Etude mathématique du mouvement Brownien de rotation

HAL Id: tel-00278195

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00278195

Submitted on 9 May 2008

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Etude mathématique du mouvement Brownien de

rotation

Francis Perrin

To cite this version:

Francis Perrin. Etude mathématique du mouvement Brownien de rotation. Physique mathématique [math-ph]. Université de Paris, 1928. Français. �tel-00278195�

-

_ -

- - -- - ~ ’_ - - ..

----~.

- - , _

_ _,- - _~~

’-_--

-- .

1982.

THÈSES

PRÉSENTÉES

A

LA

FACULTÉ

DES

SCIENCES

DE PARIS

POUR OBTENIR

LE GRADE DE DOCTEUR ES SCIENCES

_{MATHÉMATIQUES}

PAR M. FRANCIS PERRIN

1re THÈSE. 2014 ÉTUDE MATHÉMATIQUE DU MOUVEMENT BROWNIEN DE ROTATION.

2e THÈSE. - LE _{CALCUL DES MATRICES ET LA} THÉORIE _{DES FORMES} BILINÉAIRES

A UNE INFINITÉ DE VARIABLES.

Soutenues le _1928, devant la Commission d’examen.

BOREL, Président.

CARTAN,

MONTEL, Examinateurs.

PARIS

ÉDITEURS

LIBRAIRES DU BUREAU DES LONGITUDES, DE POLYTECHNIQUE

Quai des _{Grands-Augustins,} 55

FACULTÉ

L’UNIVERSITÉ

. MM.

..

- .

Doyen... C. _MAURAIN, Professeur, Physique du Globe. Doyens honoraires... P. _APPELL, M. MOLLIARD.

Professeurs honoraires. P. _PUISEUX, V. BOUSSINESQ, A. _JOANNIS, H. LE _CHATELIER,

H. LEBESGUE, A. _FERNBACH, A. _{LEDUC, G.} SAGNAC.

.

’

EMILE PICARD... _{Analyse supérieure} et _{Algèbre supérieure.}

K0152NIGS ... Mécanique physique et expérimentale.

’

’

GOURSAT ... Calcul différentiel et Calcul _intégral.

JANET ... Electrotechnique générale.. WALLERANT ... Minéralogie.

-ANDOYER... Astronomie.

’

PAINLEVÉ ... Mécanique analytique et Mécanique céleste.

, GABRIEL BERTRAND.. Chimie biologique. _

P. CURIE ... Physique générale et radioactivité.

CAULLERY ... Zoologie ( Évolution des êtres organisés).

C. CHABRIÉ... Chimie _appliquée. G. URBAIN... Chimie minérale.

’

EMILE BOREL... Calcul des _{probabilités} et _Physique mathém.

. MARCHIS

... Aviation.

JEAN PERRIN... Chimie physique.

RÉMY PERRIER... Zoologie (Enseignement P. C. _N.).

ABRAHAM ... _Physique.

M. MOLLIARD ... Physiologie végétale.

CARTAN... Géométrie _supérieure. , LAPICQUE ... _{Physiologie générale.}

Professeurs... ’"’’’’’’ B

VESSIOT ... Théorie des fonctions et théorie des

transfor-COTTON... Physique générale. [mations] .

DRACH . , ... : ... Application de _l’Analyse à la Géométrie. C. FABRY... Physique.

CHARLES PÉREZ ... Zoologie.

.

LÉON BERTRAN D... _{Géologie appliquée} et _{Géologie régionale.}

-

LESPIEAU... Théories chimiques.

RABAUD ... Biologie expérimentale.

-PORTIER... , .... Physiologie comparée.

_ É. BLAISE... Chimie organique.

-- DANGEARD... Botanique.

MONTEL ... Mécanique rationnelle.

WINTREBERT ... Anatomie et Histologie comparées.

.

~

DUBOSCQ... Biologie maritime.

-

~ G. JULIA ... Mathématiques générales.

’

i

A. JOB ... Chimie _générale. "

i

A. MAILHE... Étude des combustibles.

i~

L. LUTAUD ... Géographie physique.

~ EUGÈNE BLOCH... Physique théorique. et physique céleste. ~ HENRI VILLAT ... Mécanique des fluides et applications.

~, CH. JACQB ...:... _Géologie. HERUUARD .... , . Zoologie.

PECHARD ... Chimie (Enseig P. C. N.).

AUGER... Chimie analytique.

GUICHARD ... Chimie minérale.

GUILLET .... , ... Physique.

MAUGUIN ... Minéralogie. BLARINGHEM.... Botanique.

MICHEL-LEVY... Pétrographie.

DE REIMS ... Géologie.

DONGIER... Physique du globe.

DENJOY... Calcul différentiel et _intégral.

RENARD ... Physique (P. C. N.). ,

DARMOIS... Physique.

BRUHAT... Physique.

MOUTON... Chimie physique.

JOLEAUD ... Paléontologie.

JAVILLIER... Chimie _biologique. DUFOUR... Physique (P. C. N.).

PICARD... Zoologie (Evolution des êtres

, organisés ).

’ ROBER’r-LÉVY .. Zoologie.

DUNOYER ... Optique appliquée.

GUILLIERMOND. Botanique ( P. C. N.).

DEBIERNE ... Radioactivité. Secrétaire... D. TOMBECK.

MONSIEUR

EMILE

BOREL

JEAN

PERRIN

PREMIÈRE THÈSE

ÉTUDE

_{MATHÉMATIQUE}

DU

MOUVEMENT BROWNIEN

DE

ROTATION

RÉSUMÉ.

Pour

_déduire,

des lois élémentaires du mouvement brownien de rotation d’une

_sphère,

la

_probabilité

d’une rotation donnée au bout

d’un

_temps

_quelconque,

on s’est heurté notamment à la difficulté

qui

résulte de

_{l’impossibilité}

de

_décomposer

une rotation finie en

com-posantes

indépendantes.

Dans les

_{premiers Chapitres}

de ce

Mémoire,

le

_problème

est résolu

en

généralisant

l’équivalence

bien connue des lois du mouvement

brownien de translation et de celles de la diffusion

_(ou

de la

con-ductibilité

_thermique),

et en

intégrant

les

équations

aux dérivées

partielles

obtenues _{par des}

_{développements}

en séries de fonctions

fondamentales.

L’étude du mouvement browmen de rotation d’une

_sphère

est faite

en deux

étapes :

~

1. Le mouvement brownien

_angulaire

d’une direction

_unique,

liée à

la

_{sphère, correspond}

à une diffusion sur la surface d’une

sphère

de

rayon I. De

l’équation

aux dérivées

partielles correspondante,

on

déduit :

T° La _{valeur moyenne} au

temps tdu

carré du sinus de

l’angle

d’écart 03C9

sin=’~ ..~ ? (1- ~._~~~t)3

.

formule

_{rigoureuse qui remplace}

la formule

_asymptotique

2° Le

_{développement}

de la fonction

_t),

donnant la

_probabilité

.

, d’un écart

angulaire quelconque,

en série de

polynômes

sphériques

et

d’exponentielles

par

rapport

au

_temps.

,

II. Le mouvement brownien d’ensemble de la

_sphère

autour de son

centre est

_{représentable}

_par une diffusion sur une

_hypersphère

à trois

.

dimensions,

et la fonction de

_{probabilité correspondante}

_~~(~,

_t)

a un

développement analogue

à celui de la fonction

_~’(c~,

_t).

Le

_{problème plus}

_simple

du mouvement brownien de rotation autour

d’un axe fixe

équivaut

à une diffusion sur une circonférence

(Cha-pitre III).

