AL2 - Vecteurs Séance d’autonomie - Corrigés des exercices -

AL2 - Vecteurs

Séance d’autonomie

- Corrigés des exercices -

1 Calcul vectoriel

1.1 Coordonnées, norme

Dans un espace à trois dimensions, soit un repère orthonormé

(

^{O; , ,i j k}

)

^.

Considérons les points suivants : , , , , ,

− −

           

           

− −

           

        −  − 

           

1 0 1 1 0 1

A 1 B 1 C 0 D 1 E 1 F 0

0 1 1 3 1 2

1.1.1 Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants

  

= 

   1

OA 1

0 ,

  

= 

   0

OB 1

1 ,

− −

       

       

= + = − =    − = − =  

     −   

       

0 1 0 1 1

AB AO OB OB OA 1 1 1 1 0

1 0 1 0 1

,

−

   

   

= − = − =   

 −  − 

   

1 1 0

CA OA OC 1 0 1

0 1 1

,

−

   

   

= − = − = −   

 −   

   

1 0 1

BC OC OB 0 1 1

1 1 0

,

− − −

   

   

= − = − − = −   

 −   

   

1 0 1

BD OD OB 1 1 2

3 1 2

,

− − −

   

   

= − = − − = −   

 −   

   

1 1 2

AD OD OA 1 1 2

3 0 3

,

−

   

   

= − = + =   

 +   

   

1 0 1

EC OC OE 0 1 1

1 1 2

,

− − −

   

   

= − = − + =   

 +   

   

1 0 1

ED OD OE 1 1 0

3 1 4

,

− −

   

   

= − = − − = −   

− −  − 

   

0 1 1

AE OE OA 1 1 2

1 0 1

1.1.2 Calculer la norme (ou module) des vecteurs suivants

  

= 

   1

OA 1

0

, OA = 1²+ +1² 0² = 2,

−

 

 

= − 

 

  1

BD 2

2

, BD = 1²+ +2² 2² =3,

−

 

 

= − 

 

  2

AD 2

3

= ²+ +^{2 2} =

AD 2 2 3 17

1.2 Décomposition, repérage

1.2.1 Faire une lecture graphique des coordonnées des vecteurs u, v et w.

a. Chaque vecteur se décompose aisément sur le quadrillage.

; ;

u j i −  v i j   w i  

= − =  = + =  = = 

     

3 1 4

2 3 3 4

2 3 0

b. Attention aux sens et aux longueurs unités !

; , , ;

u i j   v j i   w j  

= + =  = − + =  = − = 

− −

     

1 1 5 0

3 1 5 4

3 1 4

c. Il faut tenter de suivre des axes parallèles aux vecteurs de la base pour décomposer nos vecteurs. On arrive facilement à former le vecteur v en plaçant bout à bout i et 2j ;

de même, on forme le vecteur w en plaçant bout à bout i et −j ^. Le vecteur u est un cas plus difficile : à partir de son origine, parcourons

−i ; il nous reste à nous déplacer de trois carreaux vers le haut pour arriver à l’extrémité de u. Or, i +3j représente le déplacement de

quatre carreaux vers le haut ; on en déduit que ^{u= − +i 3}₄

(

^{i +3j}

)

^{= −1}₄^{i +9}₄ ^j.

, ; ;

u −,  v   w  

=  =  = 

−

     

0 25 1 1

2 25 2 1

d. (A, B, C, D, E et F sont les projetés orthogonaux des extrémités des vecteurs sur le plan quadrillé)

La composante verticale de u est 2 . Sur le plan k quadrillé, AB 4= i − j. Donc

u

 

 

= − 

 

  4

1 2

.

La composante verticale de v est 2k. Sur le plan

quadrillé, CD 5= i −2j. Donc

5 2 2 v

 

 

= − 

 

  .

La composante verticale de w vaut −3 . k EF= −5 5, i −3 . Donc j

, w

−

 

 

= − 

 − 

 

5 5 3 3

.

1.2.2 Décomposer les vecteurs u dans les bases données a.

cos cos cos

sin sin sin

x y

u u

u

α α α

α α α

=    

⇔ = =  

=    

OA OA

OA OA OA

b.

sin sin sin

cos cos cos

x y

u u

u

α α α

α α α

=    

⇔ = =  

=    

OA OA

OA OA OA

c.

cos cos cos

sin sin sin

x y

u u

u

α α α

α α α

=    

⇔ = =  

= − −  − 

OA OA

OA OA OA

d.

sin sin sin

cos cos cos

x y

u u

u

α α α

α α α

= − −  − 

⇔ = =  

= − −  − 

AB AB

AB AB AB

1.3 Produit scalaire

1.3.1 Calculer les produits scalaires suivants (relativement aux points définis en 1.1) a.

b.

c.

