Roue de vélo sur le sol - Corrigé

Roue de vélo sur le sol - Corrigé

Q.1.

S0

xr1

I λ

α

x0

r yr0

x2 2 r

yr

yr1

S₁

S2

R

O

A

x1

α r x0

r y0

r

x2 2 r

yr

yr1

xr1

y1

r

z0

r

z1

r λ

Q.2. V 0

0 2/S S , I

=r

Q.3. V 0

0 2/S S , I

=r

Nature du mouvement de 2/0 ? : Mouvement complexe.

→ On décompose en mouvements simples.

2/0 = 2/1 + 1/0

0 1 1 2 0

2/S I,S/R I,S /R S

,

I V V

V = +

Trajectoire du point I∈2/0 (si RSG)

Nature du mouvement de 2/1? : Rotation autour de l’axe (A,z1

r )

1 2/R S ,

VI =

1 2 1

2/R S /R

S ,

A IA

V + ∧Ω

Champ des vitesses

avec V 0

1 1/R S , A

=r et

0 0

1 R /

S R.y .z R. .x

IA 2 1

& v

& r

r ∧α = α

= Ω

∧

→ V_{I,S /R} R. .x₀

1 2

& v α

=

Nature du mouvement de 1/0 ? : Translation rectiligne suivant (O,x0

r )

0 1/R S ,

VI =

0 1/R S ,

VA =

0

dtOA d Champ des vitesses

Le point est géométriquement bien défini on peut utiliser le calcul direct

0 0 0 0

x . x dt . OA d dt

d r & r

λ

= λ

=

→ V_{I,S /R} .x₀

0 1

&r λ

=

→ V_{I,S /S} V_{I,S /R} V_{I,S /R} (R. ).x₀ 0

0 1 1 2 0 2

v r

&

&+λ =

α

= +

= → R.α& +λ& =0

Q.5. 50 km/h → 13,4 3600 50000

=

=

λ& m/s → 39,7

35 , 0

4 , 13

R =− =−

−λ

=

α &

& rd/s

roue pedalier pedalier Z

=Z θ

α

&

&

→ .39,7 10,9

51 . 14 Z

Z

pedalier roue

pedalier = α=− =

θ& & rd/s

→ _pedalier .N_pedalier 60

. 2π

=

θ& soit .10,9 104

. 2

N_pedalier 60 =

= π tr/min (impressionnant n’est-ce pas ? ^^)

Manège de fête foraine : « La chenille » améliorée - Corrigé

Q.1.

{ }







= α











Ω

= 0

z . V

0 0 0

/ 1 , 0

0 / 1 0 0 /

1 r

& r

V

{ }









= λ











Ω

=

A 0 1 / 2 , A

1 / 2 A 1 /

2 (t).z

0

V & r

r

V

{ }







θ

=









Ω

= 0

x . V

1 2 A

/ 4 , A

2 / 4 A 2 /

4 r

& r

V

Q.2. V_I,4/2 V_A,4/2 IA _4/2 R.n .x₁ R. .rt

&

& r

r∧θ = θ

= Ω

∧ +

=

γ y1

r

0

1 z

z r

r =

nr

t r

w xr₁ r

=

Q.3. VI,2/0 VI,2/1 VI,1/0 (t).z0 R. .sin .x1 L. .yr1

&

& r

& r − α γ + α

λ

= +

=

0 1

/ 2 , A 1 / 2 ,

I V (t).z

V = =λ& r

1 1

1 1 0 0

/ 1 0

/ 1 , O 0 / 1 ,

I V IO (R.n (t).z L.x ) .z R. .sin .x L. .y

V r

&

& r

& r r r r

α + γ α

−

= α

∧

− λ

−

= Ω

∧ +

=

Q.4. VI,4/0 VI,4/2 VI,2/0 R. .t (t).z0 R. .sin .x1 L. .yr1

&

& r

& r

& r+λ − α γ + α

θ

= +

=

Q.5. Condition de non décollement : V_I,4/0.nr=0

Q.6. V_I,4/0.n=(R.θ.t+λ(t).z₀−R.α.sinγ.x₁+L.α.yr₁).nr=λ&(t).cosγ−L.α&.sinγ

&

& r

& r

& r

r → λ&(t)=L.α&.tanγ

Q.7. Pas de RSG possible ici → il ne faut pas gravir de pente et il y aurait du roulement sans glissement si le profil de piste était plat.