Deux

_{développements}

en série de

_types

différents sont

obtenus _{pour la fonction de}

_{probabilité correspondante}

_t).

’

D’une

façon

_générale

_(Chapitre

IV),

la fonction de

_probabilité

rela-tive au mouvement brownien

_angulaire

d’une direction liée à une

hypersphère

dimensions se

déduit,

suivant la

parité

de _p, de la

fonction

_t)

ou de la fonction

f(03C9,

t),

_{par des dérivations par rap- .}

port à

cosu ou cosm. Ce résùltat prouve _{notamment que} toutes ces

dérivées sont

_positives.

Une étude des fonctions obtenues ~~ et de leurs relations est

faite au

Chapitre

V.

Enfin,

le

_problème

du mouvement brownien d’ensemble d’une _

hypersphère

à trois dimensions est résolu au

Chapitre

VI _{par des}

méthodes

_analogues.

La deuxième

_partie

de ce travail

(dernier Chapitre)

est consacrée à

l’exposé

d’une méthode toute différente

_permettant

l’étude des

pro-blèmes de mouvement brownien. Cette méthode consiste à résoudre

d’une

_façon

_{générale l’équation}

fonctionnelle

_intégrale

_qui

_exprime

successives.

_{Cette équation}

admet comme solutions une infinité de lois

de

_probabilité

résultant de l’itération indéfinie de

_{distributions}

de

probabilité

infiniment ramassées, suivant des lois

_quelconques,

au

voisinage

de

_{l’origine (représentant}

la

_position

_initiale).

Si la

distri-bution de

_probabilité

dont on

_part

est effectivement tout entière .

ramassée autour de

_l’origine,

c’est-à-dire nulle, ou infiniment

petite

du second ordre au moins en dehors d’un domaine infiniment

_petit

entourant

_l’origine,

la loi limite d’itération est

_toujours

la même; elle

correspond

alors à la loi ordinaire de Gauss et donne la solution

véritable du

_problème

de mouvement brownien. Mais les solutions

obtenues à

_partir

d’une loi de

_{probabilité qui}

soit au

_premier

ordre

seulement infiniment

_petite

à des distances finies de

_l’origine,

sont

de nature tout à fait différente et sont

_physiquement

exclues

par

.

l’impossibilité

des vitesses infinies.

La condition mise ainsi en évidence,

qui

est nécessaire et suffisante

pour que le résultat d’un

nombre

infini d’itérations conduise à la loi de

type Gauss,

l’est d’ailleurs naturellement aussi

_(quoiqu’on

ne la mette

pas en

générât

en

évidence)

_pour

qu’on puisse

démontrer

l’équiva-lence des lois du mouvement brownien et de celles de la diffusion.

INTRODUCTION.

On

_appelle

mouvement brownien les

_{déplacements parfaitement}

irré-guliers,

dus à

_{l’agitation}

_thermique,

d’une

_particule

solide dans un

milieu doué de viscosité. Les

_problèmes

fondamentaux relatifs au

mouvement brownien de translation sont étroitement liés à d’autres théories

_importantes

de

_physique

_{mathématique (diffusion}

dans les solutions et conductibilité

_thermique,

loi des erreurs de

Gauss);

ils

sont résolus

_{depuis longtemps.}

La

_théorie

du mouvement brownien de rotation était

_beaucoup

moins avancée, seules les lois élémentaires

en avaient été _{données par Einstein. Ce}

_phénomène

se

_prête

_pourtant

aussi à des mesures directes donnant les

grandeurs

moléculaires

(~ ),

et intervient de

façon

essentielle dans diverses

_questions,

notamment

dans la

_{dépolarisation plus}

ou moins

grande

des lumières de

fluores-cence, et la détermination

correspondante

des durées d’émission

lumi-neuse.

Du

_point

de vue

mathématique,

l’étude

statistique

des rotations

irrégulières,

ou

_plus

exactement des

_{déplacements}

continus mais sans

. dérivée

(axe

instantané de rotation

_{indéterminé)}

d’une

_sphère

autour

de son _centre, est un

problème

intéressant de

probabilité

trique, qui

conduit notamment à l’obtention de fonction de

_type

Gauss

sur des

multiplicités

fermées

(sphères

et

_{hypersphères).}

Je tiens à

_exprimer

ici mes très vifs remerciements à M.

Élnile

Borel,

_qui

a bien voulu s’intéresser à ce

travail;

_j’ai

en

_particuli

er

développé

le dernier

_Chapitre

à la suite de

_{questions qu’il}

m’avait

posées.

>

* **

Les lois élémentaires du mouvement brownien de rotation d’une

petite sphère

immergée

librement dans un

liquide,

sont tout à fait

analogues

à celles du mouvement brownien de translation. Si l’on

considère un intervalle de

_temps

Ot suffisamment _{court pour que} la

rotation

_totale

_{subie par la}

_sphère

soit en fait

toujours

assez

petite

pour

pouvoir

être

décomposée

en trois rotations

indépendantes

a,

~,

_y

effectuées autour de trois axes

_{perpendiculaires}

_quelconques,

on

démontre

_qu’il

résulte de

_{l’isotropie}

et de

_{l’irrégularité}

du mouvement

(indépendance

des rotations

_{successives) (’ ) que}

les _{valeurs moyennes} de ces rotations et de leurs

_produits

deux à deux sont

_nulles,

et celles de leurs carrés

_égales

entre elles et

_{proportionnelles}

au

_temps,

ce _que

( 1 ) Cette _{indépendance} ne _{peut pas physiquement subsister pour des intervalles de} temps réellement infiniment _petits, mais elle est encore _{pratiquement complète pour}

des durées telles que les déplacements moyens correspondants soient extrêmement

. petits et cela suffit

pour qu’on puisse en déduire les lois relatives aux _{déplacements}

nous écrirons .

-03B1=03B2=03B3=o, 03B203B3=03B303B1=03B103B2=o,

(1)

03B22=03B32=2R0394t.

D’une

_façon

_plus

_précise,

la

_probabilité

_{que ’les}

_composantes

de la

rotation _{subie par} la

_{sphère pendant}

le

_temps

dl soient

_comprises

res-pectivement

entre a et a +

_{d~, 3 et )}

+

d;~,

_y et _y + est dans les

mêmes conditions

(2)

(I 403C0R0394t)3 2

e

d03B1 _{d03B2 d03B3} .

On sait

_{qu’Einstein (’)}

a de

plus

montré _{que le} coefficient 8

(qui

cor-respond

au coefficient de diffusion dans la théorie du mouvement

brownien de

_translation)

_peut

être déduit

du

théorème

_{d’équipartition}

de

_{l’énergie cinétique}

et de la loi de Stokes donnant le

_couple

de

frot-tement

_{qui s’oppose}

à la rotation d’une

_sphère

de _rayon r

plongée

dans un

liquide

de viscosité En

désignant

_{par T}

la

_température

absolue,

par R la constante des gaz, et par N le nombre

d’Avogadro,

on trouve _que o) ~, ~ I t .°J (l~, - ~ iB !. .

Mais ces formules cessent d’être

_{applicables quand}

les rotations ne

sont

_plus

très

_petites,

c’est-il-dire

_quand

devient

_notable,

car on ne

_peut

_plus

alors

décomposer

la rotation subie par la

sphère

en trois

rotations effectuées dans un ordre

quelconque

autour de trois axes

perpendiculaires.

Dans ce Mémoire nous nous _proposons de montrer

comment on

_peut

résoudre le

_{problème qui}

se _pose

_alors,

de la

compo-sition d’une infinité de rotations infiniment

_{petites indépendantes,}

et

déterminer

ainsi d’une

façon

_générale

la

_probabilité

d’une rotation donnée au hout d’un

_temps

quelconque.