1.3.2 Déterminer, dans le plan, les vecteurs orthogonaux aux vecteurs suivants :

a.  

= 

  OA 2

5

Ce sont les vecteurs x y

=  

OM  tels que : OM OA 0 soit : ⋅ = 2x+5y=0 Ainsi nous avons : y= −2x

5 donc :

x x

 

 

=− 

 

OM 2

5

ou encore : x

 

 

= − 

  1

OM 2

5 c’est à dire l’ensemble des vecteurs colinéaires à :

 

 

− 

 

  1

2 5

ou encore  

− 

  5

2

( ) ( )

   

   

⋅ =  ⋅ − = × + × − + − × = −

−   

   

0 1

CA BC 1 1 0 1 1 1 1 0 1

1 0

( ) ( ) ( ) ( )

− −

   

   

⋅ = − ⋅ − = − × − + − × − + × =   

   

   

1 2

BD AD 2 2 1 2 2 2 2 3 12

2 3

( )

   

   

⋅ = − ⋅   = × + − × + × =

   

   

1 1

BC EC 1 1 1 1 1 1 0 2 0

0 2

b.  

= 

−  1 X 6

Selon le même principe que ci-dessus : x−6y=0 donc : y y

 

= 

 

OM 6 :

l’ensemble des vecteurs colinéaires à :  

   6 1

c. x

u y

=  

 

Considérons v λ µ

=  

 . Il doit vérifier λx+µy=0 soit x

µ = −λy donc v x y λ λ

 

 

=− 

 

.

On peut poser par exemple λ=ky, il vient alors ky y

v k

kx x

   

= =  

− −

    : l’ensemble des vecteurs colinéaires à : y

x

 

− 

 , ou à y x

−

 

 

 , ce qui revient au même.

Vous pouvez vérifier que cela s’applique aux deux cas précédents.

d.

  

= 

   0

OA 2

5 et

  

= 

   1

OB 0

1

On cherche à déterminer x

u y

z

  

= 

  

qui soit à la fois orthogonal à OA et OB ,

u u

⋅ =

⋅ = OA 0

OB 0 ^{soit :}

y z x z

+ = + =

2 5 0

0 ^{, d’où :}

y z

x z

= −

= − 5 2

il vient

z

u z

z

−

 

 

 

= − 

 

 

5

2 . Solutions : l’ensemble des vecteurs colinéaires à :

 

 

 

− 

  2 5 2 1.3.3 Calculer l’angle entre les vecteurs suivants

a.  , − 

=−  = 

1 1

OA OB

1 1

( ) ( )

⋅ = × − + − × =−

OA OB 1 1 1 1 2 ; OA = 1²+ =1² 2 ; OB = 1²+ =1² 2 .

[ ]

cosθ= ⁻ = − ⇔ θ= π π

×

2 1 2

2 2 Ces deux vecteurs sont colinéaires : OB=−OA b. u  ,v  

=  = 

  − 

2 4

3 5

( )

u v⋅ = × + × − = −2 4 3 5 7 ; u = 2²+3² = 13 ; v = 4²+5² = 41 .

cosθ= ⁻ = − , ⇔ θ= ± , = ± , °

×

7 0 303204 1 87885 107 65

13 41 rad

c. u ,v

 +   

= −  =− 

6 2 3

6 2 1

( ) ( )

u v⋅ = 3 6+ 2 − 6− 2 = 18+ 6− 6+ 2= 18+ 2 4 2 ; =

( ) ( )

u = 6+ 2 ²+ 6− 2 ² = 6 2 6 2 2 6 2 6 2 2+ + + − + = 16=4 ; v = 3 1+ =² 2 . cosθ = = ⇔ θ= ±^π = ± °

×

4 2 2

2 4 2 4rad 45

d. ,

−

   

   

=  = 

   

   

1 2

OA 2 OB 2

3 1

( )

⋅ = × − + × + × =

OA OB 1 2 2 2 3 1 5 ; OA = 1²+ +2² 3² = 14 ; OB = 2²+ +2² 1² = 9=3 .

