_x^ρ

g,det(g)^1/k

= Z

F_x

dµ·ψ_x(µ·Tr (g))·bk_x^ρ

µ,det(g)^1/k pour une certaine mesure additivedµdeF_x.

Alors l’op´erateur deρ-transformation de Fourier associ´e

fx7→fbx=

"

g⁰7→

Z

G(Fx)

dρg·fx(g)·k_x^ρ(g g⁰)

#

v´erifie la propri´et´e(1) du probl`emeIII.1, de compatibilit´e avec le passage aux termes constants f_x7→f_x,NB,

si et seulement si on a, pour tout ´el´ement t= µ₁, µ₂,(µ₁µ₂)^1/k

∈T(F_x), k^ρ_x^T

µ₁, µ₂,(µ₁µ₂)^1/k

= Z

F_x

dµ· |µ|⁻¹_x ·bk_x^ρ

µ,(µ₁µ₂)^1/k

·ψ_x(µ·(µ₁+µ₂))

= Z

F_x^×

d^×µ·bk_x^ρ

µ,(µ1µ2)^1/k

·ψx(µ·(µ1+µ2))

o`u d^×µ d´esigne la mesure multiplicative|µ|⁻¹_x ·dµdeF_x^×. Remarques :

(i) Ainsi, la propri´et´e (1) et la connaissance du noyauk_x^ρT sur T(Fx) ne d´eterminent la fonction k_x^ρ sur G(F_x) que si la projection

T(F_x)→(T /W_G)(F_x)

est surjective. Cela ne se produit que si F_x est alg´ebriquement clos, soitF_x∼=C.

(ii) La restriction de la fonctionk^ρ_x`a T(F<sub>x</sub>) ne co¨ıncide pas avec la fonctionk<sub>x</sub><sup>ρT</sup>. Pour passer de l’une `a l’autre, il faut remplacer la mesure additive dµsurF_xpar la mesure multiplicatived^×µ=|µ|⁻¹_x ·dµ dans leurs repr´esentations de Fourier.

Exemple :

Sik= 2, on a pour tout ´el´ementt= µ1, µ2,(µ1µ2)^1/2

deT(Fx) k^ρ_x^T

µ₁, µ₂,(µ₁µ₂)^1/k

= Z

F_x^×

dµ·ψ_x

µ⁻¹+µ²·

µ₁+µ₂+ 2 (µ₁µ₂)^1/2 .

La fonction surG(Fx) invariante par conjugaison k^ρ_x

g,det(g)^1/2

= Z

F_x^×

dµ· |µ|²_x·ψx

µ⁻¹+µ²·

µ1+µ2+ 2 (µ1µ2)^1/2 satisfait donc la propri´et´e (1) du probl`eme III.1.

D´emonstration :

Ecrivons les ´´ el´ements g,det(g)^1/k

deG(F_x) sous la forme g=

1 0 v 1

·

µ₁ 0 0 µ₂

· 1 u

0 1

=

µ₁ µ₁·u µ₁·v µ₂+µ₁·uv

avecµ₁, µ₂∈F_x^× et u, v∈F_x, d’o`u aussi

det(g) =µ₁µ₂. On a :

Lemme III.3.–

Ecrivant les ´´ el´ements de GL₂(F_x) sous la forme g=

1 0 v 1

·

µ1 0 0 µ2

· 1 u

0 1

=

µ1 µ1·u µ1·v µ2+µ1·uv

, on a :

(i) La mesure invariante dgdeGL₂(F_x)s’´ecrit `a une constante multiplicative pr`es comme un produit

|δB(µ1, µ2)|x·dµ1·dµ2·du·dv=

µ1

µ2

_x

·dµ1·dµ2·du·dv

o`udµ1, dµ2 sont des mesures multiplicatives de F<sub>x</sub><sup>×</sup>, etdu, dv des mesures additives deFx. (ii) La mesure d<sub>ρ</sub>g deGL<sub>2</sub>(F<sub>x</sub>)s’´ecrit `a une constante multiplicative pr`es comme le produit

(µ1µ2)^1/k

_x· |µ1|²_x·dµ1·dµ2·du·dv .

