Version coronavirus
LYCÉECARNOT(DIJON), 2019 - 2020
Germain Gondor
Roulement sans glissement Liaisons non parfaites
Roulement sans glissement
Jusqu’à présent, dans les études cinématiques, les liaisons étaient considérées parfaites. Le tableau donné en fin du cours permettait d’avoir la forme du torseur cinématique en fonction de la liaison normalisée.
Roulement sans glissement Liaisons non parfaites
Roulement sans glissement
Dans le cas du Roulement sans glissement (noté RSG), on considère qu’il y a adhérence entre deux solides au niveau du point de contact.
Par exemple, dans un contact ponctuel parfait en I de normale #»z, on dénombre 5 degrés de liberté : 3 rotations et 2 translations au niveau du contact.
mais au niveau du contact, la vitesse devient nulle (#»
V(I,1/0)= #» 0 ) :
V1/0=
I
p10 u10
q10 v10 r10 0
(#»x,#»y,#»z)
⇒ V1/0=
I
p10 0 q10 0 r10 0
(#»x,#»y,#»z)
à cause du RSG en I
Roulement sans glissement Liaisons non parfaites
Roulement sans glissement
Dans le cas du Roulement sans glissement (noté RSG), on considère qu’il y a adhérence entre deux solides au niveau du point de contact.
Par exemple, dans un contact ponctuel parfait en I de normale #»z, on dénombre 5 degrés de liberté : 3 rotations et 2 translations au niveau du contact.
Dans le cas du RSG(I), les 3 degrés de liberté en rotation perdurent mais au niveau du contact, la vitesse devient nulle (#»
V(I,1/0)= #»
0 ) :
V1/0=
I
p10 u10
q10 v10 r10 0
(#»x,#»y,#»z)
⇒ V1/0=
I
p10 0 q10 0 r10 0
(#»x,#»y,#»z)
à cause du RSG en I
Roulement sans glissement
Dans le cas du Roulement sans glissement (noté RSG), on considère qu’il y a adhérence entre deux solides au niveau du point de contact.
Par exemple, dans un contact ponctuel parfait en I de normale #»z, on dénombre 5 degrés de liberté : 3 rotations et 2 translations au niveau du contact.
Dans le cas du RSG(I), les 3 degrés de liberté en rotation perdurent mais au niveau du contact, la vitesse devient nulle (#»
V(I,1/0)= #»
0 ) :
V1/0=
I
p10 u10
q10 v10 r10 0
(#»x,#»y,#»z)
⇒ V1/0=
I
p10 0 q10 0 r10 0
(#»x,#»y,#»z)
Roulement sans glissement Stratégie de résolution
Stratégie de résolution
• Construire le graphe des liaisons où, pour les contacts avec roulement sans glissement, on indique RSG(I), si I est le point de contact.
• Traduire le(s) roulement(s) sans glissement, i.e. écrire #» 0 = #»
V(I,1/0)
• A partir du graphe des liaisons, faire la composition des vitesses de chacun des RSG sans passer par un autre RSG (sinon c’est pénible de faire BABAR)
• Exprimer chacune des vitesses de la composition en allant
chercher les vitesses connues pour chacun des mouvements. Par exemple, si on doit calculer #»
V(I,2/0)et que 2 est en liaison pivot d’axe(A,#»z), on utilise la formule de Varignon (BABAR) en A pour exprimer la vitesse en I
• Bricoler mathématiquement pour obtenir le résultat recherché
Roulement sans glissement Stratégie de résolution
Stratégie de résolution
• Construire le graphe des liaisons où, pour les contacts avec roulement sans glissement, on indique RSG(I), si I est le point de contact.
