NOM, PRENOM : ...

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NUMERO°: ...

Examen de mécanique rationnelle 1

^ière

session 04/01/2010 (8h-12h)

Répondre sur le questionnaire et ne dégrafer que les brouillons

e

d R F

dt =

∑

e,

A G A A

d M mv v m

dt = × + avec MA=MB+AB R× ; MA=m AG v× A+IA.ω

( )

2 1

. avec . . .

2 2

A

h h A A

mv

dT F v T mv AG I

dt =

∑

= + ω× + ω ω

1

et avec .

p

j h

i j i h

i i j i h i

d T T

L T V Q Q F

dt q q q q

φ ϕ

λ

=

∂ ∂

∂ ∂

= − − = + =

∂_& ∂

∑

∂

∑

∂

Question 1 : Questions rapides (3 points)

Un bras manipulateur d’atelier est composé d’un bras OA,de longueur 2a, lié au bâti par une liaison pivot en O ainsi que d’un vérin d’épaule CD lié au bâti par une liaison pivot en C ainsi qu’au bras OA par la liaison pivot en D (situé à la moitié de OA). On considère les vitesses de sortie des vérins constantes (V).

Déterminer la vitesse de A en fonction des paramètres α et V. (1,5 points)

O

2 a 2

D

C

A

a

a

α

1

1 2

2 2 2 2 2

2 1 avec 1

2 2 3 d

2 cos 2cos => 2 2 sin

2 2 2 dt

3 3

2 2cos 2 2cos

2 2

2 1

sin sin

A O OA y OA z

A y

v v OA a

CD

CD a a aa a V CD V a

V V

v a

a a

ω α ω α

α α αα

α α

α α α

= + × = =

   

= +   − =  −  = => =

   

− −

   

   

=> = => =

& &

&

&

Un triangle est composé de 3 barres homogènes ABC, de côté L.

Le triangle de masse M se déplace dans le plan vertical. Son côté BC glisse sans frottement sur une horizontale fixe. Au sommet A est suspendu un pendule simple de masse m et de longueur ℓ qui oscille dans le plan ABC. (1 point)

Sachant que les équations de mouvement de ce système sont

( )

: cos

: cos sin 0

x Mx m x Const

x g

θθ

θ θ θ θ

 + + =



 + + =



&

& & l

&& &&

l

1. Existe-t-il une intégrale première pour ce système ?

2. Calculer les équations de mouvement si on remplace le contact entre le triangle et le sol par deux roues de rayon r et de masse m.

B

θ P C A

La première équation de mouvement est une intégrale première car c’est une équation du premier degré.

0 est une intégrale première

L L

Const

x x

∂ = => ∂ =

∂ ∂&

( )

( )

2 2

2 2 2 2

2 2

1 1

avec car le triangle ne tourne pas.

2 2

1 1

Pour le point matériel de masse : 2 cos

2 2

avec cos 1 sin 1

1 1

cos 2 2

M m M A

m G

P A x z

T T T T Mv Mx

m T mv m x x

v v AP x

V mg L T V Mx m x

θ θ θ

ω θ θ θ θ

θ

= + = =

= = + +

= + × = + −

= − => = − = +

&

& &

& l l &

& &

& l l

& &

l

( )

( )

2 2

0

2 cos cos

0 : 0 est une intégrale première : cos

0 : cos sin 0 (ou directement avec )

x mg

d L L L L

Const Mx m x A

dt x x x x

d L L

x g T V E

dt

θ θ θ θ

θθ

θ θ θ

θ θ

+ + +

∂ −∂ = ∂ = => ∂ = + + =

∂ ∂ ∂ ∂

∂ −∂ = + + = + =

∂ ∂

& & &

l l l

&

& & l

& &

&& &&

& l

Si on remplace le contact entre le triangle et le sol par deux roues de rayon r et de masse m.