Suite de la d´emonstration de la proposition III.2 : Pour µ⁰₁, µ⁰₂,(µ⁰₁µ⁰₂)^1/k

∈T(Fx) etu⁰∈Fx, on a

fbx

µ⁰₁ 0 0 µ⁰₂

· 1 u⁰

0 1

,(µ⁰₁µ⁰₂)^1/k

= Z

(µ1µ2)^1/k

_x· |µ1|²_x·dµ1·dµ2·du·dv·fx

µ1 µ1·u µ1·v µ2+µ1·uv

,(µ1µ2)^1/k

· Z

F_x

dµ·bk^ρ_x

µ,(µ₁µ₂µ⁰₁µ⁰₂)^1/k

·ψ_x(µ·(µ₁µ⁰₁+µ₂µ⁰₂+µ₁µ⁰₂·uv+µ₁µ⁰₁·u⁰v)).

En int´egrant pour la mesure additivedu⁰, puis multipliant par le caract`ere

δB

µ⁰₁, µ⁰₂,(µ⁰₁µ⁰₂)^1/k

1/2 x

=

µ⁰₁ µ⁰₂

1/2

x

,

on obtient en faisant un ´echange de sommations

δB

µ⁰₁, µ⁰₂,(µ⁰₁µ⁰₂)^1/k

1/2 x ·

Z

F_x

du⁰·fbx

µ⁰₁ 0 0 µ⁰₂

· 1 u⁰

0 1

,(µ⁰₁µ⁰₂)^1/k

= |µ⁰₁µ⁰₂|⁻x¹² · Z

(µ1µ2)^1/k

_x· |µ1|x·dµ1·dµ2·du·fx

µ₁ µ₁·u 0 µ₂

,(µ1µ2)^1/k

· Z

Fx

dµ· |µ|⁻¹_x ·bk_x^ρ

µ,(µ1µ2µ⁰₁µ⁰₂)^1/k

·ψx(µ·(µ1µ⁰₁+µ2µ⁰₂)) soit encore

(fb_x)_NB

µ⁰₁, µ⁰₂,(µ⁰₁µ⁰₂)^1/k

· |µ⁰₁µ⁰₂|^1/2_x

= Z

(µ1µ2)^1/k

_x·dµ1·dµ2·fx,N_B

µ1 0 0 µ2

,(µ1µ2)^1/k

· |µ₁µ₂|^1/2_x ·k_x^ρT

µ₁µ⁰₁, µ₂µ⁰₂,(µ₁µ⁰₁µ₂µ⁰₂)^1/k .

C’est le r´esultat annonc´e.

2 Unitarit´ e

Pourk≥1, on consid`ere toujours la repr´esentation de transfert ρ= sym^k :Gb= GL2(C)/µk ,→GLk+1(C) du revˆetement de degr´ek

G= GL2×_GmGm

de GL₂.

Etant donn´´ ee une place arbitrairexdeF, on consid`ere une fonction noyau k^ρ_x:G(Fx)→C

´ecrite sous la forme

k^ρ_x(g) = Z

F_x

dµ·ψ_x(µ·Tr (g))·bk_x^ρ

µ,det(g)^1/k et qui satisfait les hypoth`eses et la conclusion de la proposition III.2.

Cette fonction noyau d´efinit laρ-transformation de Fourier f 7→fb=

"

g⁰7→

Z

G(F_x)

d_ρg·f(g)·k_x^ρ(g g⁰)

#

qui est bien d´efinie au moins pour les fonctions continues `a support compact f :G(Fx)→C.

