NOM, PRENOM : ...

(1)

NOM, PRENOM : ...

NUMERO°: ... Examen de mécanique rationnelle 2 1

^ère

session 10/01/2008 (8h-12h)

Répondre sur le questionnaire et ne dégrafer que les brouillons

e

d R F

dt =

∑

e,

A G A A

d M mv v m

dt = × + avec MA =MB+AB R× ou MA=mAG v× A+IA.ω

( )

2 1

. avec . . .

2 2

A

h h A A

mv

d T F v T mv AG I

dt =

∑

= + ω× + ω ω

1

et avec .

p j h

i j i h

i i j i h i

d T T

L T V Q Q F

dt q q q q

φ ϕ

λ

=

∂ ∂

= − − = + =

∂_& ∂

∑

∂

∑

∂

Question 1 : questions rapides (5 points)

Déterminer le moment d’inertie d’un cylindre par rapport à son diamètre passant par le centre de masse (1)

( )

(

² ²

) ( (

² ²

) )

2 2

0 0 0 0

2 2

2

2 2

et

12 2

Par définition : or par symétrie : 2

2 4

Ou avec la formule :

x xz xy

xy z

z

z xz yz xz yz z xz x

H

z

y

R R

z

H

H H

x

I I I

MH MR

I z dm I

I MR I

z rd dr dz r rd

I I I y dm I I I I

I I I

dr dz

π π

ρ θ ρ θ

+ +

− −

= +

= = =

= + = = => = = = =

= =

>

= +

∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫

2 2

2 2 2

2

4 12

z

xy x xy x xy

x

I I I I I I

MR MH I

− = − => = +

=> = +

Déterminer le terme Ixy du rectangle sachant que x et y sont les médianes du rectangle. (0.5)

x y

2a

2b o

2 0 0

xy xy

I =

∫

z dm=

∫

dm= ≠P

(2)

Que représente le terme Iz dans l’équation suivante : _{( )} 2 . Iz

T^α = π P a (0.5)

Le moment d’inertie du solide autour de l’axe auquel on fait l’oscillation pour calculer la période T.

Déterminer IO d’un disque plein de masse m et de rayon R. (0.5)

x y

o

(

² ² ²

)

_{

(

² ²

)

²

0 2

O z

z

I x y z dm x y dm I MR

=

∫

+ + =

∫

+ = =

Démontrer l’expression du théorème de Lagrange suivante _i*

i i

d L L Q

dt q q

∂ − ∂ =

∂& ∂ en fonction du théorème

classique :

1

p j

i j

i i j i

d T T

dt q q Q q

λ φ

=

∂ ∂ ∂

− = +

∂_& ∂

∑

∂ en identifiant chacun des termes ainsi que les conditions d’application. (1.5)

( ) ( )

*

Force ne dérivant pas d'un potentiel Force dérivant d'un potentiel

. avec

Equation de Lagrange : avec

Pour les forces dérivent d'un pote

h h

i h h i

i i

h i

i i i i

i i

Q F r q

q q

d T T

Q Q Q Q

dt q q

ϕ δ ϕ δ

∂ ∂

= =

∂ ∂

− = = +

∂ ∂

∑ ∑

&

{

* * *

0

ntiel :

. .

=>

h h h h i i i i i

i i i

h i i i

V

i i i

i i i i i i i i i

V

V V

F r F q Q q q Q

q q q

d T T V d T V T V d L L

Q Q Q

dt q q q dt q q q q dt q q

δτ δ

δ ϕ δ δ δ

=

= −

∂ ∂ ∂

=> = = = − => = −

∂ ∂ ∂

 

 

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− = − =>  − − + = => − =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂  ∂ ∂ ∂ ∂

 

∑ ∑ ∑ ∑

14444444244444443 14243

& & & &

Le dernier terme tombe si on choisit le même nombre de coordonnées généralisées que de degrés de liberté.

(3)

Déterminer le moment d’inertie d’un cylindre évidé par rapport à son axe de révolution passant par le centre de masse (exprimer le résultant en fonction de la masse totale) (1)

R1

A2

h1

h2

R2

h

( )

1

2

4 4

1 1 2 2 2

( 1) ( 2)

2

1 1 2

Moment d'inertie d'un cylindre en son centre :

2

Moment d'inertie du cylindre évidé par rapport à l'axe passant par :

2 2

G

G G G

z

z z cylindre z cylindre

M

I MR

z G

R h h R h

I I I

M R h h

ρπ ρπ

ρπ

=

= − = + −

= +

1442 3

( )

2

1 12 2 2 2

1 2

2

2 2

4 4 4

1 1 1 2 2 2

( 1) ( 2)