• Traduire le(s) roulement(s) sans glissement, i.e. écrire #»
0 = #»
V(I,1/0)
de chacun des RSG sans passer par un autre RSG (sinon c’est pénible de faire BABAR)
• Exprimer chacune des vitesses de la composition en allant
chercher les vitesses connues pour chacun des mouvements. Par exemple, si on doit calculer #»
V(I,2/0)et que 2 est en liaison pivot d’axe(A,#»z), on utilise la formule de Varignon (BABAR) en A pour exprimer la vitesse en I
• Bricoler mathématiquement pour obtenir le résultat recherché
Roulement sans glissement Stratégie de résolution
Stratégie de résolution
• Construire le graphe des liaisons où, pour les contacts avec roulement sans glissement, on indique RSG(I), si I est le point de contact.
• Traduire le(s) roulement(s) sans glissement, i.e. écrire #»
0 = #»
V(I,1/0)
• A partir du graphe des liaisons, faire la composition des vitesses de chacun des RSG sans passer par un autre RSG (sinon c’est pénible de faire BABAR)
• Exprimer chacune des vitesses de la composition en allant
chercher les vitesses connues pour chacun des mouvements. Par exemple, si on doit calculer #»
V(I,2/0)et que 2 est en liaison pivot d’axe(A,#»z), on utilise la formule de Varignon (BABAR) en A pour exprimer la vitesse en I
• Bricoler mathématiquement pour obtenir le résultat recherché
Roulement sans glissement Stratégie de résolution
Stratégie de résolution
• Construire le graphe des liaisons où, pour les contacts avec roulement sans glissement, on indique RSG(I), si I est le point de contact.
• Traduire le(s) roulement(s) sans glissement, i.e. écrire #»
0 = #»
V(I,1/0)
• A partir du graphe des liaisons, faire la composition des vitesses de chacun des RSG sans passer par un autre RSG (sinon c’est pénible de faire BABAR)
• Exprimer chacune des vitesses de la composition en allant
chercher les vitesses connues pour chacun des mouvements. Par exemple, si on doit calculer #»
V(I,2/0)et que 2 est en liaison pivot d’axe(A,#»z), on utilise la formule de Varignon (BABAR) en A pour exprimer la vitesse en I
Roulement sans glissement Stratégie de résolution
Stratégie de résolution
• Construire le graphe des liaisons où, pour les contacts avec roulement sans glissement, on indique RSG(I), si I est le point de contact.
• Traduire le(s) roulement(s) sans glissement, i.e. écrire #»
0 = #»
V(I,1/0)
• A partir du graphe des liaisons, faire la composition des vitesses de chacun des RSG sans passer par un autre RSG (sinon c’est pénible de faire BABAR)
• Exprimer chacune des vitesses de la composition en allant
chercher les vitesses connues pour chacun des mouvements. Par exemple, si on doit calculer #»
V(I,2/0)et que 2 est en liaison pivot d’axe(A,#»z), on utilise la formule de Varignon (BABAR) en A pour exprimer la vitesse en I
• Bricoler mathématiquement pour obtenir le résultat recherché
Roues de friction
#»y0
#»x0
θ10
#»y0
#»x0 θ20
R1
R2
0
1 2
A B I x
Roues de friction Énoncé
On appelle transmission par roues de friction un mécanisme constitué de deux roues roulant sans glisser l’une sur l’autre.
La condition de non glissement (d’adhérence) en I entre les solides 1 et2, se traduit par #»
V(I,2/1)= #»
0 .
Q - 1:Déterminer le rapport de réduction ω20
ω10 = θ˙20 θ˙10.