On voudrait maintenant que pour toutes telles fonctions continues `a support compact f⁰, f⁰⁰:G(Fx)→C,

on ait

Z

G(F_x)

d_ρg·fb⁰(g)·fb⁰⁰(g) = Z

G(F_x)

d_ρg·f⁰(g)·f⁰⁰(g). D´eveloppons l’int´egrale de gauche en

Z

G(Fx)

dρg·fb⁰(g)·fb⁰⁰(g) = Z

G(Fx)

dρg· Z

G(Fx)×G(Fx)

dρg⁰·dρg⁰⁰·f⁰(g⁰)·f⁰⁰(g⁰⁰)·k_x^ρ(g g⁰)·k^ρx(g g⁰⁰), et ´ecrivons les ´el´ementsg∈G(Fx) sous la forme

g=

1 0 v 1

·

µ1 0 0 µ2

· 1 u

0 1

,(µ1µ2)^1/k

avec, d’apr`es le lemme III.3(ii),

dρg=|µ1µ2|^1/k_x · |µ1|²_x·dµ1·dµ2·du·dv

`

a une constante multiplicative pr`es.

D’autre part, on a

k^ρ_x(g g⁰) = Z

F_x

dµ⁰·ψx(µ⁰·Tr (g g⁰))·bk_x^ρ

µ⁰,det(g g⁰)^1/k et

k^ρx(g g⁰⁰) = Z

Fx

dµ⁰⁰·ψx(−µ⁰⁰·Tr (g g⁰⁰))·bk^ρx µ⁰⁰,det(g g⁰⁰)^1/k avec

Tr (g g⁰) = (g⁰_1,1·µ1+g⁰_2,2·µ2) +g⁰_2,1·µ1·u+g_1,2⁰ ·µ1·v+g⁰_2,2·µ1·uv et

Tr (g g⁰⁰) = (g_1,1⁰⁰ ·µ1+g_2,2⁰⁰ ·µ2) +g_2,1⁰⁰ ·µ1·u+g⁰⁰_1,2·µ1·v+g_2,2⁰⁰ ·µ1·uv d’o`u

µ⁰·Tr (g g⁰)−µ⁰⁰·Tr (g g⁰⁰) = µ⁰·(g⁰_1,1·µ1+g⁰_2,2·µ2)−µ⁰⁰·(g_1,1⁰⁰ ·µ1+g_2,2⁰⁰ ·µ2) + (µ⁰·g⁰_2,1−µ⁰⁰·g⁰⁰_2,1)·µ1·u

+ (µ⁰·g⁰_1,2−µ⁰⁰·g⁰⁰_1,2)·µ₁·v + (µ⁰·g⁰_2,2−µ⁰⁰·g⁰⁰_2,2)·µ1·uv . Il est clair que si l’on cherche `a int´egrer ces expressions pour la mesure

|µ1µ2|^1/k_x · |µ1|²_x·dµ1·dµ2·du·dv , une difficult´e apparaˆıt du fait de la pr´esence du terme quadratique

(µ⁰·g⁰_2,2−µ⁰⁰·g⁰⁰_2,2)·µ₁·uv enuet v.

Or on a :

Lemme III.4.–

SoitK_x,∅ le sous-groupe compact maximal de G(F_x)donn´e par

K_x,∅=







G(Ox) sixest une place ultram´etrique de F, 02(R)×_R^×R^× siFx=R,

U2(R)×_C^×C^× siFx∼=C. Alors, pour tous µ⁰, µ⁰⁰∈F_x^× et tous ´el´ements

g⁰, g⁰⁰∈G(F_x), il existe un ´el´ementg_∅∈K_x,∅ tel que

µ⁰·(g⁰g_∅)2,2−µ⁰⁰·(g⁰⁰g_∅)2,2= 0.

Pourµ⁰, µ⁰⁰∈F_x^× fix´es, on peut donc ´ecrire les paires d’´el´ementsg⁰, g⁰⁰∈G(Fx) sous la forme g⁰ =