Q.8. Si RSG : V_I,4/0 0 V_I,4/2 V_I,2/0 R. .y₁ L. .yr₁

&

& r

r= + = θ + α

= → L.α& =−R.θ&

Q.9. La trajectoire du point A correspond dans ce cas au profil de la piste. V_I,2/0.zr₀ =λ&(t)=−z₀.α&.sinα

Etude des performances cinématiques en virage d’une Formule 1 - Corrigé

Q.1. Etablir les figures géométrales utiles.

β y0

r

x0

r z0

r = zr

xr yr

ψj

yr

xr zr

urj

vrj

j = 1 ou 2

θi

qi

r

vri

zr

uri

i = 1 ou 2 pri

θi

qri

pri

zr

yr xr

=ur_i

i = 3 ou 4 Q.2. RSG en I1 :

0 1 1 1 0

1

1,S /R I,S /S I ,S/R

I 0 V V

V =r= +

Q.3.

{ }













= β

=

= Ω

0 V

z .

0 0 0

R / S , I

R / S I R /

S r

& r

V

avec I = IS/R0 et

0 0

1

0 I ,S/R 1 S/R

R / S ,

I 0 V II

V =r= + ∧Ω

Q.4.

{ }













= θ + ψ

=

= Ω

0 V

u . z .

S / S , A

1 1 1 S / S A S / S

1 1 1

1

1 r

& r

& r

V

_{avec A ,S /S I,S /S 11 S /S}

1 1

1 1

1 0 V AI

V =r= + ∧Ω

Q.5. Questions 4 et 5 :

0 0

1

0 I,S/R 1 S/R

R / S ,

I 0 V II

V =r= + ∧Ω

→VI1,S/R0 =I1I∧ΩS/R0

et _{A ,S /S I ,S /S 11 S /S}

1 1

1 1

1 0 V AI

V =r= + ∧Ω

→ _{I ,S /S 1 1 S /S}

1 1

1 IA

V = ∧Ω

Question 3 :

0 1 1 1 0

1

1,S /R I,S /S I,S/R

I 0 V V

V =r= +

→IA II 0

0

1/S 1 S/R

S 1 1

=r Ω

∧ + Ω

∧

→IA ( ) (IA AI) 0

0 0

0

1/R R /S 1 1 1 S/R

S 1 1

=r Ω

∧ + + Ω + Ω

∧

→ 0 r

car

0

0/S S/R

R =−Ω

Ω

→ IA IA IA AI 0

0 0

0 0

1/R 1 1 R /S 1 1 S/R 1 S/R

S 1 1

=r Ω

∧ + Ω

∧ + Ω

∧ + Ω

∧

→ _S/R IA_{1 S /R} A₁I₁ 0

0 1 0

=r

∧ Ω +

∧ Ω

Q.6. On a IA₁ a.ur₁ b.vr₁ c.zr + +

= ; .z

R0

/ S

& r β

=

Ω ; A₁I₁ R.zr

−

= et _{S /R S /S S/R} ( ₁).z ₁.u₁

0 1

0 1

& r

& r

&+ψ +θ

β

= Ω + Ω

= Ω

→ .z a.u₁ b.v₁ c.z R.z (( ₁).rz &₁.ur₁)

&

&

r r r r

&r∧ + + =− ∧ β+ψ +θ

β

→ a.β&.vr₁−b.β&.ur₁ =−R.θ&₁.vr₁

Par identification on a nécessairement

β

− θ

= &

&

. 1

a R et b = 0 pour que la relation soit respectée.