cosθ= 5 = , ⇔ θ= ± , = ± , °

0 445435 1 10914 63 55

3 14 rad

e. u ,v

   

   

=  = 

   

   

0 1

2 0

5 1

u v⋅ = × + × + × =0 1 2 0 5 1 5 ; u = 0²+ +2² 5² = 29 ; v = 1²+ +0² 1² = 2 .

cosθ= = , ⇔ θ = ± , = ± , °

×

5 0 656532 0 85548 48 96

2 29 rad

1.4 Produit vectoriel

1.4.1 Calculer les produits vectoriels entre les vecteurs donnés, dans cet ordre :

a. ,

−

   

   

= −  = 

   

   

1 1

OA 1 OB 1

0 0

:

( )

( ) ( )

. .

. .

. .

 − 

 

 

−  − − 

         

       

∧ = − ∧     = −  = − −− − − =   =

 − 

 − 

 

1 1

0 0

1 1 1 0 0 1 0

0 0

OA OB 1 1 0 1 1 0 0 0

1 1

0 0 1 1 1 1 0

1 1

1 1

Ce produit est nul, ce qui est normal puisque les deux vecteurs sont opposés, donc colinéaires.

b. u ,v

   

   

=  = − 

   

   

2 4

3 5

0 0

:

( ) ( )

. .

. .

. .

u v

 − − 

     

 

     

∧ =  ∧ − =  − = 

     − −  − 

       

2 4 3 0 0 5 0

3 5 0 4 2 0 0

0 0 2 5 3 4 22

Les deux vecteurs sont dans le plan (xOy) et leur produit vectoriel est dans la direction (Oz).

c. ,

−

   

   

=  = 

   

   

1 2

2 2

3 1

X Y ^:

( )

( )

. .

. .

. .

−  −  −

     

 

     

∧ =  ∧ = − − = − 

     − −   

       

1 2 2 1 3 2 4

2 2 3 2 1 1 7

3 1 1 2 2 2 6

X Y

d. ,

1

AB 2 CD

1

x y z

   

   

=  = 

−   

   

:

( )

1 2 1 2

AB CD 2 1 1

1 1 2 2

− − +

 

     

 

     

∧ =   ∧ = − − = − − 

−     −   − 

       

x z y y z

y x z x z

z y x y x

1.4.2 Déterminer les vecteurs orthogonaux aux vecteurs suivants :

a.  

= 

  OA 2

5 et dans le plan xOy

Si OM est dans le plan xOy, et non colinéaire à OA , alors leur produit vectoriel suit la direction (Oz), s’écrivant

c

  

= 

   0

V 0 . Si de plus OM et OA sont orthogonaux, alors les vecteurs OM possibles

sont les vecteurs OA V . ∧

c c c c

       

       

=    ∧ = − = − 

       

       

2 0 5 5

OM 5 0 2 2

0 0 0

.

b. x

u y

=  

  et dans le plan xOy Même raisonnement :

x yc y

v y xc c x

c

       

       

=    ∧ = − = − 

       

        0

0

0 0 0

c. ,

   

   

=  = 

   

   

0 1

OA 2 OB 0

5 1

:

. . .

c c c

     

     

= ∧ =    ∧ =  

    − 

     

0 1 2

OM OA OB 2 0 5

5 1 2

d. u

  

= 

   1 2 3

Déterminons un vecteur v₁ orthogonal à u, par exemple en calculant u∧i :

v u i

     

     

= ∧ =    ∧ = 

    − 

     

1

1 1 0

2 0 3

3 0 2

.

Il nous reste à rechercher tout vecteur w tel que w v∧ ₁ soit colinéaire à u :

; .

x y z y z c c y c

w v y x w v c u x c z w y

x c

z x x c c y

 

 

− − − − =

        +

 

= −

 

     

∧ =  ∧  =  ∧ = ⇔ = ⇔ ⇔ = 

 

  −    =  =  + 

       − 

 

1 1

0 2 3 2 3 2

3 2 2 2 3

2 3 3 3 2

3 (on remarque qu’effectivement, pour c = 0, w est colinéaire à v₁, ce qui est conforme à

. w∧ =v1 c u =0)

1.5 Applications géométriques

Dans un espace à trois dimensions, soit un repère orthonormé

(

^{O; , ,i j k}

)

^.