( )

2

2 2 2 2

0 0

3 2

1 6

2 6

2 2 2 2

: 7 cos

: identique

mx

mx mr x mx L

L L L Mx mx mx

r x

x Mx m x θθ B

θ

 

 

    ∂

 

= + +   = + => = + +

∂

   

 

 

 

 + + =





&

& & &

& & &

&

144424443

&

& & l

Une barre uniforme de longueur L et de masse m, est soudée à un axe de longueur L’ et de masse m’. Cet axe est en rotation dans les supports A et B avec une vitesse angulaire ω.

Rem : on suppose que B ne supporte pas de force suivant l’axe.

Pour déterminer l’équation de mouvement, est-il indispensable de connaitre les données de l’axe (masse et longueur) ? Justifiez.

(0.5 points)

L’

L θ

L’axe tourne autour de son axe z, donc le calcul du moment cinétique ou de l’énergie cinétique fait apparaitre le terme

. . 0 0

. . . 0 . 0 . 1

. .

z z

z

I I

I

ω ω

ω

   

   

=   =

   

   

. Le moment d’inertie d’une barre suivant l’axe de cette barre est nul.

Question 2 : Questions de théorie (3 points)

Démontrer la formule de Steiner.

( )

( ) ( ^{( )( ) ( )} ( ) )

( )

; ; avec les coordonnées du point dans le système d'axe centré en

2

x y z i i i i

O i i i i i i

O i i i i i i

O i i

OG a a a x X a X P G

I x x x x dm X a X a X a X a dm

I X X a a X a X X X a X a a a dm

I X X

αβ αβ α β αβ α α β β

αβ αβ αβ αβ α β α β β α α β

αβ

δ δ

δ δ δ

δ

=> = +

= − = + + − + + =

= + + − − − −

=

∫ ∫

∫

( ) ( )

(

²

) (

²

)

2 2

Par définition du centre de masse

i

i i i i

O G i i O G

mGG mGG mGG

X X dm a a a a dm X a dm X a dm X a dm

I I m a a a a X dm a X dm a X dm I I m a a a

OPdm

OG mO

m

α β

αβ α β αβ α β αβ α β β α

αβ αβ αβ αβ

αβ α β αβ β α α β αβ α β

δ δ

δ δ δ

− + − + − −

= + − + − − => = + −

= =>

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

14243 14243 14243

( )

0 Donc dans les axes aux centre de masse, les coordonnées de ce centre de masse valent 0,0,0

i i i i i

G =

∫

OPdm=>mX =

∫

x dm=> =

∫

X dm

Question 3 : Gyroscope (2 points)

Un gyroscope cylindrique (de rayon r et de masse M) est représenté sur la figure ci-contre. Les deux arceaux circulaires C1 et C2 de rayon R, peuvent tourner respectivement autour de l’axe z0 et u. Le cylindre tourne autour de son axe de révolution avec une vitesse angulaire ϕ&.

Le gyroscope est décentré (situé à une distance a du centre O) et l’arceau C2

est incliné d’un angle θ par rapport l’arceau C1.

Si on vient appliquer une force F en D perpendiculaire à l’arceau C1, déterminer la réaction du système et la vitesse de précession en fonction de la force appliquée.

F me,O

Cg

ω

,0 , O

e O g

d M m C

dt = +

0

, 0

La force extérieure vaut 1

Le couple extérieur à contrer : 1 sin 1 . L'axe du gyroscope va essayer de s'aligner sur le moment extérieur.

sin 1 : le gyroscope précessionne autour de

e y

e O z x

x

F F

m FR Mga

mga

θ θ

= −

= − +

0

,

l'axe z pour annuler le moment extérieur dû au poids. ( )

1 : Le gyroscope va précessionner autour de l'axe ( ) Pour contrer ces couple extérieurs, le couple gyroscopique doit être

z

g e O

FR u

C m

ψ

θ





−

= − = ΓΩ

(

⁰

)

0

0 0 0

0

2

2 2

2 2 2

terme repris par les câles car la rotation autour de y n'est pas poss

1 1 1 1

2

sin 1 1 1 sin 1

2 2

sin 1 1 sin 1 cos 1 sin 1

2 2 2

z z z u

x z v x

x z x z y

Mr

Mr Mr

Mga FR

Mr Mr Mr

Mga FR

ω ϕ ψ θ

θ ϕθ ϕψ θ

θ ϕψ θ ϕθ θ ϕθ θ

× = × +

− + = − =

− + = − + −

&

& &

&

& & &

& &

& & & &

ible.

