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Examen MASS - Analyse 2 du 27. Mai 2011

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(1)

D´epartement de Math´ematiques MASS - Analyse 2

Universit´e de Lille 1 Ann´ee 2010/2011

Examen MASS - Analyse 2 du 27. Mai 2011

Dur´ee 2h, Documents et appareils num´eriques interdits.

Toute r´eponse est `a justifier avec soin.

Exercice 1 1. D´eterminer le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 4 enx0 = 0 de ln(cos(x)).

2. D´eterminer la limite

x→0lim(cosx)

1 sin2(x) .

Exercice 2 D´eterminer la limite

x→0lim ln

1 +x22

−x22 sin4(x) .

Exercice 3 On consid`ere l’´equation diff´erentielle

y00+ 2y0+y=g(x) (1)

o`u g:R→R est une fonction continue.

1. R´esoudre l’´equation homog`ene associ´ee `a (1).

2. R´esoudre (1) sig(x) =sin(x).

3. R´esoudre (1) sig(x) =x+sin(x).

Tournez la page svp.

(2)

Exercice 4 On consid`ere l’´equation diff´erentielle

eyy0= 2x(1−ey). (2)

1. R´esoudre (2) et discuter le domaine de d´efinition des solutions.

2. D´eterminer la solutiony de (2) qui v´erifiey(0) = ln(2).

Exercice 5 R´esoudre l’´equation diff´erentielle

y0 =−ycos(x) + cos3(x).

Références

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