CHAPITRE I.

°

MOUVEMENT BROWNIEN h’UNE DIRECTION LIÉE A LA SPHERE.

Nous commencerons _par étudier les

déplacements angulaires

d’un

seul rayon déterminé OC de la

_{sphère immergée}

S,

ou, ce

_qui

revient au _même, les

déplacements

du

point

11~ où une

parallèle

à ce _rayon

menée _par le centre d’une

_sphère

_{fixe 2 de rayon i} rencontre cette

sphère.

Ces

_{déplacements}

sont _{caractérisés par} la

_probabilité

t)d03A9

que le rayon considéré se trouve au bout du

_{temps t}

dans un

_angle

solide infiniment

_petit

d~ faisant avec sa direction initiale

_l’angle

c~~, .

Si l’on _{considère deux rayons} OA et OB formant avec ()C un trièdre

trirectangle,

on voit que le

déplacement

du rayon OC résulte à

_chaque

instant des rotations élémentaires autour de ces _rayons, et _que

_{le ’}

’

déplacement

correspondant

du

_point

M a _pour

_composantes

_s, et s,,

suivant deux directions

_{perpendiculaires tangentes}

à la

_{sphère 03A3}

les

valeurs ~~

_{et )}

de ces rotations.

_D’après

les relations

₍₁₎

on a donc .

~ ~) ) Sj =5~~0~ =0~ ,5~~=S,;._-_?D~.~t. .

Ces relations

_expriment

un mouvement brownien de

_déplacement

du

point

~I sur la

_{surface sphérique 2.}

Un raisonnement

identique

à celui i

qu’on

fait dans le cas du

_pian

montre

_qu’il

_y a

équivalence

entre ces

lois élémentaires et celles de la diffusion

_{(’ ),}

c’est-à-dire résulte

(j ) Le raisonnement en _{question suppose, aussi bien dans le} cas du _{plan, que} sur une _{multiplicité quelconque, que} les valeurs moyennes des termes d’ordre _supérieur au deuxième formes avec les _composantes du _{déplacement,} sont nulles, ou tout au

moins du second ordre par rapport à ~t :

_

s~lc ~ s;h~ _ ~;~.,jts__G_, ... ~

,

Cette _{hypothèse supplémentaire} est nécessaire bien _qu’on ne la mette _pas en évidence

en _générai. Elle est d’ailleurs bien _{indépendante} des conditions _(4), car on _peut

con-cevoir des _{déplacements} désordonnés satisfaisant à ces dernières conditions et _pour

lesquels _

~~J~=A/,A~-;-B/,A~

-

... (A~: ~ o)~ .

Il aurait _plus alors _équivalence avec les lois de la diffusion. De tels _{déplacements}

sont d’ailleurs _{physiquement impossibles} (ils supposent des vitesses réellement

des relations

_{précédentes}

_{que la fonction de}

_{probabilité f(03C9, t)}

satis-fait â

_{l’-équation}

de la diffusion sur la

sphère

_~,

le coefficient de

diffu-sion étant

_égal

â Pour obtenir

_{l’expression}

de cette

_équation

on

peut,

soit

_appliquer

la formule

_générale

_que nous donnons

plus

loin

(p.

~~),~

soit écrire que le

produit

par C’v du flux du

gradient

de la fonction

_/’

à travers le contour d’un

_petit

élément dS~ ==

de !: est

_égal

à la dérivée _par

_rapport

au

_temps

_de

ce

qui

donne

. ( 5 ) t~

~

, ’ B ~/ r)t 1 OU (6) ~2f ~03C92 + cos03C9 sin03C9 ~f ~03C9 = I R ~f ~t.

La fonction de

_{probabilité f (c~, t)}

doit de

_plus

satisfaire à la

con-dition

( 7 )

_03A3

fd03A9 = 2 03C0

03C00

f(03C9, t)sin 03C9 d03C9 = T

et d’autre

_part

_pour

t infiniment

_petit

elle doit tendre vers zéro

quel

que soit (o, sauf au

voisinage

de c~~ == _©, où elle devient alors

infinie,

(8) f(03C9, o)=o, sauf _f(o,o)=+~.

Avant d’effectuer

_{l’intégration}

de

_{l’équation}

aux dérivées

par-tielles

_(6~,

nous allons montrer

_qu’on

_peut

obtenir

_simplement,

sans

qu’il

soit nécessaire de connaître

_{explicitement}

la

_fonction

_/(/’~

_{t ~,}

une formule

_rigoureuse

donnant la valeur moyenne au

_temps

du

carré du sinus de

_l’angle

d’écart et)

_{~,’ ,).}

En

effet,

désignons

_par

cette fonction du

_temps

(9) l(t)=sin203C9=203C003C00sin203C9.f(03C9, t)sin 03C9 d03C9.

_ En dérivant sous le

signe d’intégration,

on obtient

I’(t)=203C003C00

sin203C9~f ~tsin03C9d03C9 .

. (’j) F. PERRIN, Comptes rendus, 181,

ou, en

remplaçant ~f ~t

_par sa valeur tirée de

l’équation (5),

I’(t) = 203C0R03C0

sin2

03C9 (sin 03C9~f)d03C9,

l’(t) =

,

o

B

dw,

d’ou,

en

_intégrant

deux fois _par

_{parties (les}

termes

_intégrés

sont nuls

. aux

limites),

.

f(~,

c’est-à-dire,

d’après

les relations

_~~)

et

_(g),

(10)

L’intégration

de cette

_équation

différentielle donne .

.

l.~t)=C~~_G~~~-- ~

’) 3

et, comme on doit avoir

I(o)

== _{o, on} obtient finalement

(M)

Sln’‘G1= ? 3 (I-~-G~~,.

Cette formule est

_l’analogue

de celle

_qui

donne le carré _{moyen du}

déplacement

dans le cas du mouvement brownien de translation.

Pour étudier

_{complètement}

le mouvement brownien de

_rotation,

il faut considérer comme nous le ferons

plus

loin,

non _{pas seulement}

une

direction,

mais un trièdre lié â la

sphère

S. Si _ _{1, ?,}

3)

sont les neuf cosinus

_qui

déterminent la

_position

d’un tel trièdre à

l’instant t _par

_rapport

â sa

_position

initiale,

on a

.

~x;~+°~~i_Wa~:~=I i

et comme _par

symétrie

03B1212 =03B1213,

on voit que d’une

façon

_générale

On a

d’ailleurs,

encore _par

_{symétrie (’),}

.

(I? bis) arnay,=o (z~J)~

Enfin un calcùl

analogue

à ceux _que nous venons de faire donne

(t3 ) aü = cos 03C9 = 03B1ik = o.

Détermination

_explicite

cic la

_fonction

_{f(03C9, t).}

- Les conditions

(5),

(~)

et

₍₈₎

déterminent la fonction

_t)

et l’on

_peut

en déduire une

expression analytique simple

de cette fonction. Posons

(r~) t).

L’équation (5)

devient (I5) ~ ~u

[(I

- u2)~F ~u

]

=

I R

~F ~t.

