Syst`emes dynamiques chaotiques, 2015-2016 Universit´e Paris-Sud
Examen du 13 mai 2016 – dur´ ee 2 h
Documents, calculatrices et t´el´ephones portables interdits Exercice 1. Soit f:R→R la fonction d´efinie par f(x) = 12(x2+x).
a) D´eterminer le tableau de variations def.
b) D´eterminer les points fixes de f et dire s’ils sont attractifs ou r´epulsifs.
c) Montrer quef([−12,+∞[)⊂[−12,+∞[. ´Etudier le signe def(x)−x pour x∈[−12,+∞[.
d) Donner le portrait de phase de f sur [−12,+∞[.
e) Donner le portrait de phase def sur R.
Exercice 2. Soit F:R→R d´efinie par F(x) = 3x+ cos(x).
a) Montrer queF est strictement croissante sur R.
b) Soit a, b∈R avec a < b. Montrer que Fn([a, b]) = [Fn(a), Fn(b)] pour tout entier n≥1, et montrer que la longueur de cet intervalle tend vers l’infini quandntend vers l’infini.
c) V´erifier que si x≡ymod 2π, alorsF(x)≡F(y) mod 2π.
Notation : siα∈R, on note ¯αla classe d’´equivalence deαmod 2π, etC={α¯ |α∈R}(ensemble des points deR modulo 2π).
Soit f:C → C d´efinie parf( ¯α) =F(α) (autrement dit, f( ¯α) est ´egale `a la classe d’´equivalence de F(α) modulo 2π). La fonctionf est bien d´efinie grˆace `a la question c).
d) Soit A un arc de cercle ferm´e de C, qu’on ´ecrit A ={α¯ ∈ C | α ∈ [a, b]}, o`u a, b sont deux r´eels. Montrer que si a < b, alors il existe un entiern≥0 tel que fn(A) =C.
e) Rappeler la d´efinition de sensibilit´e aux conditions initiales. Puis d´eduire de ce qui pr´ec`ede quef est sensible aux conditions initiales.
Exercice 3. Soit f: [0,1]→[0,1] la fonction d´efinie par f(x) =
3x si x∈[0,1/3[
3
2(1−x) si x∈[1/3,1]
a) Montrer quef a un bon codage.
b) Combien y a-t-il de points x∈[13,1] qui sont p´eriodiques de p´eriode 3 pourf? Donner leur codage (on ne demande pas la valeur des points x).
c) Montrer quef est chaotique.
d) Soitϕ: [0,1]→[1,2] la fonction d´efinie parϕ(x) =x3+1. Montrer queϕest un hom´eomorphisme (c’est-`a-dire une fonction continue bijective dont l’inverse est continue).
e) On poseg=ϕ◦f◦ϕ−1: [1,2]→[1,2]. Sans ´etudier la fonctiong, d´eduire de ce qui pr´ec`ede queg est chaotique.
Bar`eme indicatif : 7 — 7 — 6