1 u⁰ 0 1

·

µ⁰₁ 0 0 µ⁰₂

· 1 0

v⁰ 1

,(µ⁰₁µ⁰₂)^1/k

·g_∅

=

µ⁰₁+µ⁰₂·u⁰v⁰ µ⁰₂·u⁰ µ⁰₂·v⁰ µ⁰₂

,(µ⁰₁µ⁰₂)^1/k

·g_∅

et

g⁰⁰ =

1 u⁰⁰

0 1

·

µ⁰⁰₁ 0 0 µ⁰⁰₂

·

1 0 v⁰⁰ 1

,(µ⁰⁰₁µ⁰⁰₂)^1/k

·g_∅

=

µ⁰⁰₁+µ⁰⁰₂·u⁰⁰v⁰⁰ µ⁰⁰₂·u⁰⁰ µ⁰⁰₂·v⁰⁰ µ⁰⁰₂

,(µ⁰⁰₁µ⁰⁰₂)^1/k

·g_∅

avecµ⁰⁰·µ⁰⁰₂ =µ⁰·µ⁰₂.

De plus, notre mesure surG(Fx)×G(Fx) s’´ecrit dans les nouvelles coordonn´ees

d_ρg⁰·d_ρg⁰⁰=|µ⁰₁µ⁰₂µ⁰⁰₁µ⁰⁰₂|^1/k_x · |µ⁰₂|²_x· |µ⁰⁰₂|²_x· |v⁰−v⁰⁰|x·dµ⁰₁·dµ⁰₂·dµ⁰⁰₁·du⁰·dv⁰·du⁰⁰·dv⁰⁰·dg_∅ pour une mesure invariantedg_∅ deK_x,∅.

Supposons qu’il est l´egitime de changer l’ordre d’int´egration Z

G(F_x)

d_ρg· Z

G(F_x)

d_ρg⁰·d_ρg⁰⁰· Z

F_x×Fx

dµ⁰·dµ⁰⁰

en Z

F_x×F_x

dµ⁰·dµ⁰⁰· Z

G(F_x)

d_ρg· Z

G(F_x)×G(F_x)

d_ρg⁰·d_ρg⁰⁰.

D’autre part, introduisons la suite de fonctions de troncature 1I^G_x,nsurG(Fx) d´efinies comme les fonctions caract´eristiques desgtels que, pour tousg_∅, g_∅⁰ ∈K_x,∅, on ait

(g_∅g g⁰_∅)i,j

_x≤n , ∀i, j∈ {1,2},

et 1

n² ≤

det(g_∅g g⁰_∅)_{i,j x}≤n².

La mesure R

G(F_x)dρg est la limite quand n 7→ +∞ des R

G(F_x)1I^G_x,n(g)·dρg et, pour tout n fix´e, les sommationsR

G(F_x)1I^G_x,n(g)·dρg et R

G(F_x)×G(Fx)dρg⁰·dρg⁰⁰peuvent ˆetre ´echang´ees dans nos int´egrales.

En utilisant le fait que les mesuresR

G(F_x)1I^G_x,n(g)·dρgsont invariantes `a gauche et `a droite parK_x,∅, on obtient que le produit hermitien

Z

G(F_x)

d_ρg·fb⁰(g)·fb⁰⁰(g) est ´egal, `a une constante multiplicative pr`es, `a la limite

n7→lim+∞

Z

F_x×F_x

dµ⁰·dµ⁰⁰· Z

1I^G_x,n

µ₁ µ₁·u µ1·v µ2+µ1·uv

· |µ₁µ₂|^1/k_x · |µ₁|²_x·dµ₁·dµ₂·du·dv

· Z

µ⁰⁰µ⁰⁰₂=µ⁰µ⁰₂

|µ⁰₁µ⁰₂µ⁰⁰₁µ⁰⁰₂|^1/k· |µ⁰₂|²_x· |µ⁰⁰₂|²_x·dµ⁰₁·dµ⁰₂·dµ⁰⁰₁· |v⁰−v⁰⁰|x·du⁰·du⁰⁰·dv⁰·dv⁰⁰