Considérons les points suivants : , , , ,

         

         

         

        − 

         

1 0 1 3 0

A 1 B 1 C 0 D 1 E 3

0 1 1 2 1

1.5.1 Angles

a. Calculer l’angle BAC puis l’angle BAE

; ; ˆ arccos ,

−

   

π

   

⋅ =  ⋅ − = = = = = ≈

   

   

1 0

AB AC 0 1 1 AB AC 2 BAC 1 1 0472 rad

2 3

1 1

; ˆ

− −

   

π

   

⋅ =  ⋅ = =

  − 

   

1 1

AB AE 0 2 0 BAE rad

1 1 2

b. Calculer l’angle CAE. Remarque ?

; , ; ˆ arccos ,

−

   

−

   

⋅ = − ⋅   = − = = = ≈

  − 

   

0 1

AC AE 1 2 3 AC 2 AE 6 CAE 3 2 618 rad

1 1 12

ˆ ≈ ˆ + ˆ

CAE BAE BAC , vérifions la coplanarité des points A, B, C et E avec un produit mixte :

( )

;

− −

         

         

∧ =  ∧ − =   ∧ ⋅ =  ⋅ =

        − 

         

1 0 1 1 1

AB AC 0 1 1 AB AC AE 1 2 0

1 1 1 1 1

. Ils sont coplanaires !

1.5.2 Coplanarité

Vérifier, par deux produits mixtes différents, que les points A, B, C et E sont coplanaires.

(

^∧

)

^{⋅ = − ∧}_ ^{   }_{ }^{−    }_{ }^{⋅ −    }_{ }^{= − ⋅−    }_{ }^{− }_⁼

  −    −   

 

0 1 1 1 1

AC AE AB 1 2 0 1 0 0

1 1 1 1 1

(

^∧

)

^{⋅ = − ∧ −}_ ^{   }_{ } ^{   }_{ }^{⋅ − =         }_{   }^{⋅ − =}_

         

 

1 1 0 1 0

EC EA EB 3 2 2 1 2 0

2 1 2 1 2

1.5.3 Aires

a. Calculer l’aire du triangle ABC

( )

;

−

     

     

∧ =  ∧ − =   = + + =

     

     

2 2 2

1 0 1

1 3

AB AC 0 1 1 aire ABC 1 1 1

2 2

1 1 1

b. Calculer l’aire du triangle DCE

( )

;

− −

     

     

∧ =  ∧  =  = + + =

  −   

     

2 2 2

2 1 5

1 83

CD CE 1 3 3 aire DCE 5 3 7

2 2

1 2 7

1.5.4 Volumes

a. Calculer le volume du tétraèdre DABE

( )

^{−        −      − }

= ∧ ⋅ =     ∧ ⋅  =   ⋅  = × =

         

     −    − 

 

1 2 1 0 1

1 1 1 1 4

V AB AD AE 0 0 2 4 2 8

6 6 6 6 3

1 2 1 0 1

b. Calculer le volume de la zone située entre le triangle ABC et le plan quadrillé (en imaginant une projection orthogonale de ce triangle sur ce plan).

Nommons B’ et C’ les projetés orthogonaux de B et C sur le plan quadrillé. La forme dont on doit calculer le volume est une pyramide de base rectangulaire BB’C’C et de sommet A.

( )

^{′         −    }

= ∧ ⋅ =   ∧ −  ⋅  = − ⋅   = × =

         

−     −  −  − 

 

1 1 0 1 0

1 1 1 1 1

V BA BC BB 0 1 0 1 0 1

3 3 3 3 3

1 0 1 1 1

2 Opérateurs différentiels

2.1 Gradient

2.1.1 Démontrer les formules suivantes

a. grad

(

^U1^+U2

)

⁼grad

( )

^U1 ⁺grad

( )

^U2 avec U1 et U2 fonctions de x, y, z

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

. . .

. . .

. . . .

U U U U U U

U U i j k

x y z

U U U U U U

i j k

x x y y z z

U U U U U U

i j k i j k

x y z x y z

U

∂ + ∂ + ∂ +

+ = + +

∂ ∂ ∂

∂ ∂  ∂ ∂  ∂ ∂ 

= +  + +  + + 

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

     

∂ ∂ ∂  ∂ ∂ ∂ 

= + +  + + + 

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

   

= +

1 2 1 2 1 2

1 2

1 2 1 2 1 2

1 1 1 2 2 2

1

grad

grad grad

( )

^U2

b. ^grad

( )

^{λU =λ.grad}

( )

^U avec U fonction de x, y, z et λ constante réelle

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

. . . .