2

2

2

2 2

2 cos

Mr ga

Mga

r FR

Mr

ϕψ ψ ϕ

θ ϕ θ

=> = => =

=> =

1442443

& & &

&

&

&

Question 4 : Tige en appui sur un disque (4 points)

Une tige homogène pesante AB, de masse m et de longueur L, est fixée en A et subit à son extrémité libre B une force F qui lui est perpendiculaire et dont la norme varie en fonction du temps (F=Asinωt). Elle s’appuie sur un disque circulaire de masse M, de rayon R et de centre C de manière telle qu’il y a roulement sans glissement entre les deux solides, alors que le disque peut se déplacer sans frottement sur l’horizontale passant par A (le système est dans un plan vertical fixe). Le centre C du disque est relié à la rotule A par un ressort de constante k et de longueur libre L.

θ

C

F(t) B

A

Déterminer la (les) équation(s) de mouvement finale(s) de ce système en utilisant les multiplicateurs de Lagrange.

θ

C

F(t) B

A x

x1

y

2 2

2

2

2 2

2 2 2

1 1

. . avec 1 (avec 0)

2 2 3

1 1

. . avec 1 et cotg ;

2 2 2 2sin

2

1 1

2 3 2 2 2

Tige Disque

Tige t O t t z

Tige

Disque C d C d d z

Disque

T T T

T I mL

T mv I x R x R

mL M MR

T x

ω ω θ ω θ θ

θ θ

ω ω ω ϕ θ

θ ϕ

= +

  

= = = <

  

 

  

 = +  = = = −

  



=> = + +

& & &

&

& &

& & &

( )

( )

1

1 1 1

2

2 2

/ sin 2

tige disque

tige disque

et sin

2 2

* Contraintes :

1 avec

1 1 cos 1 sin 1

cos 0

R

P P

P A t y

P C d x x x y

L k

V mg x R L

FL Q FL

v v

v v AP x

v v CP x R x R x

x R

x

θ θ

θ

δτ δθ

ω θ

ω ϕ θ ϕ θ

θ ϕ

/

∈ ∈

∈

∈

 

 

= +  + − 

 

= − => = −

=

 = + × =



= + × = − = − −



− =

=>

14243

&

& &

& & &

&

&

( )

( )

( )

( )

1 2

2

2 2

2 2 2 2 2

/ sin 2 2

2

2 2

1 2

2 2

cos 0

sin sin 0

1 1

Equation de Lagrange : sin

2 3 2 2 2 2 2

: cos

3 2

: cos

R

x R

x x x

mL M MR L k

L x mg x R L

mL L

mg FL x

x Mx k x R L x

x R

θ

δ θ δϕ λ

θ θ δθ δ θ λ

θ ϕ θ

θ θ θ λ

λ θ λ

/

 − =

 

=>

 

= − + =

 

 

 

 

= + + − −  + − 

 

+ = − +

+ + − = +

+

& &

& & & 14243

&&

&&

( )

2 1

2

2 2

2 2

sin : 2

cos 0

sin

cos 1 cos sin

2 3 2

MR R

x R

x x

x MR mL L

Mx k x R L mg FL

x R x

θ

ϕ ϕ λ

θ ϕ

θ θ

ϕ θ θ θ θ









= −



− =



 = −





 

 

=> + + − + = −  +  + + 

&&

&

&

& &

&&

&&

&&

Question 5 : Plaques en rotation (4 points)

Un système composé de deux plaques carrées homogènes pesantes de longueur L et de mase M sont soudées sur une tige non pesante. La plaque OABC est dans le plan xz tandis que la plaque ADEF dans le plan xy. Le système peut tourner autour de l’axe horizontal OF. La tige OAF est bloquée en O par une butée et une glissière en F. Elle est abandonnée sans vitesse initiale dans la position indiquée sur la figure (AB vertical).