Roues de friction Résolution
Résolution
• Construire le graphe des liaisons où, pour les contacts avec roulement sans glissement, on indique RSG(I), si I est le point de contact :
0
1 2
Pivot(A,#»z0)
RSG(I)
Pivot(B,#»z0)
= (I,2/1)
• A partir du graphe des liaisons, faire la composition des vitesses de chacun des RSG sans passer par un autre RSG (sinon c’est pénible de faire BABAR)
#»0 =#»
V(I,2/1)=#»
V(I,2/0)+#» V(I,0/1)
Roues de friction Résolution
Résolution
• Construire le graphe des liaisons où, pour les contacts avec roulement sans glissement, on indique RSG(I), si I est le point de contact :
0
1 2
Pivot(A,#»z0)
RSG(I)
Pivot(B,#»z0)
• Traduire le(s) roulement(s) sans glissement :#» 0 =#»
V(I,2/1)
• A partir du graphe des liaisons, faire la composition des vitesses de chacun des RSG sans passer par un autre RSG (sinon c’est pénible de faire BABAR)
#»0 =#»
V(I,2/1)=#»
V(I,2/0)+#» V(I,0/1)
Roues de friction Résolution
Résolution
• Construire le graphe des liaisons où, pour les contacts avec roulement sans glissement, on indique RSG(I), si I est le point de contact :
0
1 2
Pivot(A,#»z0)
RSG(I)
Pivot(B,#»z0)
• Traduire le(s) roulement(s) sans glissement :#»
0 =#»
V(I,2/1)
RSG sans passer par un autre RSG (sinon c’est pénible de faire BABAR)
#»0 =#»
V(I,2/1)=#»
V(I,2/0)+#» V(I,0/1)
Roues de friction Résolution
Résolution
• Construire le graphe des liaisons où, pour les contacts avec roulement sans glissement, on indique RSG(I), si I est le point de contact :
0
1 2
Pivot(A,#»z0)
RSG(I)
Pivot(B,#»z0)
• Traduire le(s) roulement(s) sans glissement :#»
0 =#»
V(I,2/1)
• A partir du graphe des liaisons, faire la composition des vitesses de chacun des RSG sans passer par un autre RSG (sinon c’est pénible de faire BABAR)
#»0 =#»
V(I,2/1)=#»
V(I,2/0)+#»
V(I,0/1)
Roues de friction Résolution
Résolution
• Exprimer chacune des vitesses de la composition en allant chercher les vitesses connues pour chacun des mouvements :
#»0 = #»
V(I,2/0)+#» V(I,0/1)
=
V#»
(B,2/0)+#» IB∧#»
Ω(2/0)+ V#»
(A,0/1)+#» IA∧#»
Ω(0/1)
= R2.#»y0∧ω20.#»z0−R1.#»y0∧(−ω10.#»z0)
= (R2.ω20+R1.ω10).#»x0
⇒ 0 = R2.ω20+R1.ω10
ω20
ω10
=−R1
R2
WDI !
Roues de friction Résolution
Résolution
• Exprimer chacune des vitesses de la composition en allant chercher les vitesses connues pour chacun des mouvements :
#»0 = #»
V(I,2/0)+#»
V(I,0/1)
=
V#»
(B,2/0)+#»
IB∧#»
Ω(2/0)+ V#»
(A,0/1)+#»
IA∧#»
Ω(0/1)
= R2.#»y0∧ω20.#»z0−R1.#»y0∧(−ω10.#»z0)
= (R2.ω20+R1.ω10).#»x0
⇒ 0 = R2.ω20+R1.ω10
• Bricoler mathématiquement pour obtenir le résultat recherché: ω20
ω10
=−R1
R2
WDI !
Roues de friction Résolution
Résolution
• Exprimer chacune des vitesses de la composition en allant chercher les vitesses connues pour chacun des mouvements :
#»0 = #»
V(I,2/0)+#»
V(I,0/1)
=
V#»
(B,2/0)+#»
IB∧#»
Ω(2/0)+ V#»
(A,0/1)+#»
IA∧#»
Ω(0/1)
= R2.#»y0∧ω20.#»z0−R1.#»y0∧(−ω10.#»z0)
= (R2.ω20+R1.ω10).#»x0
⇒ 0 = R2.ω20+R1.ω10
ω20
ω10
=−R1
R2
WDI !
