Corrigé du contrôle sur le second degré (sujet A)
I
a) Soit l’équationx2+2x−15=0.
L’équation est de la forme a x2+b x+c=0 avec a =1, b=2 etc= −15.∆=b2−4ac=22−4×1×(−15)=64>0.
L’équation a deux solutions : x1=−b−p
∆
2a =−2−p 64 2 = −5 x2=−b+p
∆
2a =−2+p 64
2 =3
S ={−5 ; 3}
b) Soit l’équation 3x2+6x−1=0.
∆=48>0. Les solutions sont : x1=−6−p
48
6 =−6−4p 3
6 =2(−3−p 3)
2×3 =−3−2p 3 3 x2=−3+2p
3 3 S =
(−3−2p 3
3 ; −3+2p 3 3
)
c) Soit l’équation 7x2+2x+10=0.
∆= −276<0 donc : S = ;. d) Soit l’équationx4−9x2+20=0.
C’est une équation bicarrée. Elle équivaut à
½ X=x2
X2−9X+20=0 .
On résout l’équationX2−9X+20=0.
∆=1>0. L’équation X2−9X+20=0 admet deux solu- tions :X1=9−p
1
2 =4 etX2=9+1 2 =5.
On revient à l’équation initiale en résolvant alors les équationsx2=X1etx2=X2.
x2=4 a deux solutions, -2 et 2.
L’équationx2=9 a deux solutions -3 et 3.
L’équation x4−9x2+20 = 0 a donc pour solutions : S =n−p5 ; −2 ; 2 ;p5o
II
a) Soit l’inéquation−3x2+2x+1<0.
x1=1 est racine évidente ; le produit des deux racines vaut c
a aveca= −3 etc=1 donc si l’autre racine est x2, on a : x1x2=−1
3 avecx1=1, doncx2= −1 3.
L’expression−3x2+2x+1<0 est un trinôme du second degré ; elle est du signe dea= −3, donc négative, pourxextérieur à l’intervalle formé par les racines et du signe de−a=3, donc positive, pourxentre les racines.
On veut qu’elle soit strictement négative. L’enesemble des solutions est : S =
¸
−∞;−1 3
·
∪]1 ; +∞[. b) Soit l’inéquation 2x2+3x+3>0.
∆= −15<0. Alors le trinôme du second degré 2x2+3x+3 est du signe du coefficient dex2, donc de 2 (positif ) pour tout x.
On en déduit que l’ensemble des solutions est : S =R. c) Soit l’inéquation2x2+5x−12
x2−3x−10 >0.
Ensemble de définition:on résout l’équationx2−3x−10=0.∆=49>0. Elle a deux solutions : -2 et 5.
L’ensemble de définition estD=R\ {−2 ; 5}.
Signe dex2−3x−10: ce trinôme est positif (du signe de 1, coefficient dex2) à l’extérieur de l’intervalle formé par les deux racines -2 et 5, et négatif entre les deux racines.
Signe de 2x2+5x−12:∆=121>0. Ce trinôme a deux racines, -4 et 3
2. Il est positif (du signe de 2, coefficient dex2) à l’extérieur de l’intervalle formé par les racines et négatif entre les deux racines -4 et 3
2. On récapitule en renseignant un tableau de signes :
x −∞ −4 −2 3
2 5 +∞
signe de 2x2+5x−12 + 0− −0+ + Signe dex2−3x−10 + + − − + Signe du quotient + 0− +0− + L’ensemble des solutions est donc : S =]− ∞;−4[∪
¸
−2 ; 3 2
·
∪]5 ;+∞[
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Corrigé du contrôle sur le second degré (sujet B)
III
a) Soit l’équationx2+4x−12=0.
L’équation est de la forme a x2+b x+c=0 avec a =1, b=4 etc= −12.∆=b2−4ac=42−4×1×(−12)=64>0.
L’équation a deux solutions : x1=−b−p
∆
2a =−4−p 64 2 = −6 x2=−b+p
∆
2a =−4+p 64
2 =2
S ={−6 ; 2}
b) Soit l’équation 5x2+4x−2=0.
∆=56>0. Les solutions sont : x1=−4−p
56
10 =−4−2p 14
10 =2(−2−p 14)
2×5 =−2−p 14 5 x2=−2+p
14 5 S =
(−2−p 14
5 ; −2+p 14 5
)
c) Soit l’équation 7x2+2x+10=0.
∆= −276<0 donc : S = ;. d) Soit l’équationx4−11x2+18=0.
C’est une équation bicarrée. Elle équivaut à
½ X=x2
X2−11X+18=0 .
On résout l’équationX2−11X+18=0.
∆=49>0. L’équationX2−11X+18=0 admet deux so- lutions :X1=11−p
49
2 =2 etX2=11+7 2 =9.
On revient à l’équation initiale en résolvant alors les équationsx2=X1etx2=X2.
x2=2 a deux solutions,−p 2 etp
2.
L’équationx2=9 a deux solutions -3 et 3.
L’équation x4−9x2+20 = 0 a donc pour solutions : S =n−3 ;−p2 ; p2 ; 3o
IV
a) Soit l’inéquation−3x2+4x+4<0.
∆=64. Les deux racines sontx1=2 et l’autre racine estx2= −2
3. L’expression−3x2+4x+4<0 est un trinôme du second degré ; elle est du signe de a= −3, donc négative, pour xextérieur à l’intervalle formé par les racines et du signe de
−a=3, donc positive, pourxentre les racines.
On veut qu’elle soit strictement négative. L’enesemble des solutions est : S =
¸
−∞;−2 3
·
∪]2 ; +∞[. b) Soit l’inéquation 2x2+3x+5>0.
∆= −31<0. Alors le trinôme du second degré 2x2+3x+5 est du signe du coefficient dex2, donc de 2 (positif ) pour tout x.
On en déduit que l’ensemble des solutions est : S =R. c) Soit l’inéquation3x2+5x+2
x2−x−12 >0.
Ensemble de définition:on résout l’équationx2−x−12=0.∆=49>0. Elle a deux solutions : -3 et 4.
L’ensemble de définition estD=R\ {−3 ; 4}.
Signe dex2−3x−10: ce trinôme est positif (du signe de 1, coefficient dex2) à l’extérieur de l’intervalle formé par les deux racines -3 et 4, et négatif entre les deux racines.
Signe de 3x2+5x+2:∆=1>0. Ce trinôme a deux racines, -1 et−2
3. Il est positif (du signe de 3, coefficient dex2) à l’extérieur de l’intervalle formé par les racines et négatif entre les deux racines -1 et−2
3. On récapitule en renseignant un tableau de signes :
x −∞ −3 −1 −2
3 4 +∞
signe de 3x2+5x+2 + − − − + Signe dex2−x−12 + +0 − 0 + + Signe du quotient + −0 + 0 − + L’ensemble des solutions est donc : S =]− ∞;−3[∪
¸
−1 ;−2 3
·
∪]4 ;+∞[
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![Un calcul rapide de discriminant (∆ = 25) donne les solutions de −x 2 − 3 x + 4 = 0 ( x = − 4 et x = 1) et la règle du signe de a à l’extérieur des racines donne D h =] − 4; 1[.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)