. . . .

U U U U U U

U i j k i j k

x y z x y z

U U U

i j k U

x y z

λ λ λ

λ λ λ λ

λ λ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + + = + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ 

=  + + =

∂ ∂ ∂

 

grad

grad

c. grad U U

(

1 2

)

⁼U grad U1^.

( )

2 ⁺U grad U2^.

( )

1 avec U1 et U2 fonctions de x, y, z

( ) ( )

_.

( )

_.

( )

_.

. . .

. . . .

U U U U U U

U U i j k

x y z

U U U U U U

U U i U U j U U k

x x y y z z

U U U U U U

U i U j U k U i U j U k

x y z x y z

∂ ∂ ∂

= + +

∂ ∂ ∂

 

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

   

= ∂ + ∂  + ∂ + ∂  + ∂ + ∂ 

 ∂ ∂ ∂   ∂ ∂ ∂ 

= + +  + + + 

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

   

1 2 1 2 1 2

1 2

2 1 2 1 2 1

1 2 1 2 1 2

2 2 2 1 1 1

1 1 1 2 2 2

grad

( ) ( )

. . . .

. .

U U U U U U

U i j k U i j k

x y z x y z

U U U U

∂ ∂ ∂  ∂ ∂ ∂ 

=  + + +  + + 

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

   

= +

2 2 2 1 1 1

1 2

1grad 2 2grad 1

2.1.2 Calculer les gradients des fonctions proposées a. U(M) = x + y + z

( )

^{U U.i U.j U. ;k U U U ;}

( )

^{U i j k}

x y z x y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   

= ∂ + ∂ + ∂ ∂ = ∂ = ∂ = = + + =  

  1

1 1 1 1

1

grad grad

b. f (M) = x²+y²+z²

( )

; ;

. . .

. . .

f x x f y f z

x x y z x y z y x y z z x y z

x y z x i y j z k

f i j k

x y z x y z x y z x y z

∂ = = ∂ = ∂ =

∂ + + + + ∂ + + ∂ + +

+ +

= + + = =

+ + + + + + + +

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

OM grad OM

c. f (M) = xy z

2

( )

; ; ; . . .

y z

f y f xy f xy y xy xy xy

f i j k

x z y z z z z z z z

xy z

 

 

 

∂ ∂ ∂ −  

= = = = + − = 

∂ ∂ ∂  

 

− 

 

2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2

grad

2.2 Divergent

2.2.1 Démontrer les formules suivantes

a.

( ) ( ) ( ) ^{( ( ) )}

( )

( )

( )

( )

, , , ,

, , , ,

, , , ,

x x

y y

z z

x y z x y z

x y z x y z

x y z x y z

   

   

+ = + =  = 

   

   

V W

V W V W avec V V et W W

V W

div div div

( ) ( ) ^{( ) ( ) ( )}

( ) ( )

y y

x x z z

y y

x z x z

x y z

x y z x y z

∂ +

∂ + ∂ +

+ = ∇ ⋅ + = + +

∂ ∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

= + + + + + = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

V W

V W V W

V W V W

V W

V V W W

V W

div

div div

b. ^div

( )

^{λV =λdiv}

( )

^{V avec λ∈ℝ}

( ) ( )

^{λV = ∇ ⋅ λV =∂}

^{( )}

^λ_∂x^{Vx +∂}

^{( )}

^λ_∂y^{Vy +∂}

^{( )}

^λ_∂z^{Vz =λ}_^∂_∂^V_x^{x +∂}_∂^V_y^{y +∂}_∂^V_z^z_^=λ

( )

^V

div div

c. ^div

( )

^{fV = fdiv}

( )

^{V +grad}

^{( )}

^{f ⋅V}

( ) ( ) ^{( ) ( ) ( )}

( ) ^{( )}

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

f f f

f f

x y z

f f f

f f f

x x y y z z

f f f

f f f

x y z x y z

∂ ∂ ∂

= ∇ ⋅ = + +

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂

∂ ∂  ∂ ∂ ∂

=  + + + + + = + ⋅

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

 

V V V

V V

V V V

V V V

V V V

V V V V V

div

div grad

2.2.2

L’écoulement d’un fluide soumis à certaines conditions est modélisé en chaque point M(x, y, z) de l’espace par son champ de vecteurs vitesses :

( )

x y z

z y x

yz z

 − 

 

= + − 

 − 

 

3

2 2

V M .