Roues de friction Résolution
Résolution
• Exprimer chacune des vitesses de la composition en allant chercher les vitesses connues pour chacun des mouvements :
#»0 = #»
V(I,2/0)+#»
V(I,0/1)
=
V#»
(B,2/0)+#»
IB∧#»
Ω(2/0)+ V#»
(A,0/1)+#»
IA∧#»
Ω(0/1)
= R2.#»y0∧ω20.#»z0−R1.#»y0∧(−ω10.#»z0)
= (R2.ω20+R1.ω10).#»x0
⇒ 0 = R2.ω20+R1.ω10
• Bricoler mathématiquement pour obtenir le résultat recherché:
ω20
ω10
=−R1
R2
WDI !
Roues de friction Résolution
Résolution
• Exprimer chacune des vitesses de la composition en allant chercher les vitesses connues pour chacun des mouvements :
#»0 = #»
V(I,2/0)+#»
V(I,0/1)
=
V#»
(B,2/0)+#»
IB∧#»
Ω(2/0)+ V#»
(A,0/1)+#»
IA∧#»
Ω(0/1)
= R2.#»y0∧ω20.#»z0−R1.#»y0∧(−ω10.#»z0)
= (R2.ω20+R1.ω10).#»x0
⇒ 0 = R2.ω20+R1.ω10
• Bricoler mathématiquement pour obtenir le résultat recherché:
ω10 R2
Roues de friction Résolution
Résolution
• Exprimer chacune des vitesses de la composition en allant chercher les vitesses connues pour chacun des mouvements :
#»0 = #»
V(I,2/0)+#»
V(I,0/1)
=
V#»
(B,2/0)+#»
IB∧#»
Ω(2/0)+ V#»
(A,0/1)+#»
IA∧#»
Ω(0/1)
= R2.#»y0∧ω20.#»z0−R1.#»y0∧(−ω10.#»z0)
= (R2.ω20+R1.ω10).#»x0
⇒ 0 = R2.ω20+R1.ω10
• Bricoler mathématiquement pour obtenir le résultat recherché:
ω20
ω10
=−R1
R2
WDI !
Résolution
• Exprimer chacune des vitesses de la composition en allant chercher les vitesses connues pour chacun des mouvements :
#»0 = #»
V(I,2/0)+#»
V(I,0/1)
=
V#»
(B,2/0)+#»
IB∧#»
Ω(2/0)+ V#»
(A,0/1)+#»
IA∧#»
Ω(0/1)
= R2.#»y0∧ω20.#»z0−R1.#»y0∧(−ω10.#»z0)
= (R2.ω20+R1.ω10).#»x0
⇒ 0 = R2.ω20+R1.ω10
• Bricoler mathématiquement pour obtenir le résultat recherché:
ω20
ω10
=−R1
R2 WDI !
Roues de friction Résolution
Conclusion
• Le rapport des vitesses de rotations est l’opposé de l’inverse des rapports des rayons.
• Le contact étant extérieur, les roues tournent dans des sens opposés.
• Si en I on déroule un fil enroulé autour de 1 et un autre enroulé autour de 2, on constate que 2 doit faire plus de tour pour fournir la même longueur de fil.
Contact pignon/couronne
#»y0
#»x0 θ10
#»y0
#»x0 θ20
R1
R2
0
1 2
A B I x
Roues de friction Résolution
Conclusions
Dans le cas pignon/couronne, les solides 1 et 2 tournent dans le même sens.
Le rapport de réduction est le même en valeur absolue et ne dépend que des rayons.
On peut alors généraliser la relation en tenant compte du contact pour le signe. C’est ce qui sera fait avec l’étude des trains simples
Pour réaliser, la condition de roulement sans glissement, il faut appli- quer une importante force de contact entre les deux pièces. Pour palier ce problème, on utilise un entraînement par obstacle.
Vous pouvez lire lecours sur les engrenagespour comprendre.