2 2

2 2 2 1 2

1 2 2

2 2 2 2

1 1 2 1 2

ou

2 2 2

avec

2 2

G G G

G

M

z z cylindre h z cylindre évidé h

M R M

R R

z

R h

R h R h R h

I I I

h R R MR M R

I M M

h R h R R ρπ

ρπ ρπ ρπ

+

−

 

= + = + − 

 

= + = −

+ −

14243

44

14243 14444244443

Question 2 : (4 points)

Dans le plan vertical, une plaque carrée de masse M et de côté H peut glisser sans frottement horizontalement. La barre homogène AB, de masse m et de longueur L peut tourner sans perte autour de la liaison rotoïde en A. Le ressort horizontal CD relie le point C du bâti au point D du solide, à une hauteur h (=GD). La rigidité de ce ressort vaut k et sa longueur au repos vaut OA. La tige subit à son extrémité libre B une force F.

F

A

B

C D

E

F G H

L

θ

O g

x

2. Déterminer la ou les équations de mouvement du système en fonction des paramètres de l’énoncé

(4)

( )

0 0 0

2 2 2

2 2

2 2 2

0

; ; cos et 1 1

sin

1 1 avec cos sin 1 1

2 3 2 sin

sin sin 1 1

2 2 2 2

AE OA L x DC L x H H x L H

tg

mL H

T Mx x H

tg

L k L k

V mg x L mg H

tg

µ µ θ µ

θ θ

θ µ θ µ θθ θ θ

θ θ

θ

 

= = = => − − = = => = −  + 

 

 

   

=  +  = − + =  +  =

 

= + − = +  + 

 

& & & & & & &

( )

1 0

1 1 2

2 2 2 2

0

*

2 coordonnée et : Or nous avons 1 ddl => une contrainte : 1 1 =0

=> un multiplicateur de Lagrange 0

sin

1 1

2 3 2 2 sin 2

:

x x H L

tg x H

mL L k

L Mx mg x L

Q_θ

θ φ

θ

λ λ δ δθ

θ

θ θ

δτ

 

= +  + −

 

 

=>  − = 

 

   

=> =  + − − −

=

& &

( )

* *

* 2

1 2

1

* 0 1

1

2

2 2

4

. et 0

: cos

3 2 sin

: 2

2 sin 0

3 sin

x

p j

j j

p j

x j

j

F AB FL Q FL Q

d L L Q mL Lmg FL H

dt

d L L k

Q Mx x L

dt x x x

x H

mL MH

θ θ

δ δθ

λ φ θ θ λ

θ θ

λ φ λ

θθ

θ

=

= − => = − =

 ∂ −∂ = + ∂ − − = − −

 ∂ ∂ ∂  



 ∂ ∂ ∂  

=> ∂ −∂ = + ∂ − − − =

 − =



=> +

∑

&&

&

&&

&

2 2 2

4 2

cotg 1

2 cos 1 0

sin 2 sin

L kH

MH mg FL

tg

θ θθ θ

θ θ θ

  

− + − + − =

   

   

 && &

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

4

*

2 2

1 coordonnée :

1 1 1 1 et sin 1 1

2 3 2 2 2

1 1 1 sin 1 1

2 3 2 sin 2 2

:

3

mL L k

T MH V mg H

tg tg

mL L k

L MH mg H

tg d L L

dt Q

mL MH

θ

θ θ θ

θ θ

θ θ θ

θ θ

 

       

=  +  +   = +  + 

     

= + − −  + 

∂ ∂

=> − =

∂

∂ +

& &

&

&&

2

2 2 2 2 2

2 4 4 2

2 2 2

2 2

4 4 2

1 cotg 1 cotg 1 1

1 4 4 cos 1

2 2

sin sin sin

cotg 1

2 cos 1 0

3 sin sin 2 sin

MH MH Lmg kH FL

tg tg

mL MH MH Lmg kH FL

tg

θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ

θ θθ θ

θ θ θ θ

 +  − − − − − +  +  =

       

       

 

   

=> +  − + −  + − =

&& & &

&& &

(5)

Question 3 : Centrifugeuse humaine (4 points)

Dans le cadre de l’entraînement des pilotes de chasse, l’utilisation d’une centrifugeuse humaine est un moyen avantageux de recréer au niveau du sol, l’accélération subie en opération. La centrifugeuse est constituée :

- d’un bâti en rotation autour de l’axe Oz . Sa position est définie par le paramètre α et la distance de O’ à l’axe z = L.

- d’une nacelle en rotation (θ) autour de l’axe bb’ (// axe y) ainsi que d’une rotation (ϕ) autour de l’axe aa’

(perpendiculaire à bb’) Son centre de masse est à une distance d de O’. Cette nacelle est modélisée par un cylindre de rayon R et de hauteur H.