Déterminer les composantes de la réaction de liaison en E dans des axes attachés à la tige (en fonction des données du système et de l’angle θ). Rem : Il est nécessaire de déterminer préalablement, en fonction de l’angle θ entre la verticale ascendante et AB, la vitesse angulaire de la tige.

A x

F C

O y z

L

L B

D

E

Système {système complet (4m)} : Théorème du moment cinétique en O :

( )

,

2 2

1 2

1 2

2

où 1 et 1 1 1

1 1 1 1 1 OE ( ) OG OG

OG , 0, ; OG 3 , , 0 ; 1 sin 1 cos 1

2 2 2 2

12 2

O G O e O x O x x xy y xz z

x x xy y xz z xy z xz y E E

Z y z

x

d M M v v m M I P P

dt

I P P P P Y Z Mg Mg

L L L L

Mg Mg Mg

ML L

I M

ω θ θ θ θ

θ θ θ θ θ

θ θ

= × + = = − −

=> − − − + = × + + × + ×

   

= − = − +

   

   

= + 



∑

^{& & & &}

&& && && & &

{ {

( )

2 2 2 2

2 2

2

2 2

2

2

12 2 3

3 3

0 . . et . . 0

2 2 4 2 2 4

2 1 3

sin cos (1) => sin cos

3 2 2 4

3 1

4 4 2 2

OABC ADEF

xy xz

OABC AB

ADEF OABC

E

ML L ML

M

L L ML L L ML

P M P M

ML L g

Mg MgL

L

ML ML

LZ M

θ θ θ θ θ θ

θ θ

  

+ + =

   

  

= + = = + =

= − = −

− + = − +

1442443 1442443

14243 14243

&& &&

&& &

( ) ( )

2

2 2

2

2 2

0 0

2 2

cos 3 cos 2 2 cos (2)

2

2 sin 3 sin 2 2 sin (3)

4 4 2 2

sin cos 3 1 cos sin 1

3 2 2

ou sin cos

3 2 2

E

E E

gL MgL LZ MgL

ML ML L L

LY Mg Mg LY MgL

ML L

d Mg d g

L

ML L L

L Mg Mg

θ θ

θ θ θ

θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ





+ = − +



− − = − − = −



=> = − => = − − +

= + − =>

∫

^&

∫

&& &

& &

&

( ) ^{( ) ( )}

( ) ^{( ) ( )}

2

2

2

2 cos sin 0

3 2 2

9 3 1

3 cos sin cos cos sin 1 cos

8 8 4 2

3 3 1

sin sin sin cos cos sin 1

8 8 4 2

E

E

ML L L

Mg Mg

ML ML g

Z Mg g Mg

L L

ML ML g

Y Mg Mg g

L L

θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ

− + =

 

= − + =  − − − − + +

 

 

= − − = −  − − − − + 

 

&&

&& &

&& &

3

Question 6 : Pédalier (4 points)

Un pédalier est présenté ci-dessous. Il est composé d’un cylindre S1 (de masse m1, de rayon r et de largeur h), des axes S2

(tiges de masse m2 et de longueur L) et des pédales S3 (de masse m3, de côté a (en x), b (en y) et c (en z)).

ϕ z

x x1

z1

z

x

y

Projection dans le plan xz

S1

S3

S2

Déterminer le tenseur en O de ce système dans le repère Oxyz.