Roues de friction Résolution
Conclusions
Dans le cas pignon/couronne, les solides 1 et 2 tournent dans le même sens.
Le rapport de réduction est le même en valeur absolue et ne dépend que des rayons.
le signe. C’est ce qui sera fait avec l’étude des trains simples
Pour réaliser, la condition de roulement sans glissement, il faut appli- quer une importante force de contact entre les deux pièces. Pour palier ce problème, on utilise un entraînement par obstacle.
Vous pouvez lire lecours sur les engrenagespour comprendre.
Roues de friction Résolution
Conclusions
Dans le cas pignon/couronne, les solides 1 et 2 tournent dans le même sens.
Le rapport de réduction est le même en valeur absolue et ne dépend que des rayons.
On peut alors généraliser la relation en tenant compte du contact pour le signe. C’est ce qui sera fait avec l’étude des trains simples
Pour réaliser, la condition de roulement sans glissement, il faut appli- quer une importante force de contact entre les deux pièces. Pour palier ce problème, on utilise un entraînement par obstacle.
Vous pouvez lire lecours sur les engrenagespour comprendre.
Roues de friction Résolution
Conclusions
Dans le cas pignon/couronne, les solides 1 et 2 tournent dans le même sens.
Le rapport de réduction est le même en valeur absolue et ne dépend que des rayons.
On peut alors généraliser la relation en tenant compte du contact pour le signe. C’est ce qui sera fait avec l’étude des trains simples
Pour réaliser, la condition de roulement sans glissement, il faut appli- quer une importante force de contact entre les deux pièces. Pour palier ce problème, on utilise un entraînement par obstacle.
Roues de friction Résolution
Conclusions
Dans le cas pignon/couronne, les solides 1 et 2 tournent dans le même sens.
Le rapport de réduction est le même en valeur absolue et ne dépend que des rayons.
On peut alors généraliser la relation en tenant compte du contact pour le signe. C’est ce qui sera fait avec l’étude des trains simples
Pour réaliser, la condition de roulement sans glissement, il faut appli- quer une importante force de contact entre les deux pièces. Pour palier ce problème, on utilise un entraînement par obstacle.
Vous pouvez lire lecours sur les engrenagespour comprendre.
Les trains simples
On appelle trains simples une succession de roues de friction (ou engrenages) pour laquelle tous les axes de rotations des pièces sont contenus dans le plan de référence.
2 3
1 2a 4
2b
0
0
Les trains simples
EXEMPLE:Dans le cas du schéma cinématique précédent:
D’après l’étude cinématique des roues de frictions, on remarquera qu’un contact extérieur inverse le sens de rotation, alors qu’avec un contact intérieur, le sens est conservé.
Par conséquent, la raison d’un train d’engrenage sera donnée par la formule :
ωsortie
ωentrée = (−1)n.
YDmenantes YDmenées
= (−1)n.
YRmenantes YRmenées
= (−1)n.
YZmenantes YZmenées avecnnombre de contacts extérieurs
ω40
ω10
= (−1)2.Z1
Z2b.Z2a
Z3.Z3
Z4 =Z1.Z2a
Z2b.Z4
Les trains épicycloïdaux
Unpignonqui tourneautour d’un axe en mouvementdans le repère lié au bâti est appelésatellite. Le satellite est le premier élément qu’il faut repérer quand on étudie un train épicycloïdal. Lorsqu’on a déterminé le satellite, on peut rechercher les trois "entrées" du train :
• leporte satelliteest en liaison pivot avec le(s) satellite(s). Il porte le(s) satellite(s).
• lesdeux planétairessont encontact avec les dentures du satellite.
Les planétaires tournent autour d’axes fixes dans le repère de l’observateur et engrènent avec le satellite. Les planétaires peuvent être des pignons ou des couronnes dentées intérieures.