Q.7. On a l'axe (D1) de la roue (S1) qui est porté par l’axe ur₁ . Le problème est plan → c = 0 donc IA₁ a.ur₁

= → le point I est donc sur l’axe ur₁ . En généralisant on a l'axe (Di) de la roue (Si) passe par le CIR I.

Q.8.

{ }













= β

=

= Ω

0 V

z .

0 0 0

R / S , I

R / S I R /

S r

&r

V

_{V V CI .x .z . .y V.y}

0 0

0 I,S/R S/R

R / S , C

r

& r

& r

r∧β =ρβ =

ρ

−

= Ω

∧ +

= → V=ρ.β&

Q.9. En appliquant le champ des vitesses on retrouve : y . ).

d ( z . x ).

d ( I

A V

VA3,S/R0 I,S/R0 3 S/R0

&r

& r

r∧β = ρ+ β

+ ρ

−

= Ω

∧ +

= RSG en I3 :

0 3 3 3 0

3

3,S /R I ,S /S I ,S/R

I 0 V V

V =r= +

= 0 r

(vecteurs portés par zr

= 0 ) r

→ V IA V A I 0

0 0

3 3 3

3,S /S 3 3 S /S A ,S/R 33 S/R

A

=r Ω

∧ + +

Ω

∧ +

→ R.z ₃.u₃ ( d). .y 0 r r

&

& r

r∧θ + ρ+ β = → R.θ&₃ =−(ρ+d).β&

→ ρ

+

− ρ

=

θ V

R . ) d (

3

&

C A4

A3

A1

A2

S I = IS/R0

De même on obtient :

ρ

−

− ρ

=

θ V

R . ) d (

4

& Les deux roues arrière ne tournent pas à la même vitesse.

Q.10. Comme les 2 roues arrière ne tournent pas à la même vitesse angulaire, il faut que les 2 essieux de ces roues soient indépendants. De plus ici ce sont les roues arrières qui sont motrices → uNlisaNon d’un différentiel.

Q.11. On a V=ρ.β&= 90 km/h soit 2 cm sur le schéma en C. En appliquant simplement le champ des vitesses on en déduit ensuite les vecteurs vitesse recherchés.

Modèle

yr0

x0

r

C A4

A3

A1

A2

IS/R0

S O

On constate que les roues avant ne tournent pas à la même vitesse. Il faut donc que les 2 essieux de ces roues soient indépendants.

Roulement à billes - Corrigé

θ1

xr1

y1

r

x0

r y0

r

z1

r = zr₀

θ2

x2

r yr2

x0

r yr0

z0

r = zr₂

θ3

x3

r y3

r

xr0

y0

r

z0

r = zr₃

θ4

xr4

yr4

x0

r y0

r

z0

r = zr₄

0 1 0 / 1 =θ& .zr

Ω Ω_2/0=θ&₂.zr₀ Ω_3/0=θ&₃.zr₀ Ω_4/0=θ&₄.zr₀

Q.1.

{ }











Ω

=









Ω

=

0 / 1 , I

0 / 1 0 I

/ 1 , O

0 / 1 O 0 /

1 V V

V

_{avec :}

0 1 0 / 1 =θ& .zr Ω

0 V_O,1/0

=r

j . . r z . i . r IO

V

V_{I,1/0 O,1/0 1/0 1 1 0 1 1}

& r

& r

r∧θ = θ

−

= Ω

∧ +

=

→ V_I,1/0 r₁. ₁.j ω r

= (ω_k =θ&_k (k=1,2,3,4))

{ }











Ω

=









Ω

=

0 / 2 , J

0 / 2 0 J

/ 2 , O

0 / 2 O 0 /

2 V V

V

_{avec :}

0 2 0 / 2 =θ& .zr Ω

0 V_O,2/0

=r

j . . r z . i . r JO

V

V_{J,2/0 O,2/0 2/0 2 2 0 2 2}

& r

& r

r∧θ = θ

−

= Ω

∧ +

=

→ V_J,2/0 r₂. ₂.j ω r

= (ω_k=θ&_k (k=1,2,3,4))

