Contrôle : second degré, statistiques

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Contrôle : second degré, statistiques

E 1

Soit f :x7→ax²+bx+c une fonction polynôme de degré 2. Compléter et fi- nir l'algorithme suivant pour qu'il affiche l'ensemble des solutions de l'inéquation f (x)>0.

VARIABLES :

Type nombre : a, b, c, d, x1, x2

DEBUT lire(a,b,c) si a̸=0 alors

d ← b²−4ac si d<0 alors

si a<0 alors afficher(_;) sinon

afficher(R) finsi

finsi

si d=0 alors si a<0 alors

afficher(_;) sinon

x1 ← −_2a^b

afficher(…………)

finsi finsi

si d>0 alors ...

finsi sinon

afficher(a doit être non nul)

finsi FIN

E 2

Une usine conditionne du sucre en poudre en paquets de 1 kg. Pour vérifier la conformité de la masse de sucre dans les paquets, on a effectué un contrôle consis- tant à mesurer la masse de chaque paquet d'un échantillon de 150 paquets.

Masse (en dag) [90 ; 95[ [95 ; 98[ [98 ; 100[ [100 ; 102[ [102 ; 105[ [105 ; 110]

Effectif 14 26 58 47 4 1

1. Calculer la moyenne x, la variance V et l'écart type _σ de cette série.

2. L'organisme de contrôle émet un avis favorable si au moins 90% des paquets de sucre de l'échantillon ont une masse appartenant à l'intervalle^[x−2σ;x+2σ]

. Si ce n'est pas le cas, l'avis émis est défavorable et l'entreprise doit se mettre en conformité. Quel sera l'avis de l'organisme de contrôle ?

E 3

f (x)=x²+2x−3 et g(x)= −2x²−x+3.

On appelle Cf et Cg leurs courbes représentatives dans un repère.

1. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de Cf et Cg. 2. Résoudre l'inéquation f (x)⩽^g(x).

3. Que peut-on en déduire sur la position des courbes de f et g ?

E 4

avant qu'elle touche le sol. La trajectoire de la balle est alors modélisée dans un re- père par un arc de parabole. La parabole représente la fonction définie par :

f (x)= −2x²+3x+2.

1. Résoudre l'équation f (x)=0. 2. Factoriser f (x).

3. Mettre f (x) sous forme canonique.

4. En déduire à quelle distance du joueur la balle est retombée au sol. Justifier.

5. En déduire aussi la hauteur maximale atteinte par la balle avant de retomber sur le sol. Justifier.

6. À quelle(s) distance(s) du joueur la balle a-t-elle une hauteur supérieure ou égale à 2, 5m ?

E 5

f représente une fonction polynôme de degré 2 dont la courbe représentative dans un repère est une parabole notée P. Soient u et v deux réels.

1. L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse :

« Si pour tout x∈R, f (x)=(x−u) (x−v), alors P coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses u et v » ? Justifier.

2. Énoncer la réciproque de l'affirmation précédente . Est-elle vraie ou fausse ? Justifier.

.

Correction

E 1

VARIABLES :

Type nombre : a, b, c, d, x1, x2

DEBUT lire(a,b,c) si a̸=0 alors

d ← b²−4ac si d<0 alors

si a<0 alors afficher(_;) sinon

afficher(R) finsi

finsi

si d=0 alors si a<0 alors

afficher(;) sinon

x1 ← −_2a^b

afficher(R^{\ {x}1}) finsi

finsi

si d>0 alors x₁ ← −b−p

d 2a x2 ← −b+p

d 2a si a<0 alors

afficher(]x₂;x₁[) sinon

afficher(]−∞;x₁[∪

]x₂;+∞[) finsi

finsi sinon

afficher(a doit être non nul)

finsi FIN

Remarque. Dans le cas où d>0 :

x₂−x₁=−b+p d

2a −−b−p d 2a =2p

d 2a , donc

□

□

□ si a>0, x₂>x₁;

□

□

□ si a<0, x₂<x₁.

E 2

1. Les centres des intervalles sont 92, 5 ; 96, 5; 99; 101; 103, 5 ; 107, 5. On obtient x≈98, 76 et σ≈2, 69.

2. x−2σ≈93, 38 et x+2σ≈104, 14.

On remarque que 93, 38∈[90 ; 95[ et que l'effectif de cet intervalle est de 14. L'amplitude de l'intervalle [90 ; 95[ est 95−90=5 et celle de [93, 38 ; 95[ vaut 95−93, 38=1, 62. Si l'on suppose la répartition uniforme alors il y a ^{14×1, 62}

5 ≈

4, 54 paquets dans l'intervalle [93, 38 ; 95[. De la même manière, il y a ^{4×2, 14}

3 ≈ 2, 85 paquets dans l'intervalle [102 ; 104, 14].

L'effectif total dans l'intervalle ^[x−2σ;x+2σ]

est estimé à _{4, 54+26+58+47+}

2, 85=138, 39 soit ^{138, 39}

150 ≈92, 3%. L'avis est donc favorable.

E 3

1.

f (x)=g(x) ⇐⇒ x²+2x−3= −2x²−x+3

⇐⇒ 3x²+3x−6=0

⇐⇒ x²+x−2=0

⇐⇒ x= −2 ou x=1 (∆=9)

Les coordonnées des points d'intersections de Cf et Cg sont donc (−2 ;−3) et (1 ; 0).

2.

f (x)⩽^g(x) ⇐⇒ x²+x−2⩽^0.

x Sgn.

f(x)−g(x)

−∞ −2

0

1 0

+∞

+ − +

On en déduit que

f (x)⩽^g(x) ⇐⇒ x∈[−2 ; 1] . 3.

x Position de Cf par rapport à Cg

−∞ −2 1 +∞

au-dessus en dessous au-dessus

E 4

1.

f (x)=0 ⇐⇒ x= −1

2 ou x=2 (∆=25).

2. f (x)= −2 (

x+1 2 )

(x−2).

3.

f (x) = −2 (

x²−3 2x−1

)

= −2 ((

x−3 4

)₂

− 9 16−1

)

= −2 (

x−3 4

)₂ +25

8

4. La balle touche le sol après avoir été frappée à la distance x telle que f (x)=0. On en déduit que cette distance vaut 2m.

5. Hauteur maximale : ²⁵

8 =3, 125m.

6.

f (x)⩾^{2, 5} ⇐⇒ −2x²+3x+2⩾⁵ 2

⇐⇒ −2x²+3x−1 2⩾⁰

⇐⇒ x∈

[3−p 5

2 ;3+p 5 4

]

E 5

1.

f (x)=0 ⇐⇒ (x−u) (x−v)=0

⇐⇒ x=u ou x=v

Donc, si pour tout x∈R, f (x)=(x−u) (x−v) alorsP coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses u et v.

2. □□□ La réciproque s'écrit : « si P coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses u et v alors pour tout x∈R, f (x)=(x−u) (x−v).

□□

□ La réciproque est fausse car, par exemple, si P est la parabole qui repré- sente la fonction f définie sur R par f (x)=2x²−8x+6 alors P coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses 1 et 3 or il existe x ∈R tel que

f (x)̸=(x−1) (x−3), effectivement, f (0)=6 et (0−1) (0−3)=3.