Les trains épicycloïdaux
O1 O3
A B
I
J
1
0 0
3 4
2
Pour ce train épicyloïdal:
• satellite: pièce2
• porte satellite: pièce4
• planétaires: pièces1et3. Il s’agit ici de deux pignons.
Les roulements sans glissement de ce trains épicycloïdal se traduisent par:
V#»(I,2/1)= #»
0 et #»
V(J,2/3)= #»
0
Les trains épicycloïdaux
−
→x0
−
→y0
−
→z1 −→ z0
−
→x1
−
→y1
θ10 θ10
−
→x0
−
→y0
−
→z3 −→ z0
−
→x3
−
→y3
θ30 θ30
−
→x0
−
→y0
−
→z4 −→ z0
−
→x4
−
→y4
θ40 θ40
et
ω10 = dθ10 dt ω30 = dθ30
dt ω40 = dθ40
dt
Un train épicycloïdal est un système à deux degrés de mobilités. Il convient de fixer deux paramètres pour déterminer toutes les incon- nues cinématiques du problème. La formule de Willis permet de relier les vitesses de rotation du porte satellite et des deux planétaires.
La technique la plus simple consiste à se ramener à l’étude d’un train à axes de position relative invariable dans le même repère (trains simples).
Les trains épicycloïdaux
O1x xA
Ix Jx #»y0
#»x0
#»y4
R1 R3 R2a
R2b
O1x xA
Ix Jx
#»y0
#»x0
#»y4
#»x4
#»y2
#»y1
#»y3 θ24
θ14 θ34
Les trains épicycloïdaux
Q - 1 :En se ramenant à un train simple dans le repère lié au porte-satellite, déterminer ω34
ω14.
Q - 2 : Traduire les deux roulements sans glissement pour re- trouver la relation précédente.
Q - 3 : En introduisant le bâti (0), déterminer la relation entre ω10,ω30 etω40.
Hackage des questions
Pour un observateur lié au porte-satellite4, le train est un train simple, dans lequel la roue1entraîne la roue2a. La roue2b entraîne, quant à elle, la roue3. Dans ce train simple:
ω34
ω14 = (−1)2.R1.R2b
R2a.R3 =λ
On utilise alors la composition des vitesses ωi/k = ωi/j +ωj/k pour in- troduire les vecteurs vitesses de rotation par rapport au bâti:
ω34
ω14 = ω30−ω40
ω10−ω40 =λ d’où la loi entrée-sortie (relation de Willis) :
λ ωPL −ωPS n . ZPL
.ZSAT
ω λ.ω + (λ 1).ω
Les trains épicycloïdaux
RSG traité normalement
On peut retrouver ce résultat à partir des roulements sans glissements.
#»0 = #»
V(I,2/1) = #»
V(I,2/4)+ #»
V(I,4/1)
=
#»
V(A,2/4)+#»
IA∧#»
Ω(2/4)+
#»
V(O1,4/1)+# » IO1∧#»
Ω(4/1)
= R2a.#»y4∧ω24.#»z4+R1.#»y4∧ω14.#»z4
= (R2a.ω24+R1.ω14).#»x4
⇒ ω24
ω14 =− R1 R2a
Les trains épicycloïdaux
#»0 = #»
V(J,2/3) = #»
V(J,2/4)− #»
V(J,3/4)
=
#»
V(B,2/4)+# » JB∧#»
Ω(2/4)−
#»
V(O3,3/4)+# » JO3∧#»
Ω(3/4)
= R2b.#»y4∧ω24.#»z4+R3.#»y4∧ω34.#»z4 0 = (R2b.ω24+R3.ω34).#»x4
⇒ ω24 ω34
=− R3 R2b
ω34
ω14 = ω34
ω24.ω24
ω14 = (−1)2.R1.R2b
R2a.R3 =λ
Les trains épicycloïdaux
#»0 = #»
V(J,2/3) = #»
V(J,2/4)− #»
V(J,3/4)
=
#»
V(B,2/4)+# » JB∧#»
Ω(2/4)−
#»
V(O3,3/4)+# » JO3∧#»
Ω(3/4)
= R2b.#»y4∧ω24.#»z4+R3.#»y4∧ω34.#»z4 0 = (R2b.ω24+R3.ω34).#»x4
⇒ ω24 ω34
=− R3 R2b
On retrouve donc le résultat précédent :
ω34
ω14 = ω34