La forme de cette

_équation

aux dérivées

partielles suggère

des

solu-tions

_{particulières}

de la forme

étant le

_polynolne

de

_{Legendre qui}

satisfait à

_{l’équation}

différentielle

d du

[(I

- u2)dPn(u) du]

=-n(n

+ I)Pn(u

);

t)

sera donc une solution de

_{l’équation (15)}

si

(p.(/)~:2014~(~-~-i)~o~(/),

si

- Il en résulte que toute série de la forme

(,1~) t) ~ ~1(t~) e ’-e~’l’~...-f- _f,i in(r()

satisfait formellement à

_{l’équation (15) quels}

_que soient les

coef-(1) Les formules (I2) et _{(i3), appliquées} aux _grosses molécules des corps

iluores-cents _{dissous, suffisent pour calculer rigoureusement} l’influence de la viscosité du solvant sur la _polarisation de la lumière _qu’ils émettent _{(F. PERRIN,} J. de _Physique,

ficients constants cn. Cette série

représente

la solution

générale

de

l’équation

(15),

car on

_peut

déterminer les c,, de

façon

_{que la}

fonc-tion

F(u,

t)

ainsi définie se réduise _{pour ~==} o à une fonction

quel-conque donnée

o).

On sait en effet que toute fonction

_peut

être

développée

en série de

_polynomes

de

Legendre,

_{pour les} valeurs

=

,

de la variable

_comprises

entre - u et -E-1, ce

qui

est le cas ici

puisque

Il = cos03C9. On a

( tt , o ) =-- _{r- --~- t~,} ( n. ~ _{--I-- ... --+__ r~,~ I t I -~- ...}

en

_prenant

rn=(n

+ I 2)+1-1

F(u,

o)Pn(u)du .

Dans le

_problème

du mouvement brownien de rotation on doit

avoir

_F(?/,

_{0) = 0}

_quel

_que soit l/, sauf au

voisinage

de lr == _i, F étant alors infiniment

_grand

mais satisfaisant

_{toujours à}

la

_condition

~TT ~ r"’

, 1

’

.

Comme

_Pn(I)

== _{i ,} on aura donc dans ce cas

_(F

étant. essentiellement

positif),

-cn =

(n

+ 1 2)

lim

+1-1

F(u, i ) du

= 1 303C0

(n + 1 2)

et la fonction de

_probabilité

sera

_par suite donnée _par le

dévelop-pement

(I7) F(u ,

t)=1 403C0[1 + 3P1

(u) e-2R t + ... + (2n + f, tt )e-n

(n+1)Rt _{+ ...}

]

ou en revenant a la variable

( 1 8 > /’(.), 1) ---

[1 + 3P1(cos03C9)e-2Rt+...

+ (2n + I)Pn(cos03C9)e-n(n+1)Rt+...].

Ces séries sont absolument

_convergentes

_pour

_|Pn|~I;

elles

valeur

_positive

du

_temps.

_Rappelons

_que

~

~IÇ))

)

B

P, ( rr ) - rr, P~ ( tc )

‘ ~

( 3 rc~ -- I ~, ... ,

En utilisant les

_{propriétés d’orthogonalit,é}

des

_polynômes

de

_Legendre

on

_peut

facilement

déduire,

des

_{expressions (1~7)}

ou

(18),

la valeur

moyenne au

_{temps t}

d’un

polynome

en rc

(ou

et retrouver ainsi

par

exemple

les formules

(i

i),

(12)

et

_{(13 )}

_{(’ ~.}

CHAPITRE II.

ÉTUDE GÉNÉRALE DU MOUVEMENT BROWNIEN DE ROTATION D’UNE SPHERE.

Représentation des déplacements d’une sphère.

.

® Nous devons

main-tenant chercher à déterminer

_{complètement}

la

_probabilité

au

_{temps t}

pour que la

sphère

mobile S se trouve dans une certaine

position

quelconque

P.

On

_peut

amener la

_sphère

S dans la

position

P à

partir

de sa

position

.

initiale Po par une rotation résultante

unique ;

soient 2 ~ la

grandeur

de cette rotation et

_{~, ~}

les coordonnées

_sphériques

de sa

direction

(par

rapport

à un trièdre

fixe).

Nous définirons la

position

P par les

angles

03A6,

8,

_03C8,

ou _{par les}

paramètres homogènes

d’Olinde

Rodrigues :

/

03BB = sin 03A6 sin 03B8 sin 03C8.

(20)

= sin 03A6

sin 03B8

_{cos 03C8,}

03BD

= sin 03A6 cos 03B8,

03C1

= cos 03A6,

qui

satisfont à la relation

(2I) 03BB2 + _{2 +} 03BD2 + 03C12 = 1.

(~) On _{peut également} démontrer _que

~0

[f(03C9,

t) -

I 403C0]

dt =

I 403C0R

Si l’on considère

~~,

_{u., v, ~} comme les coordonnées

_{rectangulaires}

d’un

_point

M dans

_l’espace

à

_{4 dimensions,}

cette

_équation

_représente

Fig. I..

une

_hypersphère

_~3

de rayon _i, et à toute

_position

P de la

_sphère

S on

peut

faire

correspondre

indifféremment le

_point

_{~I(i,, ~~,}

_v,

_p)

_{ou le}

point

diamétralement

_opposé

_{lI’( -}

_î~,

-

~~, -- ~u,

-- ~ ).

En

particulier

les

_points

_Mo

et

_M’0

où l’axe

_des?

_coupe

_{l’hypersphère}

03A33

_{correspondent}

à la

_position

Po.

Cette

_{correspondance}

entre les

_positions

de la

_sphère

S et les

_points

de

_{l’hypersphère}

S

_peut

être considérée comme

intrinsèque.

En

effet,

si en

premier

lieu on

_change

le trièdre

_Oxyz

lié à la

_position

P0,

~

garde

la même valeur et les

composantes,

A,

subissent une

formation linéaire

_orthogonale,

ce

_{qui correspond}

à un

_changement

d’axes

_orthogonaux

dans

_{l’espace (î.,}

_pL,

_{u, ~ )}

avec conservation de

l’axe

_{des p.}

Par ailleurs si au lieu de définir la

position

P _par

_rapport

à la

_position

_Po

_par la rotation

_{( î~, u,, v, ~ ),}

nous considérons une

autre

_position

de référence

P,,

de

_laquelle

on _passe c~ la

position

P~

par une rotation

(î,’,

_u~’,

_v’,

_p’),

la

_position

P sera définie _par

_rapport

â.

la

_position

P,

_par une rotation

(ï~.", u", ~~",

p")

donnée par les formules

bien connues de la

_composition

des _{rotations, que l’on}

_peut

écrire

_(les

Ces formules définissent une transformation linéaire

orthogonale

effectuée sur les coordonnées du

point

M, car

~ - -‘- ~. - -f- ~~ - ~- ~ -

~ ~ - -E-- ~,- -~- ,J- -~-- Q- ~ I ~ ]

elles

_{correspondent}

_{par suite} à un

déplacement

autour de

_l’origine

du

.

système

d’axes

_auquel

est

_rapportée

_{l’hypersphère}

_déplacement

amenant l’axe

_des?

à _{passer par le}

_point

_{qui correspond}

à la

nou-velle

_position

de référence

Pt

_(1).

Ces

_{déplacements}

forment un

sous-groupe a trois

paramètres

du groupe des

déplacementsautour

de

l’ori-gine

dans

_l’espace

à

_quatre

dimensions. Ce _sous-groupe étant transitif

pour les points

de

_{l’hypersphère}

_E:; admet comme seul élément

diffé-rentiel invariant l’élément d’aire dû de cette

_{multiplicité (invariant}

vis-à-vis de tous les

_{déplacements).}

La

_probabilité

élémentaire dJ rela-tive aux

positions

de la

sphère

S,

définie _{par la} condition d’invariance

vis-à-vis du _groupe des rotations autour de

_l’origine

dans

_l’espace

à

trois

_dimensions,

est donc

_égale

à l’élément d’aire da de

l’hyper-sphère

~’a

( 23 ) ~ dJ 1=: du = sin e cl0

clû,

et nous retrouvons bien ainsi sans calcul

l’expression classique

de la

probabilité

élémentaire dJ.