Le repère Oxyz tourne avec le bâti.

G O’

O x y

z

b’

b

a’

a

ϕ α θ

.

. .

B B’

1. Déterminer les différents systèmes d’axes que vous allez utiliser pour calculer la vitesse angulaire de la nacelle (dessiner leur projection en 2D)

y₀ x0

y1

x1

α

x₁

z1=z0 z1

x₂

θ

z2

α

a’

O

O’

G

x2

y₂

x3

y₃

z2=z3

ϕ O’

a

b b’

R1/R0 : Repère tournant autour de z1 : ω_{R R}₁_/ ₀ =α&1_z₁ =α&1_z₀

R2/R1 : Repère suivant la rotation 1 de la nacelle : ω_{R R}₂_/ ₁ = −θ&1_y₂ = −θ&1_y₁ R3/R2 : Repère attaché à la nacelle.

3/ 0 13 12

R R z z

ω = −ϕ& = −ϕ&

2. Déterminer la vitesse angulaire de la nacelle dans le repère du dessin.

R3 = Repère suivant la rotation de la nacelle

( )

1 1 1

2 2 2

3 0 1 2 2

2 1 /

dans : sin 1 1

dans :

cos 1

1 1 sin 1 1 cos

1 ^S ^x ^y 1^z

S

S R z y

x R

y z

R z

R ω ϕ θ θ α ϕ θ

ω ω

ω α θ θ α

ϕ θ ϕ

α θ

=

 = − + −

= = − − =

+ −

 −

 & & &

&

& & &

&

& &

(6)

3. Déterminer l’accélération angulaire de la nacelle.

3 1 1

1 0 1 0 3 1

1 1

1 1 1

3 2 3

2 0 3

2

/ ( )

/ / /

1 sin 1

( )

/

sin cos 1 sin 1 cos sin 1

x y

S R S S R

S R R S R R R R

R R

S x y z

S S R S

S R R S

R

d d d

dt dt dt

d d d

dt dt

αθ αϕ θ

ω ω ω

ε ω ω ω ω

ε ϕ θ θϕθ αθ αϕ θ θ α ϕ θ ϕ θθ

ω ω ω

ε ω ω

+

= = + × = + ×

     

=> = + +  + −  + − + 

= = + × =

&

& & &

1442443

& & && &

&& & & & & && && &

2

2 0 3 2

2

2 2

3 2 2 2

/

/ /

1 sin 1

sin cos 1 sin 1 cos sin 1

x y

R

R R R R

R

S x y z

dt θϕ ϕα θ

ω ω

ε α θ αθ θ θϕ ϕα θ θ α θ ϕ α θθ

+

+ ×

     

=> = + +  + −  + − − 

& & & &

1442443

& & && &

&& & & & & && && &

4. Déterminer la somme de forces extérieures qui s’exercent sur la nacelle

( ) ( ) (

' ' '

)

1

' '

Forces en présence : G , B , , ; B' , , dans les axes R ' avec

B B B B B B

O O

G O S

mg X Y Z X Y Z

v v v =v +ω ×O G ⁼

( ) ( ( ) )

( )

1 2

2

1 1 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1

1

/ / 2

' 1 1

' 1

cos 1 sin 1 1 cos 1 sin 1 1

avec cos 1 sin 1

1 : cos

bati y y

z

G x y z x y z

R R R R y x

R x

OO L L

O G d

v d L d dsin R M d L d dsin

dR dR

R R M d L d

dt dt

M d dR

dt

ω α α

θ θ θ α θ θ θ θ θ α θ θ

ω ω θθα θ α

θ

 + × = =



 =

• = − + − − => = − + − −

= + × × = − − −

− −

=

& &

& & & & & &

& & &

&&

( )

1

2 2

' ,

2 ' ,

sin sin

1 : sin 2 cos

1 : cos

B B e x

y B B e y

z B B e z

d L d X X F

M L d d Y Y F

M dsin d Mg Z Z F

θ θθ θ α

θ α θθα

θθ θθ

 + − − = + =

 − − = + =



 − − = − + + =



& &

&

&& &

(7)

Question 4 : Choc élastique entre deux sphères rigides (4 points)

Considérons deux sphères rigides et polies, de masses respectives m et M. Nous supposerons la sphère 1 « incidente » possédant une vitesse de translation vO. tandis que la sphère heurtée est initialement fixe.

O1

O2

vO

m

M

m, vO, EO

m, v, E

M, V, ε θ ϕ

1. Déterminer la relation entre l’énergie cinétique de la bille incidente après le choc et celle avant le choc. Justifier les hypothèses faites.