ω24.ω24
ω14 = (−1)2.R1.R2b
R2a.R3 =λ
#»0 = #»
V(J,2/3) = #»
V(J,2/4)− #»
V(J,3/4)
=
#»
V(B,2/4)+# » JB∧#»
Ω(2/4)−
#»
V(O3,3/4)+# » JO3∧#»
Ω(3/4)
= R2b.#»y4∧ω24.#»z4+R3.#»y4∧ω34.#»z4 0 = (R2b.ω24+R3.ω34).#»x4
⇒ ω24 ω34
=− R3 R2b
On retrouve donc le résultat précédent : ω34
= ω34.ω24
= (−1)2.R1.R2b
=λ
Variateur à bille Description du mécanisme
Variateur à bille
Le dessin technique ci-dessous représente un élément d’une chaîne d’énergie assurant la fonction transformer. Il s’agit, dans ce cas, de transformer le mouvement du flux de puissance. Ce composant est appelé un variateur à billes car la transformation du mouvement est réglable (réglage manuel).
La transmission de puissance étant assurée par le frottement aux contacts des billes, il peut, de manière exceptionnelle, réaliser une fonction de limiteur de couple.
Sa structure est constituée par :
• un bâti (ou carter) (1)
• un arbre moteur muni d’un plateau (2)
• un arbre récepteur muni d’un plateau (3)
• un support réglable (6)
• une cage a billes (4) guidée en rotation par rapport au support par le roulement (7)
• une série de 12 billes (5) en liaison rotule avec la cage.
Variateur à bille Description du mécanisme
La transmission du mouvement de l’arbre moteur à l’arbre récepteur est assurée par les billes (5) qui roulent sans glisser sur les plateaux lies aux arbres. Les billes sont guidées dans leur mouvement par une cage, elle-même guidée dans le support (6). Ce support est réglable en hauteur. Ce qui permet de modifier la vitesse de rotation de l’arbre récepteur.
Variateur à bille Modélisation
0
0 1
2 4
C
#»z
#»x O1
O2
O I2 I1
C
#»z
#»y O2
O1
#»y3
#»z3 3
# »
O1O2 = h.#»z = # »
# » Cte
O1O = λ.#»z
# »
OC = R.#»y3 Ω#»(1/0) = ω10.#»x Ω#»(2/0) = ω20.#»x Ω#»(3/0) = ω30.#»x
Rayon de la bille4=r On note # »
O1O=λ.#»z.
Variateur à bille Modélisation
Le mécanisme a pour entrée un arbre 1 en liaison pivot (O1,#»x) avec un bâti 0. Cet arbre est muni d’un plateau en contact avec les billes d’une butée à billes centrée en O. L’arbre de sortie 2, lui-même muni d’un plateau, en liaison pivot (O2,#»x) par rapport à 0, est aussi en contact avec les billes de la butée3.
Lors du mouvement des arbres, les billes ont un mouvement satellitaire par rapport à l’axe (O,#»x). Ce mouvement est imposé par la cage 3 qui contraint le centreC de chaque bille à une trajectoire circulaire de centre O dans le plan (O,#»y,#»z). Cette cage3 peut être déplacée sui- vant l’axe (O,#»z) et permet de ce fait le réglage du rapport de vitesse entrée/sortie.
Q - 1 :Traduire le non-glissement aux points de contact I1et I2. Q - 2 :Déterminer le rapport de vitesse k = ω2/0
ω1/0 en fonction du paramètre de réglage k .