Les formules de

_composition

des rotations donnent

_également

les

variations

_dp

des coordonnées de

_position

de la

_sphère

S,

quand

on

lui

fait

subir,

à

_partir

d’une

_{position quelconque}

P

_{~?~, ,~, ~>, o~,}

une

petite

rotation de

_composantes

a, ~,

_y

(par

_rapport

aux axes

mobiles),

et _{par suite} de coordonnées

_homogènes

_°-‘~

~ 9 ~ ~

1

(par

rap-( 1 ) Le tableau des seize cosinus de cette transformation _orthogonale

est _gauche, ce _{qui correspond} à un _{déplacement décomposable} en deux rotations absolument _{perpendiculaires égales} en valeurs absolues _{(la décomposition} en deux rotations _{perpendiculaires} est alors _possible d’une infinité de _façons).

port

à la

_{position P) :}

Ces formules montrent _que le

_déplacement

_{correspondant}

du

_point

représentatif

àI(1,,

;u, ~r,

p)

est la résultante de trois

petits

déplace-ments SJ =

°-‘~

_S2

_ ~,

=

~3 ~)

effectués suivant trois directions

rectan-gulaires,

ayant

respectivement

comme cosinus directeurs

~, ~ ~ .- y 3 ~,~ - ~, ) ~ (’~, ,J, -- 1 ~,, - ~~ ), ( - ~., ~,, r~, ._ ,~’ ).

Ces directions sont d’ailleurs bien toutes trois

_{perpendiculaires}

à la

direction

_{~~~, u~, v, ~ ),}

et _par suite

_tangentes

à

_{l’hypersphère}

_~~~.

Remarquons

enfin _que dans un

_déplacement

continu

_quelconque,

le

carré de la vitesse du

_point

_{représentatif M}

est

_{proportionnel}

à

_l’énergie

cinétique

T de la

_sphère

S. En

_effet,

on a

~~T-A(~2-~-q~-~-r9),

A étant le moment d’inertie de la

_sphère

S autour d’un

_diamètre,

et p, q,

r les

composantes

de la rotation instantanée suivant les axes

mobiles. Or la rotation subie _{par la}

_sphère

_pendant

l’intervalle de

temps

infiniment

petite

a _pour

_composantes

suivant ces axes a _=~

ot,

donc en

désignant

par ds

la distance infiniment

petite

parcourue par le

point

on a

d’après

les formules

(24)

ds2 =::. d03BB2 + d 2 + d03BD2 + d03C12 =

1 4

_{(p2 + q2 + r2)}dt2

et _par suite (25) (ds dt)2=1 2AT.

l’hyper-sphère 03A33

( 26) ds2 = d03A62 + sin203A6 d03B82 + sin203A6 sin203B8d03C82,

et redonne _{par suite} comme

expression

de la

probabilité

élémentaire

invariante,

l’élément d’aire d6

_qui

lui

_correspond.

~--

Supposons

de nouveau _{que la}

sphère

S soit soumise à un mouvement brownien de

_rotation,

et _que «,

~~,1~

soient les

_composantes

suivant les axes mobiles de la

_petite

rota-tion totale _{subie par} la

_sphère

S

_pendant

un très

_petit

intervalle de

temps

Ces

_composantes

satisfont alors aux relations _moyennes

(i).

Par suite les _{valeurs moyennes} du

_premier

et du second ordre relatives

aux

_composantes

.. s1=03B1,

s2=03B2

, _s3=03B3 . ’ ° 3 ’ > ’ 2

des

_{déplacements correspondants}

du

_{point représentatif}

~I sur

_~J

sont ~~ z=; ~~ ~~ .~~;m (_),

s21=s22=s23=2R 4 0394t.

Ces

_composantes

étant

_comptées,

comme nous l’avons _montré, suivant

les axes d’un trièdre

trirectangle

_tangent

à la

multiplicité

il

résulte directement des formules

_{précédentes}

_que, si l’on

_désigne

par U da la

probabilité

pour que le

point

M se trouve à un certain

instant sur un élément ~a de

~;;,

la fonction U satisfait à

l’équation

de

la diffusion sur cette

_{hypersphère,}

le coefficient de diffusion étant

égal

.

,

Sur une

multiplicité

d’élément linéaire

= _aik déci

l’équation

de la diffusion s’écrit notation

_tensorielle)

1 a ~ ~xi _{(aaik~U ~xk)} =

1 03C9 ~U ~t .

(27)

variables

&, 0,

~)

r o o

a = o sin203A6 . o = sin403A6 sin203B8,

o o sin203A6sin203B8

et l’on a

03B1ii= 1, aik=o si _i~k.

~~

L’équation

de la diffusion est donc

(

en faisant c0

== ~ )

(.8)

20142014-~sm~~

(28) _{sin203A6 ~03A6}

_(sin2

03A6~03A6)

+ I sin03B8

~ ~03B8(sin

03B8~U ~03B8) +

1 sin203A6sin03B8

_{~ ~03C8}

(I sin03B8

_{~U ~03C8) = 4 R}

~U ~t.

Or la

_probabilité

_{pour que la}

_sphère

S ait subi entre

_l’instant

initial

et l’instant t une rotation

_(03A6,

03B8,

_’L)

ne

_dépend

_par

symétrie

_{que de} la

grandeur

~$ de cette rotation et non de sa

direction,

autrement dit si te

_pôle

$==o de

_{l’hypersphère}

03A33

correspond,

comme nous rayons

supposé,

à la

_position

Initiale de la

_sphère

S, la fonction de

probabi-lité U ne

dépend

_que de

l’angle

& et du

_{temps t}

_(mais

non (le 6 et

_{03C8) ;}

nous _{pouvons donc la}

désigner

_par

~(t)~).

Pour une telle fonction

l’équation

(28)

se réduit a

(29)

1 sin203A6

~ ~03A6

(sin203A6~g ~03A6

)=

4 R

~g ~t.

. "

~B

~7

==

~

~

Par ailleurs comme une

_position

de la

_sphère

S est

_{représentée}

_par

deux

_points

diamétralement

_opposés

sur

_E~

on doit avoir

(3o) ~-((P, ~)m~(7r-D, ~

.

et

03A3

g(03A6, t)d03C3=03C0003C00203C00 _g(03A6,

t)sin203A6 sin03B8 d03A6 d03B8 d03C8=

2,

*~0 vu ~0

c’ est-à-di re

Enfin la

_position

initiale

_{correspondant}

aux

deux pôles 1>

== _o et ~ _ ~

de

_~3,

la fonction

_~~~(~,

_t)

doit tendre vers zéro avec t _pour toute valeur

de

~,

sauf au

voisinage

de ~ = o et ~ _ n, _{b° tendant alors} vers

l’in-fini tout en continuant de satisfaire aux conditions

(30)

et

(31).

La

fonction

_{~~(~, t)}

est ainsi

_{complètement}

déterminée,

et nous allons

montrer

_qu’on

_peut

en trouver une

représentation

analytique explicite.

L’équation ( 2g) développée

s’écrit

~2~ . ~2b~

4_

( ~ "

2 sin IJ U’~ ~t

Transformons-la en

_prenant

comme fonction inconnue le

_produit

(33) Y(~, ~)=i~(~, t) Elle devient ( 3 ,~ ~ ~

c~ 2 Y ~. y _ .~ i ~Y ,

~~

et nous devons en étudier les solutions

Y(&~ t)

qui

admettent la

période

2~ _par

_rapport

à _~, et s’annulent

_{pour ~}

=== o

[d’après

la

rela-tion

_(33)].