· f⁰

µ⁰₁+µ⁰₂·u⁰v⁰ µ⁰₂·u⁰ µ⁰₂·v⁰ µ⁰₂

,(µ⁰₁µ⁰₂)^1/k

·f⁰⁰

µ⁰⁰₁+µ⁰⁰₂·u⁰⁰v⁰⁰ µ⁰⁰₂·u⁰⁰ µ⁰⁰₂·v⁰⁰ µ⁰⁰₂

,(µ⁰⁰₁µ⁰⁰₂)^1/k

· bk^ρ_x

µ⁰,(µ⁰₁µ⁰₂)^1/k·(µ₁µ₂)^1/k

·bk^ρx µ⁰⁰,(µ⁰⁰₁µ⁰⁰₂)^1/k·(µ₁µ₂)^1/k

· ψx(µ⁰·µ1µ⁰₁−µ⁰⁰·µ1µ⁰⁰₁)·ψx(µ1µ⁰µ⁰₂·u⁰v⁰−µ1µ⁰⁰µ⁰⁰₂·u⁰⁰v⁰⁰)

· ψ_x((µ⁰µ⁰₂·v⁰−µ⁰⁰µ⁰⁰₂·v⁰⁰)·µ₁ ·u)·ψ_x((µ⁰µ⁰₂·u⁰−µ⁰⁰µ⁰⁰₂·u⁰⁰)·µ₁·v).

On observe que, dans les arguments des caract`eres ψ_x, les variables d’int´egrationuet v n’apparaissent plus que lin´eairement.

Se souvenant que l’on a toujours dans le domaine d’int´egration µ⁰⁰µ⁰⁰₂=µ⁰µ⁰₂, l’int´egration pour les mesures additives

du·dv tend `a concentrer les mesures vers le domaine

v⁰⁰=v⁰, u⁰⁰=u⁰, lorsquen7→+∞.

Introduisant n’importe quelle fonction continue `a support compact 1Ix:Fx→R+

qui vaut 1 au voisinage de 0, on obtient que notre produit hermitien est ´egal, `a une constante multiplicative pr`es, `a la limite

n7→lim+∞

Z

F_x^×

|µ⁰|⁻¹_x ·dµ⁰· Z

F_x^×

|µ⁰⁰|⁻¹_x ·dµ⁰⁰· Z

1I^G_x,n

µ1 µ1·u µ1·v µ2+µ1·uv

· |µ₁µ₂|^1/k_x dµ₁·dµ₂·du·dv

· Z

du⁰⁰·dv⁰⁰·ψ_x(u u⁰⁰+v v⁰⁰)· |v⁰⁰| ·1I_x(u⁰⁰)·1I_x(v⁰⁰)

· Z

µ⁰⁰µ⁰⁰₂=µ⁰µ⁰₂

|µ⁰₁µ⁰₂µ⁰⁰₁µ⁰⁰₂|^1/k_x · |µ⁰₂|x· |µ⁰⁰₂|x·dµ⁰₁·dµ⁰₂·dµ⁰⁰₁·du⁰·dv⁰

· f⁰

µ⁰₁+µ⁰₂·u⁰v⁰ µ⁰₂·u⁰ µ⁰₂·v⁰ µ⁰₂

,(µ⁰₁µ⁰₂)^1/k

·f⁰⁰

µ⁰⁰₁+µ⁰⁰₂·u⁰v⁰ µ⁰⁰₂·u⁰ µ⁰⁰₂·v⁰ µ⁰⁰₂

,(µ⁰⁰₁µ⁰⁰₂)^1/k

· ψ_x(µ⁰·µ₁µ⁰₁−µ⁰⁰·µ₁µ⁰⁰₁)

· bk^ρ_x

µ⁰,(µ1µ2)^1/k·(µ⁰₁µ⁰₂)^1/k

·bk^ρx µ⁰⁰,(µ1µ2)^1/k·(µ⁰⁰₁µ⁰⁰₂)^1/k .

