1S Contrôle : statistiques, second degré (1 h 30)
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Contrôle : statistiques, second degré (1 h 30)
.E 1
.. correction ( 3 points )Deux joueurs A et B sont en finale du concours de fléchettes. Voici les statistiques des scores pour l'ensemble de leurs tirs.
Résultats joueur A :
Points 0 5 10 20 30 50 100
Effectif 4 8 7 17 41 25 11
Résultats joueur B :
Points 0 5 10 20 30 50 100
Effectif 12 9 6 15 22 31 18
1. Calculer le couple (moyenne ; écart-type) pour chacun de ces joueurs.
2. Comment interpréter ces résultats ?
E 2
.. correction ( 6,5 points )On dispose d'une ficelle longue de 1 mètre que l'on coupe en deux. Avec un des morceaux on forme un carré, et avec l'autre, on forme un rectangle dont la longueur est le double de sa largeur.
Objectif :minimiser la somme des aires du carré et du rectangle.
x 1−x
1. Montrer que l'aire du carré est égale à 1
16x2 et que celle du rectangle vaut 1
18(1−x)2.
2. Déterminer la valeur minimale de la somme des aires du carré et du rectangle et pour quelle valeur de x elle est atteinte.
E 3
.. correction ( 6,5 points ) 1. Résoudre l'inéquation suivante :2x2−x−1
−x−6 ⩾0.
2. Factoriser, si c'est possible, les trinômes du second degré suivants : (a) 2x2+14x+20
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(b) x4−12x2+36
E 4
.. correction ( 4 points )1. Déterminer selon les valeurs du paramètre k le nombre de solutions de l'équa- tion
x2−4x−5=k.
2. On admet que pour k positif l'équation précédente admet deux solutions.
Recopier et compléter sur votre copie l'algorithme ci-dessous pour qu'il affiche les solutions de l'équation précédente lorsque k prend les valeurs entières de 0 à 100.
VARIABLES :
Type nombre : x1, x2, k DEBUT
……
x1 ← … x2 ← …
afficher(k, x1, x2)
……
FIN
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.
Correction
.E 1
.. énoncé1. Joueur A : xA≈35, 7, σA≈25, 5 ; Joueur B : xB≈39, 1, σB≈31, 4.
2. La moyenne du joueur B est meilleure mais ses résultats sont plus dispersés que ceux du joueur A.
E 2
.. énoncé1. □□□ Aire du carré : la longueur d'un coté vaut x
4 donc Acarré=x2 16.
□
□
□ Aire du rectangle : le périmètre vaut 1−x. Si X est la largeur et Y la longueur alors
Y = 2X
2X+2Y = 1−x . On obtient alors
X = 1−x 6 Y = 1−x
3
, d'où Arectangle=(1−x)2 18 . 2. Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par f (x)=x2
16+(1−x)2 18 . f (x) est égale à la somme des aires du carré et du rectangle.
Pour tout x∈[0 ; 1], f (x) = x2
16+(1−x)2 18
= 17
144x2−x 9+ 1
18
∆= (
−1 9
)2
−4× 17 144× 1
18= 1
92− 4×17×1
2×8×9×2×9=8−17 8×92 = − 1
72.
α= − −1 9 2× 17
144
=1 9×72
17= 8 17.
β= − ∆
4a = − − 1 72 4× 17
144
= 1 34.
On en déduit que l'aire minimale vaut 1
34 m2, elle est atteinte lorsque x= 8 17 m . On peut aussi obtenir ce résultat en passant par la forme canonique de f (x) :
Pour tout x∈[0 ; 1], f (x) = 17
144x2−x 9+ 1
18
= 17 144
(
x2−16 17x+ 8
17 )
= 17 144
((
x− 8 17
)2
− ( 8
17 )2
+ 1 18
)
= 17 144
( x− 8
17 )2
+ 1 34
E 3
.. énoncé1. ∆=9, x1= −1
2 et x2=1.
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x
2x2−x−1
−x−6
2x2−x−1
−x−6
−∞ −6
0
−12 0
0
1 0
0
+∞
+ + − +
+ − − −
+ − + −
2x2−x−1
−x−6 ⩾0 ⇐⇒ x∈]−∞;−6[∪ [
−1 2; 1
] . 2. (a) ∆=36, x1= −5, x2= −2 d'où
2x2+14x+20=2 (x+2) (x+5). (b) On pose x2=X.
x4−12x2+36=X2−12X+36. ∆=0, X0=6. Donc x4−12x2+36=(
x2−6)2
=( x−p
6)2( x+p
6)2
.
E 4
.. énoncé1. x2−4x−5=k ⇐⇒ x2−4x−5−k=0.
∆=(−4)2−4 (−5−k)=36+4k. On a donc
□□
□ ∆<0 ⇐⇒ k< −9 ⇐⇒ l'équation n'a pas de solution ;
□□
□ ∆=0 ⇐⇒ k= −9 ⇐⇒ l'équation a une unique solution ;
□
□
□ ∆>0 ⇐⇒ k> −9 ⇐⇒ l'équation a deux solutions.
2.
VARIABLES :
Type nombre :x1, x2,k DEBUT
pourkde0à100faire x1 ← 4−p
36+4k 2 x2 ← 4+p
36+4k 2 afficher(k,x1,x2) finpour
FIN
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