Cette dernière

_équation

aux dérivées

partielles

étant

linéaire admet c-omme solutions

particulières

satisfaisant à ces

condi-tions des fonctions de la forme

/~ étant un nombre entier

quelconque;

en faisant la substitution on

trouve

_qu’il

faut avoir .

a = 2014 R

m22014I 4.

Il en résulte _{que la série}

(35 )

Y(03A6,t)=03A3cmsinm03A6e-m2-1 h

Rt

/M=i

de

_{l’équaiton (3C~),}

car le théorème de Fourier

permet

de déterminer

les coefficients e"L de

façon

que cette série se réduise

_{pour t}

== o à une

fonction

_quelconque

donnée

_{pour $}

_compris

entre o et 03C0

(36) _{cm=2 03C0}

03C00 Y0(03A6)sin m03A6d03A6.

Dans le cas du mouvement brownien de

rotation,

nous aurons

d’après

les conditions

_~~o)

et

_(3I)

(37) Y0(03A6)=Y0(03C0-03A6),

203C00Y0(03A6)sin03A6 d03A6=I,

étant

nul,

sauf au

_voisinage

de 03A6 = _o et $ == ?. Comme on

peut

écrire

cm =2 03C0

03C00

sin m03A6 sin 03A6Y0

(03A6)sin03A6 d03A6,

on voit _{par suite que}

_(Yo

étant

positif)

c2n=

o. _c2n+1= 2n+I 03C02 .

La solution cherchée est donc

-

~. (~1, ~ )

==.-~ ~

( 2 l2 -~-- l )

Sl ’ ll ( 212 -f -- I ) ~ e -n(n-a-1)~t

.

en revenant à la fonction

g~(~~,

t),

(38) g(03A6, t) 1==

I 03C02 I sin03A6[sin 03A6 +...+(2n+I)sin(sn+I)03A6e-mn+0Rt+...]

.

Remarquons

que le

quotient

sin(2n + I)03A6 sin03A6

est un

polynôme

de

degré

/z

en cos203A6 ou en et si _{l’on pose}

i

.0 ,

(39)

on

_peut

montrer _{que les}

polynômes

Reforment

une suite

_analogue

à

les relations

En

_résumé,

la

_probabilité

_{pour que} la

_sphère

soumise au

mouve-ment brownien se trouve à l’instant t dans une

position

déduite de la

position

initiale par une rotation de

grandeur 203A6

et de direction

_{03B8, 03C8}

(à

près)

est ~

__

g(03A6, t) sin203A6 sin 8 d03B8

_d03C8,

la fonction _{g étant} déterminée _{par le}

_{développement}

en série

(38).

Si

l’on veut définir l’orientation de la

_sphère

_{par les cosinus} directeurs

ou _{par les}

angles

X,

_{, il} suffit d’utiliser les relations

(4I ) cos203A6=03B111+03B122+03B133-I 2 , cos03A6=cos03C9 2cos03BB + 2 .

CHAPITRE III. ’

MOUVEMENT BROWNIEN DE ROTATION DANS LE PLAN OU AUTOUR D’UN AXE.

Ccs

_problèmes

se ramènent à l’étude de la diffusion sur une

position

initiale,

et _par

_t~

da la

_probabilité

d’une rotation

com-prise

entre a et 03B1 + d03B1 à

l’instant t,

on voit

immédiatement,

comme

dans le cas du mouvement brownien de

_déplacement

sur une

droite,

que

( 42 ) ~2h I ~h

(’~ ) _{da9 ~ G. ~~,.}

La solution

_générale

de cette

_{équation, identique}

à celle du

pro-blème

de l’armille sans

_perte

de

chaleur,

est

. _ h(oc,

+ Bncosn03B1)

n=0

avec

An = I o ) sin n 03B1 d03B1, Bn= I 03C0+03C0-03C0h(03B1, o) cosna da _{( n} ~ o),

.

Bo== 1 o) da.

2?~

~-~

Dans le cas étudié

ici,

on a

o ) - o, sauf au

voisinage

de x =

o, h étant alors

positif

et infiniment

grand

de

telle

façon

que

+03C0-03C0 h(03B1,o)d03B1=I.

On a _par suite

A.,i -- o, i

Bo - z ,

,

?C 2x

Donc

(43) h_{(03B1, t) = I 203C0}

_[

I + 2e-Rt cos 03B1 + ... + 2e-n2Rt cos n a +

... ] .

,

On

_peut

déduire facilement de ce

_{développement}

la valeur moyenne au

_{temps t}

de cos na ou de cos’z«. Par

_exemple

(44) cos203B1

= 1 2

_(I

+

cos203B1)

= I 2

(I

+

e-4Rt).

que les

polynômes (’ )

(~5)

forment une suite

_orthogonale

_analogue

à celle des

_polynômes

de

Legendre,

et

_qui

rentre dans une même classe

générale

dont nous

parlerons

au

_Chapitre

suivant.

En

_posant

_12(a,

_t)

=

H(cos(x, t)

_{on aura} donc

(46)

t)--~1-~-...+2~~t~1/)e

_{~ I‘.1.}

J,

développement analogue

au

_{développement ( ~ ~ )}

de la fonction

_F(u,

_t).

Si l’on considère _{que la} diffusion sur la circonférence se

_produit

sur une droite illimitée enroulée sur cette

_{circonférence,}

ce

qui

est

possible

à cause de l’identité de

_{l’équation}

₍₄₂₎

avec celle de la

diffu-sion sur une

droite,

on aboutit à une autre

_expression

de la

fonc-t). D’après

un résultat

classique

la densité au

_{temps t,}

en un

point

d’abscisse 03B1 de la droite

enroulée,

est en effet

__j~_

-(4y) D(03B1, t)=1 203C0Rte 4Rt, (2014~03B1+ ~)

et en faisant la somme _{pour les} différentes

parties

de la droite

_qui

se

superposent

sur la

circonférence,

on voit que

(~)

(48) h(03B1, t)- I 203C0Rt k03A3e- (03B1+2k03C0)2 4Rt, (201403C0~03B1~+03C0).

L’identité des

_{développements (4~)}

et résulte d’ailleurs

directe-(1) On _désigne sous le nom de « _polynômes de _Tchebycheff les _polynomes

Tn( u) =

I 2n-1Qn(

u).

(2) Ce dernier _type de _{développement} est _indiqué dans la Thèse de G. L. DE

HAAS-LoRENTZ, Die Brownsche _Bewegung und _einige verwandte _{Erscheinungen}

ment de

I~

relation

n03A3 e-03C0(n+y)2x

=I x n03A3e-03C0n3 x

+ 203C0 iny,

bien connue dans la théorie des fonctions thêta.

Les

_{développements (!~.3)}

et

_convergent

_rapidement,

le

_premier

quand t

est

_grand,

et le deuxième

_{quand t}

est

_petit.

Remarquons

enfin que la solution du mouvement brownien de translation sur une droite

_peut

être mise sous une forme

analogue

à

l’expression (43)

de la fonction

_t).

En

_développant

en effet en

intégrale

de

_Fourrier,

on obtient .

03C9 ₍ a , t )

= 1 03C0

~0 e-Ru2t

cos u 03B1 du.

CHAPITRE IV.

MOUVEMENT BROWNIEN D’UNE DIRECTION LIÉE A UNE _{HYPERSPHÊRE A ~t7} DIMENSIONS.

