Professeur F. Pelgrin EDHEC Business School Données, Analyse, Décisions
Séance 5 : Exercices
Quelques notions de la théorie des probabilités (2/3) Partie 2 : Loi de Bernoulli et Loi Normale
Questions à choix multiple Q1. La loi de Bernoulli est telle que
A. Les valeurs possibles sont au nombre de deux, codées 0 et 1.
B. La moyenne est égale à la probabilité de l’événement codé 0.
C. La variance est croissante avec la probabilité de l’événement codé 1.
D. Toutes ces réponses sont correctes Q2. Une de ces affirmations est fausse,
A. La loi normale a une distribution symétrique.
B. La loi normale a uniquement une moyenne et une médiane égales lorsque la moyenne vaut 0.
C. La loi normale est caractérisée par deux paramètres : sa moyenne et sa variance.
D. La somme de deux variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi normale suit une loi normale
Q3 Déterminer la ou les réponses correctes.
A. L’espérance d’une variable aléatoire réelle est une variable aléatoire réelle.
B. L’espérance d’une variable aléatoire réelle est un nombre positif.
C. L’espérance d’un produit de variables aléatoires réelles est égale au produit des espé- rances des variables aléatoires réelles.
D. L’espérance d’une somme de variables aléatoires réelles est la somme des espérances des variables aléatoires réelles.
E. Aucune des affirmations précédentes n’est correcte.
Q4 Déterminer la ou les réponses incorrectes.
A. La variance d’une variable aléatoire réelle est un nombre strictement positif.
B. La variance d’une variable aléatoire réelle est la différence entre le carré de l’espérance et l’espérance du carré de cette variable.
C. La variance d’un nombre est égale au carré de ce nombre.
D. La variance d’une somme non pondérée de variables aléatoires réelles est la somme non pondérée des variances de ces variables aléatoires réelles.
E. Aucune des affirmations précédentes n’est correcte.
Q5. La probabilité qu’une variable aléatoire normale prenne ses valeurs dans un intervalle donné,
A. Est fonction de la moyenne et de la variance de la loi.
B. Se calcule à partir de la fonction de répartition de loi normale standardisée.
C. Est deux fois plus grande si l’écart-type vaut 2 que s’il vaut 1.
D. Aucune de ces réponses n’est correcte.
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Q6. Si X est une variable aléatoire normalement distribuée de moyenneµet de varianceσ2, alors αX+β (où α etβ sont deux nombres quelconques (α non nul))
A. Est une variable aléatoire normalement distribuée de moyenneµet de variance β2σ2. B. Est une variable aléatoire normalement distribuée de moyenneαµ et de varianceασ2. C. Est une variable aléatoire normalement distribuée de moyenne αµ+β et de variance
α2σ2.
D. Est une variable aléatoire normalement distribuée de moyenne αµ+β et de variance β2σ2.
Exercice 1 : SoientX1,· · ·,Xn n variables aléatoires indépendantes et identiquement distri- buées avecXi ∼ N(µ;σ2). Déterminer la loi de la variable aléatoire X¯n= 1n
n
P
i=1
Xi. Exercice 2 : Détermination des probabilités de la loi normale
1. Soit Z ∼ N(0,1). Calculer les probabilités
P(4Z ≥ −3),P(Z <−2),P(−1.2≤Z ≤1.8).
2. Soit X∼ N(−1,4). Calculer les probabilités
P(X ≤ −1),P(X ≥1),P(−3≤X ≤1).
3. Soit X∼ N(−2,4). Déterminer les probabilités
P(X ≤ −2),P(X ≥2),P(−3.25≤X ≤1.7).
Exercice 3 PourZ ∼ N(0,1) etX ∼ N(−1,4). Déterminer les quantiles suivants : 1. P(Z ≥z0.975) = 0.975;
2. P(z0.95 ≤Z ≤z0.05) = 0.90.
3. P(X ≥ −x0) = 0.40
Exercice 4 Soient X1,· · ·,Xn n variables aléatoires indépendantes et identiquement distri- buées avec Xi ∼ N(µ;σ2). Soit la variable aléatoire réelle continue définie par X¯n= n1
n
P
i=1
Xi. 1. Déterminer un intervalle [−a, a] tel que
P(Z ∈[−a, a]) = 0.80.
oùZ est la variable normale centrée réduite associée à X¯n. 2. En deduire un interballe [b, c] tel que P( ¯Xn ∈[b, c]) = 0.80.
3. En déduire un intervalle pour µ.
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Exercice 5 : Utilisation d’Excel
Cet exercice est très utile, il vous permettra d’effectuer des calculs de probabilité et de dé- termination des quantiles d’une loi normale pour les QCM et devoirs obligatoires de Pearson ainsi que les cas pratiques.
– Evaluer une probabilité Gaussienne avec Excel:
– Pour déterminer la probabilité P(X ≤x) avec X ∼ N(µ, σ2) : LOI.NORMALE(x ;moyenne ;écart-type ;VRAI)
Remarques : (1) Le premier argument "x" est le point d’évaluation, (2) Le deuxième argument "moyenne" est l’espérance de la loi normale, (3) Le troisième argument est l’écart-type et non la variance de la loi normale (4) Il est impératif de séparer les diffé- rents arguments par un point virgule !, (5) Le format de ces arguments (nombres) dépend du langage par défaut de votre version d’Excel (Anglais ou Français), (6) Cette formule s’applique pour toutes les lois normales (y compris la loi normale centrée réduite),(7) Lorsque cette formule est utilisée, elle doit être précédée du symbole "=".
Exemples :
1. Calculer la probabilité qu’une variable normale X de moyenne 1 et de variance 2 soit positive ou nulle
On cherche P(X ≥0) = 1−P(X ≤0)(la valeur de "x" est 0)
= 1 - LOI.NORMALE(0 ;1 ;√
2;VRAI) où√
2 = RACIN E(2) dans Excel...
2. Calculer la probabilité qu’une variable normale X de moyenne 1 et de variance 2 soit comprise entre −1et 1
On cherche P(|X| ≤1) =P(X ≤1)−P(X ≤ −1) (la valeur de "x" est successive- ment 1 et−1)
= LOI.NORMALE(1 ;1 ;√
2;VRAI) - LOI.NORMALE(-1 ;1 ;√
2;VRAI) 3. Calculer la probabilité qu’une variable gaussienne Y demoyenne−2etd’écart-type
2 soit inférieure à 2
On cherche P(X ≤2) (la valeur de "x" est 2)
= LOI.NORMALE(2 ;-2 ;2,5 ;VRAI)
– Pour déterminer la valeur de "x" (quantile) telle que P(X ≤x) =α avec X ∼ N(µ, σ2) :
LOI.NORMALE.INVERSE(α;moyenne ;écart-type)
Remarques : (1) Le premier argument "α" est la valeur de la probabilité (cette probabilité doit être comprise entre 0 et 1), (2) Le deuxième argument "moyenne" est l’espérance de la loi normale, (3) Le troisième argument est l’écart-type et non la variance de la loi normale (4) Il est impératif de séparer les différents arguments par un point virgule ! (5) Excel permet aussi le calcul de probabilités qui font usage d’une formulation bilatérale.
Exemple : Déterminer la valeur "x" telle que P(X ≤x) = 0,75 avecX ∼ N(1,2)
= LOI.NORMALE.INVERSE(0,75 ;1 ;√ 2) Refaire les exercices 2 et 3 à partir d’Excel.
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