Q.2. RSG en I et J : V_{I 3/1} 0

=r

∈ et V_{J 3/2} 0

=r

∈ 0

/ 1 I 1 / 3 I 0 / 3

I V V

V_∈ = _∈ + _∈ (composition de mouvement) → V_I∈3/0=V_I∈1/0 r₁. ₁.j ω r

=

0 / 2 J 2 / 3 J 0 / 3

J V V

V_∈ = _∈ + _∈ (composition de mouvement) → V_J∈3/0=V_J∈2/0 r₂. ₂.j ω r

= Q.3. V_I,3/0 =V_J,3/0+IJ∧Ω_3/0 (champ des vitesses)

→ r₁. ₁.rj r₂. ₂.rj (r₂ r₁).ri ₃.zr₀ ω

∧

− + ω

=

ω → r₁. ₁.j r₂. ₂.j (r₂ r₁). ₃.j r r

r= ω − − ω

ω →

1 2

1 1 2 2

3 r r

. r . r

− ω

−

= ω ω

Q.4. V_G,3/0=V_I,3/0+GI∧Ω_3/0 (champ des vitesses)

→ ₀

1 2

1 1 2 2 1 2 1 1 0 / 3 ,

G .z

r r

. r . i r 2 .

r j r . . r

V r r r

− ω

−

∧ ω

− − ω

= .j

2 . r . j r . .

r_{1 1} ^{2 2 1 1}

r

r+ ω − ω

ω

= → .j

2 . r .

V_G,3/0 r^{2 2 1 1} ω r +

= ω

Q.5. V_C,3/4 =V_G,3/4+CG∧Ω_3/4

On considère que la bille est en liaison pivot d’axe (G,zr₀

) avec la cage 4 → V_G,3/4 0

=r

Avec .(r r).j 2

CG 1 _{2 1}

− r

−

= et _{3/4 3/0 4/0 3}.zr_{0 4}.rz₀ ω

− ω

= Ω

− Ω

=

Ω et

1 2

1 1 2 2

3 r r

. r . r

− ω

−

= ω

ω (Q.3.)

Calcul de ω₄ ^{: V}G,3/4 ^VG,3/0 ^VG,4/0 ⁰

=r

−

= (composition de mouvement) avec .j

2 . r .

V_G,3/0 r^{2 2 1 1} ω r +

= ω (Q.4.)

→ . .j

2 r z r

. i 2 .

r r r

GO V

V_{G,4/0 O,4/0 4/0 1} ^{2 1} _{4 0} ^{2 1} ₄ r r

r∧ω = + ω



 



 + −

−

= Ω

∧ +

=

→ . .j 0

2 r j r 2 .

. r .

V_G,3/4 r^{2 2 1 1 2 1} ₄ r r

r− + ω =

ω +

= ω →

1 2

1 1 2 2

4 r r

. r . r

+ ω +

= ω ω

→ ₀

1 2

1 1 2 2 0 1 2

1 1 2 2 0 / 4 0 / 3 4 /

3 .z

r r

. r . z r r . r

. r .

r r r

+ ω +

− ω

− ω

−

= ω Ω

− Ω

= Ω

D’où :

( )

_









+ ω +

− ω

− ω

−

∧ ω

−

−

= ₀

1 2

1 1 2 2 0 1 2

1 1 2 2 1

2 4

/ 3 ,

C .z

r r

. r . z r r . r

. r . j r . r r 2.

V 1 r r r

→

( )

^.i

r r

. r . r r r

. r . . r r r 2. V 1

1 2

1 1 2 2 1

2 1 1 2 2 1 2 4

/ 3 , C

r









+ ω +

− ω

− ω

−

− ω

−

=

→

( )( ) ( )( )

_.i

r r

r r . . r . r r . r . . r . . r 2 V 1

1 2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 4

/ 3 , C

r +

− ω + ω

− + ω

−

− ω

= → .i

r r

).

.(

r . V r

1 2

2 1 1 2 4 / 3 , C

r +

ω

−

= ω