Hypothèse :

1. Avec le théorème de la résultante cinétique appliqué au système, nous ne devons pas tenir compte du choc entre les deux sphères (=force interne)

2. On peut appliquer le principe de conservation du moment cinétique. Car nous travaillons avec des sphères rigides et polies ce qui veut dire qu’il n’y a pas d’absorption d’énergie par élasticité.

2 2 2 2 2 2

0 0

2 2 2

0

2 2 0

Théorème de la résultante cinétique :

cos cos

0 0 sin sin

Eliminons : 2 cos

Théorème de l'énergie cinétique :

2 2 2

Eliminons :

e avant après O

mv mv MV

F R R

mv MV

m v mMv V M V m v

mv mv MV v m v

θ ϕ

= +

= => = =>  = −

− + =

= +

( )

2 2 2 2

0 0

2 2 2 2 2 2

0 0 0

2 2

0 2 0

2 2 2 2 2

0

2 2 2

2 0 2 2

0 2 2

2 2 2

0 0

2 cos

2 2 cos 2 cos

4 cos

2 cos

2

4 cos

2 2

Posons : ; ;

2 2 2

mMv V M V m mv MV M V m mv MV m v mMv V

MV mV

mv V M m V mv M m V m v

MV mM mv

M m

mv

MV mM

m M

mv mv MV

E E

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ε ε

− + = −

= − − +

+ =

 + = 

 

 

+ =

= +

 

=> = +  

= = =

=>

( )

² ² ⁰ ⁰ ⁰

( )

² ²

4 4

cos 1 cos

mM mM

E E E E

m M ϕ ε ^ m M ϕ^

= => = − = −

 

+  + 

(8)

2. Donner les deux conditions pour lesquelles cette énergie s’annule-t-elle ?

1. Choc de plein fouet :

( )

2

0 2 0

0 :E E 1 4mM E M m

m M m M

ϕ= = ^ − + ^= ^ +⁻ ^

2. 2 solides de même masse :

2

: 0 M m 0

m M E E

m M

 − 

= ==  +  =

3. Dans quelle direction va partir la bille heurtée ?

Les percussions s’exercent dans la direction O1O2 donc la variation des vitesses seront également dirigée suivant O1O2

Question 5 : Roue en rotation uniforme (3 points) Une roue de vélo est maintenue avec un axe sans masse incliné d'un angle θ par rapport à la verticale. La vitesse angulaire de rotation propre de la roue et celle de précession sont constantes.

L'axe Oy est supposé dans un plan vertical en tout temps.

Le plan du dessin est le plan vertical qui tourne avec la roue.

Introduisez les grandeurs nécessaires qui caractérisent le solide et son mouvement afin de formuler vos réponses.

Quel théorème général faut-il invoquer pour trouver le moment qu'il faut appliquer à l'extrémité O de l'axe de la roue afin de maintenir le mouvement décrit ?

Ω ω

mg L

On applique le théorème du moment cinétique avec un gyroscope.

Roue=disque

,

2 2

Moment extérieur appliqué : sin 1 Pour maintenir le mouvement de précession,

il y a un couple gyroscopique : 1 1 sin 1

2 2

e O x

g z Z x

m mgL

mR mR

C

θ

ω ω ω θ

=

= ΓΩ× = Ω × = − Ω

(9)

Expliciter le moment cinétique de la roue. Trouver ses composantes dans le repère indiqué sur la figure

( )

avec 1 sin 1 2sin 1

.

O G z x y

G G

M M OG R OG R L L L

M I

θω θω

ω

= + × × = × =

= + Ω =

( )

2 2 2

2

2 2

2

0 0

0

0 sin sin 1 cos 1

4 4 2

cos

0 2

sin sin 1 cos 1

4 2

y z

O y z

mR mR mR

mR

mR mR

M mL

ω θ ω θ ω θ

ω θ

θω ω θ ω θ

 

 

  

   = + − + Ω

  

 

  − + Ω

 

 

 

=> = +  + − + Ω

 

Dériver le moment cinétique en O. Quelle simplification peut-on faire ? Que vaut la vitesse angulaire de précession ?

( )

2 2

, 2

sin sin cos cos sin 1

4 2

sin sin cos sin 1

4 2

sin 1 sin 1 2

2 2

Roue=

O O x

O x

O x g e O x

d M mR mR

M mL

dt

d M mL mR mR

dt

d M mR C m mgL R gL gL

dt R

ω θ θ ω θ ω θ ω θ

θ θ θω θω

ω θω θ ω ω

  

= × = +  + − + Ω 

  

= −  + Ω

 

<< Ω => = Ω = − = = => Ω = => =

  Ω

cercle=> gL2

ω= R Ω

(10)

BROUILLON

(11)

BROUILLON