1

1 1 1 2 1

2 2

1 1

2 1

2 2

1 1

2

2 2

2 2

2 2

2

2

2

- Cylindre ( , ) :

0 0

4 12

0 0

2

0 0

4 12

- Axes ( ) :

0 0

0 0

2 2

12

2 0 0 2 0

12 4 2 2

0 0 0

0 2 2 4

xyz

x y z O S

O S

S r h

m r m h I m r

m r m h

S L

h L

m L

m L L h L

I m

h L h

 

+

 

 

 

 

= 

 

 + 

 

 

     + 

     

 

  

 

=  + 

 

 

  

2 2

1 1 1 2

Steiner avec 0, , 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 0 0

3 2

0 2

3 2

0 2 2

a a

x y z

OG h L G O

O S

m L h

m

m L hL

I m

hL h

m m

 

= − =

 







 

 

 



 

 + 

 

  

 

= − − 

 

 

 − −  

   

 

144444424444443

2

2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

cos sin sin cos

3 2 2 3

sin 2 cos

2 3 2

2 2

sin cos cos sin

3 2 2 3

OxyzS

m L h hL m L

m m

m L

hL hL

I m m

m L hL h m L

m m

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

 

+ −

 

 

 

 

= 

 

 − + 

 

 

Avec

1 1 1 1

2

2 2

cos sin

xyz

x z x z

O S

I I P

I

ϕ+ ϕ−

=

sin 2ϕ −

(

cosϕP_{x y}1 1 ^{+sinϕPy z1 1}

)

⁻

(

^{sin cosϕ ϕ}

⁽

^Ix1−Iz1

⁾

⁺

(

^{cos2ϕ−sin2ϕ}

)

^{Px z1 1}

)

cosϕP_{x y}1 1

−

(

^+sinϕ

( )

^{Py z1 1}

)

^{Iy1 − −}

(

^{sinϕPx y1 1}

)

( ) ( )

1 1

1 1 1 1

2 2

cos

sin cos cos sin

y z

x z x z

P

I I P

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

+

−

(

− + −

)

^{− −}

(

^{sinϕPx y1 1 +cosϕPy z1 1}

)

^{Iz1cos2ϕ+Ix1sin2ϕ+Px z1 1}

2 2

2 2

sin 2 2

3 2

m L h

m

ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

+

=

2

2 2

cos 2 sin

2 m h

ϕ ϕ

 

  +

 

 

2 2

2

2 2

sin sin cos 2

2 3 2

m L

hL h

m m

ϕ  ϕ ϕ

− −  − +

 

2 22 m h

−

2 2

2 2

2 2

2 2

sin 2 cos

2 3 2

sin cos 2

3 2

m L

hL hL

m m

m L h

m

ϕ ϕ

ϕ ϕ

 

 

 

 

   

− −  − − 

   

− + 2 ²

2 m h

− cos 2 2 ²cos²

2 2

hL h

m m

ϕ ϕ

   

  − − 

   

 

2 2

2 2

2

3 2

m L h

+ +m sin²ϕ

 

 

 

 

 

 

 

   

   

   

   

 

( )

( )

( )

( )

3 3

2 2

3

2 2

3

2 2

3

2

2 2

2 3

2

- Pédales ( , , ) :

0 0

12

2 0 0

12

0 0

12

sin sin sin cos

2 2 2 2

sin cos

2 2 2 2

sin cos cos s

2 2

OxyzS

S a b c

m b c

m a c

I

m a b

h b h b

L L L

h b h b

m L L L

h b

L L L

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

 + 

 

 

 

+

 

=  

 

 + 

 

 

 

 

   

+ +   +  −

   

   

+  +   + 

   

 

−  + 

 

( )

3 3

2 2

Steiner avec sin , , cos 2 2

in 2 2

a b

OG L h bL G O

h b

ϕ ϕ

ϕ

 

= − − =

 

 

 

 

 

 

 

 

   

+ + 

 

 

 

14444444444444244444444444443 cos

BROUILLON

BROUILLON