APPLICATION NUMÉRIQUE:
h= 25 mm ;r = 6 mm ;R= 27 mm et 0≤λ≤13,6 mm .
Q - 3:Déterminer kmin et kmax. En déduire l’utilité d’un tel varia- teur.
Variateur à bille Modélisation
0
0 1
2 4
C
#»z
#»x O1
O2 O
I2
I1
C
#»z
#»y O2
O1
#»y3
#»z3 3
Variateur à bille Modélisation
Graphe des liaisons
0
1 3 2
Pivot(O1,#»x) Pivot(O2,#»x) Pivot (O,#» x)
RSG(
I1) RSG( I2
)
Rotule(C)
Variateur à bille Modélisation
Graphe des liaisons
0
1 3 2
4
Pivot(O1,#»x) Pivot(O2,#»x) Pivot (O,#» x)
RSG(
I1) RSG( I2
)
Rotule(C)
Variateur à bille Modélisation
Graphe des liaisons
0 1
2 3
Pivot(O1,#»x) Pivot(O2,#»x) Pivot (O,#» x)
RSG(
I1) RSG( I2
)
Rotule(C)
Variateur à bille Modélisation
Graphe des liaisons
0
1 2
3 4
Pivot(O1,#»x) Pivot(O2,#»x) Pivot (O,#» x)
RSG(
I1) RSG( I2
)
Rotule(C)
Variateur à bille Modélisation
Graphe des liaisons
0
1 3 2
Pivot(O1,#»x) Pivot(O2,#»x) Pivot (O,#» x)
RSG(
I1) RSG( I2
)
Rotule(C)
Variateur à bille Modélisation
Graphe des liaisons
0
1 3 2
4
Pivot(O1,#»x) Pivot(O2,#»x) Pivot (O,#» x)
RSG(
I1) RSG( I2
)
Rotule(C)
Variateur à bille Modélisation
Graphe des liaisons
0
1 3 2
4
Pivot(O1,#»x) Pivot(O2,#»x) Pivot (O,#» x)
RSG( I2
)
Rotule
Variateur à bille Modélisation
Graphe des liaisons
0
1 3 2
4
Pivot(O1,#»x) Pivot(O2,#»x) Pivot (O,#» x)
RSG(
I1) RSG(
I2 )
Rotule(C)
Variateur à bille Modélisation
Roulements sans glissement
#»0=#»V(I1,4/1)
2
#»0 = V#»(I1,4/1)=V#»(I1,4/3)+V#»(I1,3/0)+V#»(I1,0/1)
=
V#»(C,4/3)+I# »
1C∧Ω#»(4/3)+
V#»(O,4/3)+I# »1O∧Ω#»(3/0)+
V#»(O
1,0/1)+I# »1O1∧Ω#»(0/1)
= I# »1C∧#»Ω(4/3)+I# »1O∧#»Ω(3/0)+I# »1O1∧#»Ω(0/1) (1)
#»0 = V#»(I2,4/2)=V#»(I2,4/3)+V#»(I2,3/0)+V#»(I2,0/2)
=
V#»(C,4/3)+I# »
2C∧Ω#»(4/3)+
V#»(O,4/3)+I# »2O∧Ω#»(3/0)+ V#»(O
2,0/2)+# » I2O2∧Ω#»(0/2)
= I# »2C∧#»Ω(4/3)+I# »2O∧#»Ω(3/0)+I# »2O2∧#»Ω(0/2) (2)
La rotation de 4 par rapport à 3 comprend 3 composantes. ÉliminonsΩ#»(4/3)puisqueI# »1C+I# »2C= r.#»x −r.#»x =#»0 :
#»0=# » I1O+# »
I2O
∧#»Ω(3/0)+# »
I1O1∧#»Ω(0/1)+# » I2O2∧#»Ω(0/2)
