Contrôle : second degré, statistiques

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Contrôle : second degré, statistiques

E 1

Dans un lycée, on étudie les moyennes trimestrielles du premier trimestre de deux classes appelées respectivementSA et SB.

Partie ASur le diagramme en bâtons ci-dessous on a reporté les moyennes trimestrielles obtenues par les25 élèves de la classeSA au premier trimestre :

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1. Déterminer la médiane M, le premier quartile Q₁ et le troisième quartile Q₃ de cette série statistique (on déterminera Q₁ et Q₃ en utilisant la définition du cours et non pas en prenant les médianes des sous séries).

2. Représenter le diagramme en boîte correspondant de la classe SA.

3. Calculer la moyenne du trimestre de la classe SA.

Partie B

Les indicateurs de la classeSB permettant de résumer la série statistique des moyennes du premier trimestre sont les suivantes : Min₌3, Q₁^′=8, M^′=10,Q^′₃=12 et Max₌17.

1. Représenter le diagramme en boîte correspondant de la classe SB.

2. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, fausses ou indécidables ? Justifier votre réponse dans chacun des cas.

(a) 50% des élèves de la classe SB ont une note comprise entre 10 et12. (b) 75% des élèves de la classe SB ont une note inférieure ou égale à 12.

(c) Au moins 50% des élèves de la classeSB ont une note inférieure ou égale à la note médiane de la série de classe SA.

E 2

[AB] est un segment de longueur 6 cm et M un point quelconque de ce segment. On construit le carré AMCD puis le rectangle MBEF tel que BE=4 cm.

A M B

C D

F E

b b bbbb

b

On note AM=x.

Partie A

1. Résoudre l'inéquation x²−4x+24⩾^29.

Partie B

1. Déterminer l'ensemble I des valeurs que peut prendre x. 2. On note A(x)la somme des aires du carré et du rectangle.

Montrer que pour tout x appartenant à I, A(x)=x²−4x+24. 3. Déterminer la forme canonique de A (x).

4. Dresser le tableau de variation de la fonction A.

5. En utilisant les résultats de la partieA., déterminer algébriquement les valeurs de x pour les- quelles l'aire hachurée est supérieure à 29 cm².

E 3

Soit la fonction f définie sur l'intervalle [−1 ; 5] dont la courbe est donnée ci-dessous. On admet qu'il existe des réels a, b et c tels que pour x∈[−1 ; 5], f(x)=ax²+bx+c.

1. Déterminer graphiquement les racines de f (justifier) ?

2. En déduire la forme factorisée de f(x) en fonction de a.

3. Déterminer graphiquement f(0) et en déduire les valeurs des réels a, b et c.

−1

−2

−3

−4

−5

−6

1 2 3 4 5

−1

−2 x

y

0

b b b

b b

E 4

Soit P le polynôme défini surR par : P(x)=ax²+bx+c (avec a̸=0).

1. Montrer que si a et c sont de signes opposés, alors P admet au moins une racine réelle.

2. La réciproque est-elle vraie ? Justifier.

E 5

1. Résoudre l'équation x²−3x−4=0.

2. En déduire les solutions de l'équation x⁴−3x²−4=0. (On pourra poser X=x².)

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Correction

E 1

Partie A

1.

valeurs 3 4 5 7 10 11 12 13 14 15 16 18

effectif 1 1 1 2 5 2 5 3 1 2 1 1

E.C.C. 1 2 3 5 10 12 17 20 21 23 24 25

□□□ La médiane correspond à la 13^evaleur donc M=12.

□□□ 25

4 =6, 25. Q₁ correspond à la 7^evaleur donc Q₁=10.

□□□ 3

4×25=18, 75. Q₃ correspond à la 19^evaleur doncQ₃=13.

2.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

3. x=11.

Partie B

1.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

2. (a) Faux, cela ne correspond qu'a 25% car M^′=10 et Q^′=12.

(b) Vrai, car Q₃=12.

(c) Vrai car M=Q₃^′=12.

E 2

Partie A

1.

x²−4x+24⩾²⁹ ⇐⇒ x²−4x+24−29⩾⁰

⇐⇒ x²−4x−5⩾⁰

∆=36, x1= −1 et x2=5. On a donc

x²−4x+24⩾²⁹⇐⇒x∈]−∞;−1]∪[5 ;+∞[ .

Partie B

1. I=[0 ; 6] . 2. Pour tout x∈I,

A (x)=x²+(6−x)×4

=x²−4x+24

3. Pour tout x∈I,

A (x)=x²−4x+24

=(x−2)²−4+24

=(x−2)²+20 4.

x

Var.

A 0 24

2

20

6 36

5.

x²−4x+24⩾²⁹etx∈I ⇐⇒ x∈(]−∞;−1]∪[5 ;+∞[)∩I

⇐⇒ x∈[5 ; 6]

E 3

1. L'ensemble des racines de f est S={1 ; 3} car on peut lire sur le graphique que f(1)=0 et f(3)=0.

2. Pour tout x∈[−1 ; 5] , f(x)=a(x−1) (x−3).

3.□□□ Graphiquement on détermine que f(0)= −2 et par conséquent c= −2 car f(0)=c.

□□□ Soit x∈[−1 ; 5] .En développant l'expression précédente on obtient f(x)=ax²−4ax+3a. Ainsi 3a=c et₋4a=b, on en déduit alors que f(x)= −2

3x²+8 3x−2

E 4

1. Si a et c sont de signes opposés, alors ₋4ac est positifs, comme un carré est toujours positif

Conclusion : si a et c sont de signes opposés, alors P admet au moins une racine réelle.

2. La réciproque est fausse, e.g. x²−2x+1=(x−1)² admet une racine réelle et a etc sont de même signes.

E 5

1. _∆=25, x1= −1 et x2=4.

2. En posant X=x² on obtient

X²−3X−4=0.

Cette équation a pour solutionsX₁= −1 etX₂=4.

x²= −1 est impossible et x²=4 si et seulement si x= −2 ou x=2.

L'ensemble des solutions de l'équation x⁴−3x²−4=0 est donc {−2 ; 2} . Remarque. On a la factorisation suivante :

x⁴−3x²−4=( x²+1)(

x²−4)

=( x²+1)

(x−2) (x+2) .