Maintenant, on a : Lemme III.5.–

Pour toutes fonctions continues `a support compact

ϕ⁰, ϕ⁰⁰:T(Fx)→C, on a

n7→lim+∞

Z

F_x^×

|µ⁰|⁻¹_x ·dµ⁰· Z

F_x^×

|µ⁰⁰|⁻¹_x ·dµ⁰⁰· Z

1I^G_x,n

µ1 µ1·u µ1·v µ2+µ1·uv

· |µ₁µ₂|^1/k_x ·dµ₁·dµ₂·du·dv

· Z

du⁰⁰·dv⁰⁰·ψx(u u⁰⁰+v v⁰⁰)· |v⁰⁰| ·1Ix(u⁰⁰)·1Ix(v⁰⁰) Z

µ⁰⁰µ⁰⁰₂=µ⁰µ⁰₂

|µ⁰₁µ⁰₂µ⁰⁰₁µ⁰⁰₂|^1/k_x ·dµ⁰₁·dµ⁰₂·dµ⁰⁰₁

· ϕ⁰

µ⁰₁, µ⁰₂,(µ⁰₁µ⁰₂)^1/k

·ϕ⁰⁰ µ⁰⁰₁, µ⁰⁰₂,(µ⁰⁰₁µ⁰⁰₂)^1/k

· ψ_x(µ⁰·µ₁µ⁰₁−µ⁰⁰·µ₁µ⁰⁰₁)

· bk_x^ρ

µ⁰,(µ1µ2)^1/k·(µ⁰₁µ⁰₂)^1/k

·bkx^ρ µ⁰⁰,(µ1µ2)^1/k·(µ⁰⁰₁µ⁰⁰₂)^1/k

= Z

|µ⁰₁µ⁰₂|^1/k·dµ⁰₁·dµ⁰₂·ϕ⁰

µ⁰₁, µ⁰₂,(µ⁰₁µ⁰₂)^1/k

·ϕ⁰⁰ µ⁰₁, µ⁰₂,(µ⁰₁µ⁰₂)^1/k .

D´emonstration :

Comme laρT-transformation de Fourier surT(Fx) ϕ7→ϕb=

"

µ⁰₁, µ⁰₂,(µ⁰₁µ⁰₂)^1/k 7→

Z

|µ1µ2|^1/k_x ·dµ1·dµ2·ϕ

µ1, µ2,(µ1µ2)^1/k

· k^ρ_x^T

µ1µ⁰₁, µ2µ⁰₂,(µ1µ2)^1/k·(µ⁰₁µ⁰₂)^1/k

#

pr´eserve le produit hermitien (ϕ⁰, ϕ⁰⁰)7→ hϕ⁰, ϕ⁰⁰i= Z

|µ1µ2|^1/k_x ·dµ1·dµ2·ϕ⁰

µ1, µ2,(µ1µ2)^1/k

·ϕ⁰⁰ µ1, µ2,(µ1µ2)^1/k et que, pour tout µ₁, µ₂,(µ₁µ₂)^1/k

∈T(F_x), k^ρ_x^T

µ1, µ2,(µ1µ2)^1/k

= Z

Fx^×

|µ|⁻¹_x ·dµ·ψx(µ·(µ1+µ2))·bk_x^ρ

µ,(µ1µ2)^1/k , on sait d´ej`a que le produit hermitien

hϕ⁰, ϕ⁰⁰i= Z

|µ⁰₁µ⁰₂|^1/k_x ·dµ⁰₁·dµ⁰₂·ϕ⁰

µ⁰₁, µ⁰₂,(µ⁰₁µ⁰₂)^1/k

·ϕ⁰⁰ µ⁰₁, µ⁰₂,(µ⁰₁µ⁰₂)^1/k est ´egal `a l’expression

Z

F_x^×

|µ⁰|⁻¹_x ·dµ⁰ · Z

F_x^×

|µ⁰⁰|⁻¹_x ·dµ⁰⁰· Z

|µ₁µ₂|^1/k_x ·dµ₁·dµ₂· Z

|µ⁰₁µ⁰₂µ⁰⁰₁µ⁰⁰₂|^1/k_x ·dµ⁰₁·dµ⁰₂·dµ⁰⁰₁·dµ⁰⁰₂

· ϕ⁰

µ⁰₁, µ⁰₂,(µ⁰₁µ⁰₂)^1/k

·ϕ⁰⁰ µ⁰⁰₁, µ⁰⁰₂,(µ⁰⁰₁µ⁰⁰₂)^1/k

· ψ_x(µ⁰·(µ₁µ⁰₁+µ₂µ⁰₂)−µ⁰⁰·(µ₁µ⁰⁰₁+µ₂µ⁰⁰₂))

· bk^ρ_x

µ⁰,(µ1µ2)^1/k·(µ⁰₁µ⁰₂)^1/k

·bk^ρx µ⁰⁰,(µ1µ2)^1/k·(µ⁰⁰₁µ⁰⁰₂)^1/k .