1) a. Déterminer le vecteur vitesse V A où A est le point (-1, 1, 2).

( ) ( ) ( )

( )

 − −  − 

   

= + − −   =

 −   

 

3

2 2

1 2 3

V A 2 1 1 6

2 2 0

b. Déterminer la valeur de la vitesse en ce point, donc la norme du vecteur ^{V A .}

( ) ( )

^{= 2+ 2 = =}

V A 3 6 45 3 5

2) a. Donner, en fonction des variables, l’expression de ^div

(

^{V M}

( ) )

^.

( ( ) )

^x_y ^{. z x yy zx x y y y}

(

^x

)

^y

yz z z

∂   

 ∂  −

 

∂ 

=∂∂   + − − = + + − = + −

∂

 

3

2 2 2 2

V M 3 2 1 3 1 1

div

b. Montrer que ce divergent vaut 5 au point A.

En A, div

( )

^{V =3}

( ^{( )}

^{−1 2+}1 1 1 6 1 5

)

^{− = − =} .

c. Établir une relation nécessaire entre les variables x et y pour que le divergent prenne la valeur 5.

(

^x2+

)

^{y− = ⇔}

(

^x2+

)

^{y= ⇔ y=}

(

^x26+

)

^{⇔ y= x22+}

3 1 1 5 3 1 6

3 1 1

d. Représenter graphiquement l’ensemble D₅ des points de l’espace physique de dimension 3, en lesquels le divergent vaut 5.

div(M) = 5 équivaut à la relation y

=x +

2

2

1, dans laquelle la coordonnée z n’intervient pas.

Autrement dit : pour toute cote z fixée, l’ensemble des points M tels que y

= x +

2

2

1 est le même, sur le plan parallèle à (xOy) et de cote z.

Étudions dans le plan (xOy) la fonction x y

= x +

2

2

֏ 1.

Cette fonction est simple, ainsi nous nous passerons de sa dérivée.

Elle est paire, donc sa courbe est symétrique par rapport à (Oy) ;

lorsque |x| augmente, y diminue, donc y est maximal en x = 0 et ymax = 2 ; on constate aussi que y tend vers 0 lorsque |x| tend vers l’infini.

La courbe de cette fonction dans le plan (xOy) est :

Puisqu’elle se superpose à elle-même, à l’identique, lorsque nous envisageons toute valeur de z, l’ensemble D₅ est un « rideau » de génératrices parallèles à (Oz), chacune contenant un point de la courbe ci-dessus.

représentation de l’ensemble D₅

x

y z

2.3 Rotationnel

2.3.1 Démontrer la formule suivante

( )

^{fV = f.}

( )

^{V +}

^{( )}

^{f ∧V}

rot rot grad

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

z y z y

z y

x z x z

x z

y x

y x

y x

z y

f f f f

f f

y z y y z z

f f f f

f f f f

z x z z x x

f f

f f f f

x x y y

x y

f f f

y z y

∂ ∂   ∂ ∂ ∂ ∂ 

 ∂ − ∂   + − − 

   ∂ ∂ ∂ ∂ 

∂ ∂   ∂ ∂ ∂ ∂ 

 

= ∇ ∧ =∂ ∂∂ −−∂ ∂∂  = ∂∂∂ ++∂∂∂ −− ∂∂∂ −−∂∂∂ 

∂ − ∂ +∂

∂ ∂ ∂

=

V V V V

V V

V V V V

V V V V

V V

V V V V

V V

V rot

.

z y

z y z y

x z x z

x z x z

y x y x

y x

y x

f f f

f f

z y z y z

f f f f

f f f f

z x z x z x z x

f f

f f

f f f f

x y

x y x y x y

f

∂

 −∂   ∂ −  ∂ −∂ 

 ∂   ∂ ∂  ∂ ∂ 

     

 ∂ − ∂ +∂ −∂  = ∂ − ∂ +∂ −∂ 

 ∂ ∂ ∂ ∂   ∂ ∂  ∂ ∂ 

     

 ∂ − ∂ +∂ −∂   ∂ − ∂  ∂ −∂ 

 ∂ ∂ ∂ ∂   ∂ ∂  ∂ ∂ 

   

∂

=

V V

V V V

V V V V

V V V V

V V V V V V V V

( ) ^{( )}

.

z y

x

x z

y z

y x

f

y z x

f f f

z x y

f

x y z

∂

 −  ∂ 

 ∂ ∂  ∂ 

     

∂ −∂ +∂  ∧ = + ∧

 ∂ ∂  ∂   

      

∂ −∂  ∂ 

   

∂ ∂ ∂ 

 

V V V V V

V V V

V V V

rot grad

2.3.2 Calculer les rotationnels des vecteurs donnés

a.

