Physique avancée I 23 septembre 2016 Prof. J.-Ph. Ansermet
Corrig´ e S´ erie 1 - Ordre de grandeur
1. Probl`eme de Fermi `a New York City
a) Sachant que New York est une des villes les plus grandes du monde, la deuxi`eme option pour le nombre d’habitants semble la plus probable. Selon les statistiques officielles, la population de la ville de New York comptait plus de 8 millions d’ˆames en 2005. L’agglom´eration de NY a presque atteint les 30’000’000 en 2005.
b-f) Admettons qu’il y a 2 millions de familles (1/5 de la population) et que 20% de ces familles poss`edent un piano, on estime leur nombre total `a 400’000.
g) La fr´equence d’accordage varie bien sˆur : des pianos ne sont jamais accord´es et d’autres le sont chaque mois. En moyenne, un accordage par piano par ann´ee semble raisonnable, soit un total de 400’000 accordages de piano par ann´ee `a NYC.
h) Avec un agenda bien rempli, un accordeur pourrait servir environ quatre clients par jour, travaillant 200 jours par ann´ee. Chacun accorderait alors 800 pianos par ann´ee.
i) En conclusion, une telle estimation permettrait de fournir du travail `a 500 accordeurs de piano. Nous ne connaissons pas le vrai nombre d’accordeurs de piano travaillant `a NY.
Les estimations se situent normalement dans la gamme de 20 `a 2000 accordeurs. On conclut donc que l’estimation est correcte `a un ordre de grandeur pr`es, d’o`u l’utilit´e de l’approche de Fermi. Notez que les probl`emes de Fermi n’ont jamais comme but de trouver la r´eponse exacte.
Il n’est pas question de donner un r´esultat du type : “il y a 63 accordeurs de piano `a New York”.
Notez ´egalement que nous avons trouv´e une r´eponse raisonnable `a une question `a laquelle il semble `a premi`ere vue difficile de r´epondre.
2. Ordre de grandeur
Un ordre de grandeur s’estime en terme de puissances de 10.
a) Combien de crayons `a mine userait-on pour tracer une ligne droite le long de l’´equateur de la Terre ?
Un crayon comporte une mine de l’ordre de 10 cm de long. On estime que la longueur de la pointe du crayon est de l’ordre de 1 mm et que l’on doit tailler le crayon apr`es avoir trac´e une ligne de typiquement 1 m (c’est une mine plutˆot molle). On peut donc dessiner une ligne de 100 m avec un crayon. On doit maintenant connaˆıtre la longueur de l’´equateur terrestre pour savoir combien de crayons on va user. Admettons que l’on ne se souvienne plus du rayon RT de la terre... On l’estime `a 100000 km : 1000 km (i.e. environ 4 fois la longueur est-ouest de la Suisse) serait trop petit, mais 100 fois cette distance serait trop grand. L’´equateur mesure donc L = 2πRT ∼ 600000 km. On usera donc 6000000 crayons pour tracer une ligne le long de l’´equateur.
b) Combien de robes de mariage peut-on vendre sur une ann´ee en Italie ?
La population italienne est de∼60×106 personnes, dont∼30×106 femmes. Si la long´evit´e moyenne en Italie est de 75 ans, on estime que∼1/75 des femmes se marient chaque ann´ee, soit 4×105 mariages par an et si l’on suppose que 50% des femmes qui se marient ach`etent leur robe, il y a donc ∼2×105 robes vendues par ann´ee en Italie.
Corrig´e S´erie 1 - Ordre de grandeur 1/2
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c) Combien de cheveux avez-vous sur la tete ?
Dans le cas d’une personne qui n’est pas (encore) atteinte de calvitie, combien de cheveux comporte 1 cm2 de cuir chevelu ? 1, 10, 100 ou 1000 ? 100 cheveux par cm2, c’est-`a-dire un cheveux par mm2, semble ˆetre le chiffre le plus raisonnable. La surface du cuir chevelu est typiquement de 20 cm×25 cm = 500 cm2. On obtient donc un total de 500000 cheveux.
d) Combien de gouttes d’eau tous les oc´eans r´eunis contiennent-ils ?
Estimation du volume des oc´eans : 70% × surface de la terre × profondeur moyenne des oc´eans ∼70%×4π×R2T ×4000∼0.7×4π×(6.4×106)2×4×103 ∼1.4×1018 m3 En estimant le volume d’une goutte d’eau `a 10 mm3, il faudrait 1.4×1010×10−918 ∼ 1026 gouttes d’eau pour remplir les oc´eans.
e) Combien de billets de 10 CHF doit-on empiler pour arriver `a la lune ? Est-ce qu’une mission spatiale coˆuterait moins cher pour y arriver ?
Distance Terre-Lune de l’ordre de 1000000 km (en fait ∼ 4 × 108 m), 10 billets de 10 CHF ont une ´epaisseur de l’ordre de 1 mm, soit 1×10−4 m pour 1 billet. Ainsi il faudra
4×108
1×10−4 ∼4×1012billets de 10 CHF, ce qui repr´esente la modeste somme de 400000 milliards de francs, en petites coupures... Coˆut de tout le programme Apollo de la NASA : ∼ 135 milliards de dollars, `a la valeur du USD en 2005 (Source : Wikipedia).
f) Combien de temps une fourmi met-elle pour construire une fourmili`ere h´emisph´erique de 20cm de rayon ?
Volume total de la fourmili`ere = 12 · 43πR3. Volume d’une brindille, boulette de terre...
transport´ee par la fourmi pour construire la fourmili`ere = 43πr3 avecr= 0.5 cm. Le nombre de brindilles pour la construction sera de VVtotal
brindille = (2×0.52033) ∼ 300000. Si la fourmi met 1 minute pour chercher et ramener une brindille, il lui faudra donc environ 21 jours de travail sans relˆache pour construire la fourmili`ere.
g) Quelle distance due au clignement les paupi`eres parcourent-elles au cours d’une vie ? Une personne vit environ 70 ans. Pendant qu’elle ne dort pas (∼ 2/3 du temps), elle cligne toutes les 5 secondes environ. Avec 2 cm parcouru par les paupi`eres pendant chaque clignement (aller-retour des paupi`eres sur l’oeil), on trouve une distance de ∼6000 km.
3. Unit´es et analyse dimensionnelle Dimension de G : [G] = TL2M3
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