Il s’agit donc de prouver que cette expression ne change pas si l’on remplace l’op´erateur d’int´egration Z

|µ1µ₂|^1/k_x ·dµ₁·dµ₂· Z

|µ⁰₁µ⁰₂µ⁰⁰₁µ⁰⁰₂|^1/k_x ·dµ⁰₁·dµ⁰₂·dµ⁰⁰₁·dµ⁰⁰₂

par les op´erateurs Z

|µ₁µ₂|^1/k_x ·dµ₁·dµ₂ · Z

du·dv·1I^G_x,n

µ1 µ1·u µ1·v µ2+µ1·uv

· Z

du⁰⁰·dv⁰⁰·ψx(uu⁰⁰+vv⁰⁰)· |v⁰⁰|x·1Ix(u⁰⁰)·1Ix(v⁰⁰)

· Z

µ⁰⁰µ⁰⁰₂=µ⁰µ⁰₂

|µ⁰₁µ⁰₂µ⁰⁰₁µ⁰⁰₂|^1/k_x ·dµ⁰₁·dµ⁰₂·dµ⁰⁰₁

et que l’on fait tendrenvers +∞.

Il suffit de le faire dans le cas o`u les deux fonctions continues `a support compact ϕ⁰, ϕ⁰⁰:T(Fx)→C

sont d´eduites de deux fonctions continues `a support compact f⁰, f⁰⁰:G(Fx)→C par les formules

ϕ⁰

µ⁰₁, µ⁰₂,(µ⁰₁µ⁰₂)^1/k

=|µ⁰₂|x· Z

du⁰·dv⁰·f⁰

µ⁰₁+µ⁰₂·u⁰v⁰ µ⁰₂·u⁰ µ⁰₂·v⁰ µ⁰₂

,(µ⁰₁µ⁰₂)^1/k

,

ϕ⁰⁰

µ⁰⁰₁, µ⁰⁰₂,(µ⁰⁰₁µ⁰⁰₂)^1/k

=|µ⁰⁰₂|x· Z

du⁰⁰·dv⁰⁰·f⁰⁰

µ⁰⁰₁+µ⁰⁰₂·u⁰⁰v⁰⁰ µ⁰⁰₂·u⁰⁰ µ⁰⁰₂·v⁰⁰ µ⁰⁰₂

,(µ⁰⁰₁µ⁰⁰₂)^1/k

. Or ceci r´esulte de ce que le produit hermitien

hf⁰, f⁰⁰i

de deux telles fonctionsf⁰, f⁰⁰ est ´egal `a l’expression qui pr´ec`ede l’´enonc´e du lemme III.5.

Cela termine la preuve de ce lemme.

Remarque sur la d´emonstration du lemme :

Cette d´emonstration utilise le plongement deT(F_x) dansG(F_x) et le fait que le noyauk_x^ρT surT(F_x) est reli´e au noyau

k^ρ_x:G(Fx) → C

g,det(g)^1/k 7→

Z

Fx

dµ·ψx(µ·Tr (g))·bk_x^ρ

µ,det(g)^1/k

dont on suppose qu’il est suffisamment contrˆol´e pour autoriser les diff´erents changements d’ordre des int´egrations dont on a besoin au cours du calcul.

Lorsquek= 2, on peut aussi faire un calcul direct `a partir de l’expression k_x^ρT

µ1, µ2,(µ1µ2)^1/2

= Z

F_x^×

dµ·ψx

µ⁻¹+µ²·

µ1+µ2+ 2 (µ1µ2)^1/2 .