On

_peut

_{généraliser}

facilement au cas d’une

_hypersphère

à un

nombre

_quelconque

de dimensions les

_problèmes

de mouvement

brownien ou de diffusion résolus aux

_Chapitres

1 et _{III pour la}

_sphère

et la circonférence. Nous

_{représenterons}

_{paramétriquement}

une

hypersphère

de rayon 1 dans

l’espace

à

_(h

+

_I)c

dimensions par les

équations

.

(08,

x2=sin03B81 cos03B82 .

(o ~ 03B82 _{~ 03C0),}

,...,

x~, ~ sin 81 sin ~~ .. , cos

8~,

J ( o 9~,-, ~ ),

’

Sur cette

_{multiplicité}

l’élément linéaire a _pour

_expression

d s 2 _{- d6 i} + sin2 _{81 d03B822 +} ... + sin203B81...sin203B8p-1d03B82p,

et d’aire ))

sinn-’ 6, ... 5i n 8~,_1

L’équation

de la

_diffusion,

_pour une fonction ne

dépendant

_que de

9,

et du

_temps,

se réduit â

,

(49) 1 sin-103B81 ~ ~03B81[sinp-103B81~fp ~03B81] = I R~fp ~t .

Si

_fr,(8~,

est la

_probabilité

_{pour que} le

_point

diffusant,

initiale-ment au

pôle 03B81

= _o, se trouve à l’instant t dans l’élément

d03C3,

on aura

( 50 )

_Sp-103C00

fp’(03B81, t) sinp-103B81 d03B81=I,

S,,

étant (d’aire)) de

_{l’hypersphère}

_{de rayon} 1 dans

l’espace

à

(p + j)e

dimensions

2(203C0)k I.3...(2k-I) si _p=2k,

( 5I)

Sp==

2

_{03C0k+1 k!}

si _p = 2k + I.

De

_plus,

la fonction

_~)

doit tendre vers zéro avec _~,

quel

_que

soit

_et,

sauf au

voisinage

de

8~

==o.

Posons (5a) . t) = fl,(~1, t); nous aurons (53)

_ c)

(i -

lc2)’-’ ’-’

(I- zc9) -~ 2 ’ ’ L ’ G~. ~ ’ ’ avec (54)

_Sp-1+1Fp(u,

t) (I - u2)p-2 2 du = 1 et _t) > o. - i

hyper-sphériques Pnp(u)

définis et

caractéri,sés

_par

les relations (cc) )

d

_dL~ ( )

p ~_>

dPnJ,{u)

_dLc --n(n+p-I)(I-LCj)

J, ~-’

Pnl’(u) . (b) ( dlc- ~ dLc - _I, ~..1 p_~ . (c)

+1-1Pnp(u)Pmp(u)(I-u2) du=o.

si m~n, (d)

+1-1

P2np(u)(I-u2)

p+ 12 2 du= I 2n+p-I n!

(p-I)! (n+p-2)!

Sp Sp-1,

Pnp(u) = (-I)n p(p+2)...(p+2n-2)

(I - u2)

-p-2 2 J

h(.~+~)...(p+-2n-2)

(e) X dn dun ( I - u2) n+p-2 2], (55) (I-2uz+z2) -p-1 2 =I+...+ (n + _p - 2)! n! I (p - 2 )!

Pnp(u)zn+...

(f) si _p~2, (g) { I-z2 (I - 2uz + z2)p+1 2 = I + ... + (2n + p - I)

(n+p-2)! n!(p-I)!

Pnp

(u)zn + _... ,

Pnp(

-

_{u) = (-I)nPnp(u),}

|Pnp(u)|~I pour -I’~u~+I,

(i) n(n+p-2)Pnp(u)=(n+p-2)uP’np(u)-nP’n-1,p(u), ~J ) )

{

-‘ ₍ 2 n -~-- _p - 3-) Lc ~~ ( LL ) ~ ( n - I ) ( (It’) P9 l’(ll)-Ll, ‘

I L(P+I)LLJ-I’,

.... . Ces

polynomes

se déd uisent

simplement

de Ia fonction

hypergéo-métrique F(a, ~3,

Y,

x);

on a en effet

(’ )

(56) Pnp(u)=F(n+p-I, -n,p 2,I-u 2)

.

hypergéo-Ils

_comprennent

comme cas

particuliers

les

polynomes

et

que nous avons considérés dans les

_Chapitres

_{précédents :}

.

(5y) P~(~) = ₎

et l’on

_peut

montrer

_qu’ils

s’en déduisent

_par

des dérivations

succes-sives

_(1):

(58) Pn,2k+1(u)=n! (n+2k-I)! I (n+k)(2k)! 2kk! dk dukQn+k(u),

Pn,2k+2(u)=

_{n! (n+2k)!2kk!dk dukPn+k(u).}

Un raisonnement

_analogue

à ceux _que nous avons faits _{pour la}

sphère

et la circonférence

conduit,

pour la fonction

t),

au

déve-loppement

-(39)

>

Fp(u,

> t)

- I

(n+p-2)! n!(p-I)!

(272 + p - I) > d’où l’on déduit notamment les _{valeurs moyennes} au

_{temps t}

sui-vantes

_{( 2 ) :}

(60) ’

~

CI

_

~_~~~1+1)~’ttl

°

Suivant _que

_{p est}

_paii

ou

_impair,

la fonction

_{F,,(lc, t)}

se

déduit,

_par

métriques

Rn(u) = (2n+I)F (n+I, -n,

3 2, I-u 2) = (-I)nF(n+I,

-n,

I 2,

I+u 2)

.

(1 ) Il faut faire attention de ne _{pas confondre les polynomes hypersphériques Pnp(u)} avec les fonctions de _Legendre d’ordres supérieurs, qui apparaissent comme coeffi-cients dans le _{développement} des fonctions de _Laplace en série _{trigonométrique,} et sont _{définies par la relation}

, ~ ~fc

(~) On voit que ces _{valeurs moyennes atteignent} leurs limites

o

et

2014~-2014 !

d’au-tant _{plus rapidement que p} est _{plus grand.} Le _{développement (5g)} montre _{même que}

la fonction _{Sp. Fp(u, t)} tend très _rapidement vers la valeur constante i si _{p est}

grand : sur une _sphère à un très _grand nombre de dimensions la diffusion serait

des _{dérivations par}

_rapport

à Lc, de la fonction

t)

du

Chapitre

I ou

de la fonction

_{H(zc, t)}

du

_Chapitre

III. En utilisant les relations

₍₅₈₎

on trouve en effet que

’

(61)

t)a

F2k+ 2(u, _t)=

I (203C0)kek(k+1)Rt~k ~uk

F(u, t).

CHAPITRE V.

ÉTUDE DES FONCTIONS _{f(w, t), ~(~, t~~ t)} ET DH LEURS RELATIONS.

_

L’étude du mouvement brownien de rotation d’une

_sphère

libre,

ou

d’un solide mobile autour d’un axe

fixe,

nous a conduit à

_exprimer

la

probabilité

d’une rotation donnée au bout d’un

_temps

_quelconque

au

moyen des fonctions

(t ~ o)

’ f (c~, /) t)

=I ~

C I

-f - ... _{-~- ( ~ I t -E- I )}

~-~~+J.~~~ ~ /j~

~ (62) g(03A6, t) = G(cos4J, _t) . = I 03C02

[I+...+

(2n +

I)sin(2n + I)03A6 sin03A6-n(n+1)Rt + ...],

,

.., /)

t) = I 203C0[I+...+2 cosn03B1e-n2Rt+...].

Les fonctions

_t)

et

_Ia(a,

_t)

sont en même

_temps

les solutions

principales

des

_équations

de la

diffusion,

ou de la conductibilité

ther-mique,

sur une _coque

sphérique

et sur une circonférence

(’);

elles

,jouent

sur ces

_{multiplicités}

fermées le rôle des fonctions de Gauss sur

les

_{multiplicités planes}

illimitées.

