Escargot de Pyhagore
L’escargot, ou colima¸con, de Pythagore est une figure g´eom´etrique qui se construit de la mani`ere suivante : on place le premier point, A1 tel que OA1 = 1. On construit ensuite A2 tel que OA1A2 est rectangle en A1 et A1A2 = 1, puis A3 tel que OA2A3 est rectangle en A2 et A2A3 = 1, et ainsi de suite . . .
On note, pout tout entiern, θn=A1\OAn+1 etαn =An\OAn+1.
O A1
A2
A3
A4
A5
A6
1. Construire sur une feuille les premiers points O, A1, A2, . . ., A8. Repr´esenter sur la figure les angles α1,α2, . . ., α7 etθ2, θ3, . . ., θ7. a) Donner une relation simple entre les anglesθn, θn−1 et αn. b) Exprimer en fonction de n le cosinus et le sinus de αn.
2. D´eterminer les longueurs OA2, OA3, OA4 , puis OAn pour tout entier n. 3. On se place dans la suite dans le rep`ere orthonormal direct
O;~i,~j
, avec~i=−−→ OA1. a) On note An(xn;yn) les coordonn´ees du point An.
Exprimer xn etynen fonction de n etθn−1, puis de mˆeme xn+1 etyn+1 en fonction de n etθn. b) En utilisant les formules trigonom´etriques :
cos(a+b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b) sin(a+b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a) exprimer les coordonn´ees xn+1 etyn+1 en fonction den etxn et yn.
4. ´Ecrire alors un alogrithme et un programme, en python par exemple, qui trace les N premiers points de l’escargot de Pythagore.
Y. Morel - xymaths.free.fr Escargot de Pyhagore - 1/1