( )

x y z

z y x

yz z

 − 

 

= + − 

 − 

 

3

2 2

V M

( )

^xy ^{zx yy zx z z z}

yz z x x

z

∂ 

 

 ∂  −  −   − 

 

∂     

=∂∂ ∧ + − − = − −− −    = − −− 

∂

 

3

2 2

3 3

2

V 1 0 1

1 1

rot

b.

( )

^{xy yx zz}

z x y

− −

 

 

= − − 

 − − 

 

V M

( )

^xy ^{xy yx zz} z x y z

∂ 

 ∂   − −  − +   

∂       

=∂∂  ∧ − −− −    = − +− +       = =

∂

 

1 1 0

V 1 1 0 0

1 1 0

rot

c.

( )

y z xy z xy

z

 

 

 

 

= 

 

− 

 

 

2

2 2

V M 2

( )

xy xy y

z z

x z

xy y y

y z z z

y y

z xy

z z

z

   

− +

   

∂ 

 ∂       

∂       

=∂∂∂    ∧−     = − −+     = =

   

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 0

V 0 0

2 2 0 rot

Remarque : V M était ici le vecteur gradient obtenu en exercice 2.1.2.c.

( )

Or, la toute dernière formule du cours affirme que dans tous les cas ^{rot grad}

( ( )

^f

)

^=0.

Notre résultat est donc logique.

Vous pouvez bien sûr tenter de démontrer cette dernière formule !

3 QCM

1) La norme du vecteur 3 4 5

 

 

 

− 

  vaut :

0 2 2 5 5 2

2) Les vecteurs

  

= 

   1 2 3

u et

 

 

= 

− 

  6 5 4

v sont :

colinéaires orthogonaux coplanaires aucun des trois

3) Un produit scalaire est forcément nul si les deux vecteurs sont :

de même norme orthogonaux colinéaires coplanaires

4) Si deux vecteurs non nuls ont un produit vectoriel nul, alors ils sont :

orthogonaux non coplanaires scalaires colinéaires

5) Deux vecteurs orthogonaux ont un produit scalaire …[1]… et un produit vectoriel …[2]… : [ ]

[ ] 1 nul 2 nul

[ ] [ ]

1 maximal 2 nul

[ ] [ ]

1 nul

2 de norme maximale

[ ] [ ]

1 maximal

2 de norme maximale 6)

( ) ( )

^{− ∧ − =u v …}

u∧v ^{− ∧}

(

^{u v}

)

^v∧u

( ) ( )

^{− ∧ −v u}

7) u et v sont deux vecteurs non colinéaires et w est orthogonal au plan

( )

^{u v, . Donc :}

(

^{u∧ ⋅ =v}

)

^{w 0 u v⋅ =0 w=k u}

(

^∧v

) (

^{u v w, ,}

)

est directe 8) Deux vecteurs u et v tels que u∧ =v 0 et u v⋅ = −1 sont… :

de norme 1 orthogonaux colinéaires et

de même sens colinéaires et de sens contraires 9) Si trois vecteurs u, v et w sont coplanaires, alors :

(

^{u∧ ∧ =v}

)

^{w 0}

(

^{u∧ ⋅ =w v}

)

⁰

( )

^{u v w⋅ =0}

(

^{u∧ =v}

)

^{aw a, ∈ℝ}

10) Appliqué à une fonction f, l’opérateur gradient permet de déterminer :

la direction de plus la réciproque du les points où f les valeurs forte variation de f divergent de f s’annule extrêmes de f 11) L’opérateur divergent transforme un champ …[1]… en un champ …[2]…

[ ] [ ]

^{1 scalaire2 scalaire}

[ ]

[ ]

^{1 scalaire}2 vectoriel

[ ] [ ]

1 vectoriel 2 scalaire

[ ] [ ]

1 vectoriel 2 vectoriel