Les fonctions

_t),

_t),

_t)

sont définies _pour Lc

compris

entre --,1 et _{+ ~, mais} on

_peut

les

prolonger

en dehors de cet inter-( 1 ) Elles _{permettent d’exprimer} au _{moyen d’intégrales} définies les solutions

valle,

et _{l’on prouve} facilement

_{qu’au point}

de vue

analytique

ce sont

des fonctions entières de la variable ~.

Les relations

₍₆₁₎

du

_Chapitre

_précédent

montrent _{que les}

fonc-tions

_F(u,t)

et

_t)

sont

_positives

_{ainsi que} toutes leurs dérivées

par

rapport

a u, pour M

compris

entre 2014 i et -+-1

[car

les fonctions

~)

sont essentiellement

_positives

dans cet

_{in tervalle ];}

comme il

s’agit

de fonctions entières il en est de même _{pour ~ ~> i ~}

Õ

.) ~’ ~

(63)

_~ukII(u,t)>o

.pour u~2014I.

Les fonctions

_t)

et

_t)

satisfaisant aux

équations

aux

déri-vées

_partielles

(I - u2)~2F ~u2 - 2u~F ~u = I R~F ~t,

(64)

(I

2014

u2)~2H ~u2

- u~H ~u

= I R ~H ~t,

on voit _que,

quel

_{que soit t>o,}

i

~F(i,

~) 0 et

~F(~

/:) > 0 ... ° ~ (63)

~-~~-o

et si _-r~~o. ( 65 )

(

0 et > 0 SI . - _{1 u} 0, ’ et

_pour

t= _o, on a ~k F(u, o) ~tk = _0, o) ~kH(u,o) ~tk = o,

quel

que soit ~

~

i.

Pour _o~~i, les fonctions

_~)

et

_~)

_passent

_par un

maximum

_{quand ~}

croît de zéro à l’infini.

Les

_{développements (62)}

_convergent

_rapidement

_{quand ~}

est

_{grand ;}

ils mettent en

particulier

très bien en évidence la

façon

dont les

fonc-tions f,

g, A tendent vers l’uniformité

quand t

tend vers l’infini. Nous avons donné pour la fonction

_{h(03B1, r)}

un autre

_{développement}

en

_série,

convergeant

rapidement quand ~

est

_{petit :}

On

_peut

en déduire un

développement analogue

_pour la

fonction

~(~,

t).

En

_effet,

cette fonction

_représente

la diffusion

_{( ~ )}

sur une

sphère

à trois dimensions de deux

_points

diamétralement

_opposés

de

sorte _que

’

(67) ’ t)

=

t

+

4 ) )

=

I 203C0eRt 4[~ ~u H

(u, t 4)

-

~ ~uH(

-

u,t u)],

d’après

la

_première

relation

_(61).

En revenant à la variable

4J,

on a

~

20142014 ’ I

A

. ~~ ~ . et l’on obtient (68)

g(03A6,t)=e4 (03C0Rt)3 2 I sin03A6k(-I)k(03A6+k03C0)e

-(03A6-k03C0)2 Rt.

Pour la fonction

_t)

nous _{remarquons d’abord que,}

_d’après

les

développements (62)

et

_(68),

on a

. (69) ,t) =

03C02g(03C0 2, t

)

.

=

(03C0 Rt)3 2 eRt 4 - 03C02 4Rtn (-

I)n(2ï2 + I)e-n(n+1)03C02 Rt ,

c’est-à-dire

.

~ ~ t ,~2

- t)- f

~’

C~.?t

’

relation fonctionnelle

_analogue

à _{celle que vérifie la fonction}

_{h(o, t)}

- lc(o, t)‘ h

o

.

D’autre

_part,

en

_pensant

à la

_{signification géométrique}

des

_{angles w}

et

_W,

on voit de suite que

f(03C9,t)=I 8203C0 0g(03A6,t)d ,

avec cos03A6=cos03C9 2cos03BB+ 2.

( 1 ) Avec un coefficient de diffusion _égal à

~’.

.

En substituant dans cette relation le

_{développement (68)}

on n’obtient

en

_général

aucun

développement simple

de la fonction

_t),

mais

pour 03C9 = o on trouve

403C0f(o,t)=I Rt eRt 4

I 03C0Rt+~-~03A6 sin03A6e-03A62 Rtd03A6,

expression qui

peut

être

_développée

en série par

_rapport

aux

puis-sances entières de Rt

(72) 403C0f(o a t ? =

I Rt + I 3

+

I I5

Rt + 4 3I5 R2t2 + ....

Pour t très

_petit,

on

_peut

enfin déduire de

l’expression (2),

_page

5,

que l’on a

asymptotiquement

.

. ~ W2 (73) . !~~ e ’ car alors 03C32 +

_{03B22 =}

03C92 et = 03C9 d03C9

drr.

Les divers

_{développements}

obten.us

_permettent

de calculer les

valeurs des fonctions

_t),

_{t), h(a, t)}

_pour toutes valeurs des

variables. Nous donnons ci-dessous

des

tables sommaires de ces

fonc-tions,

ainsi _que deux réseaux de courbes montrant clairement l’allure

de

_t).

"

CHAPITRE Vi.

MOUVEMENT BROWNIEN DE ROTATION D’UNE HYPERSPHÈRE A TROIS DIMENSIONS.

Composition

des rotations autour d’un

_point

dans _quatre

dimensions. - Soient

~c~, .r~ ~ et

~’~

les coordonnées

d’un même

_point

_par

_rapport

à deux

_systèmes

d’axes

_orthogonaux

de

même

_origine

dans

_l’espace

à

_quatre

dimensions. Les formules de

transformation

_peuvent

s’écrire

_(Cayley)

Nous poserons

~~ )

puis

.

(~2014~=~~~~==~=~==~

z

(y6)

~’"p"y"’p

~

’ ,

o~ ~ - z,

~

09 ._-__ -

~r.

Les huit

_paramètres

~~,

j3,

~~, ~?,

.~,

~ , ~ sont liés par tes deux

relations

03B12 + 03B22 + 03B32 -h

_{03C62 + 03C82 + ~2 + 03C12 +}

_{03C32 = I,}

(77)

03B103C6 + 03B203C8 +

03B3~ + 03C103C3 = o.

Un même

_changement

d’axes est _{caractérisé par les} valeurs o(,

~,

_{Y, n,}

~,

~r~, des huit

paramètres

ou _par ces valeurs

changées

de

signe.

SI 2~ et 20 sont les

_grandeurs

des deux rotations ordinaires abso-lument

_{perpendiculaires}

_qui

amènent le

_premier

_système

d’axes sur

le

_seconde

on a

( ~ )

.

(78) 03B8 = tang03A6tang0398,

03B4 = I cos203A6cos20398

et _{par suite} .

(79) 03C1=cos03A6 cos0398, 03C3=-_{sin03A6sin0398.}

Considérons deux

_{déplacements}

successifs du

_système

de référence

autour de

_{l’origine; désignons}

_par a.,

03B2,

.. , et (X’,

3’,

... les

para-mètres

_respectifs

de ces

déplacements,

et _{par 03B1",}

_03B2",

... ceux

du

déplacement

résultant. Les _{formules obtenues par Cole pour la}

com-position

des rotations autour d’un

_point

dans

_l’espace

à

_quatre

dimen-sions,

avec les

_paramètres

_a,

b,

c,

/’,

g,

h,

8

deviennent,

avec ceux _que nous avons introduits :