NOM, PRENOM : ...
NUMERO°: ... Examen de mécanique rationnelle 2 2
ièmesession 26/08/2008 (8h-12h)
Répondre sur le questionnaire et ne dégrafer que les brouillons
e
d R F
dt =
∑
e,
A G A A
d M mv v m
dt = × + avec MA =MB+AB R× ou MA=mAG v× A+IA.ω
( )
2 1
. avec . . .
2 2
A
h h A A
mv
d T F v T mv AG I
dt =
∑
= + ω× + ω ω1
et avec .
p j h
i j i h
i i j i h i
d T T
L T V Q Q F
dt q q q q
φ ϕ
λ
=
∂ ∂
∂ ∂
= − − = + =
∂& ∂
∑
∂∑
∂Question 1 : questions rapides (5 points)
Deux roues cylindrique et homogène de rayon R, de masse m1 et m2 roulent sans glisser sur les deux plans d’un dièdre.
Les centres des deux masses sont reliés par une corde inextensible et sans masse, passant (sans glisser) par une poulie cylindrique (de masse m et de rayon r) lié au sol par une rotule.
m1,R
60°
m2,R m,r
30°
Peut-on considérer la tension dans la corde comme constante ? Justifiez votre réponse en utilisant le théorème du moment cinétique sur la poulie. (2 points)
Par le théorème du moment cinétique appliqué à la poulie en son centre
( )
e, => 2(
2 1)
G G y 2
y
d mr
M m r F F
dt
θ
= = −
&&
Si on considère une poulie avec une inertie comme dans ce cas-ci, le théorème du moment cinétique appliqué à la poulie en son centre nous montre que les tensions doivent être différentes.
Déterminer les produits d’inertie dans le système d’axe Oxyz de l’appareil photo représenté ci-dessous.
S1 = parallélépipède de côté abc et de masse M1.
S2 = l’objectif est un cylindre creux de longueur H et de rayon extérieur R1 et intérieur R2 et de masse M2. S3 = la pièce sur laquelle est fixée le flash est un cylindre de longueur h et de rayon r et de masse M3. S4 = le flash est un cube de côté d et de masse M4.
(1 point)
S1+S2 : Plan de symétrie orthogonal xz => Pxy=Pyz=0 Intégration de la cordonnée y (puissance impaire) sur un domaine symétrique.
S1+S3+S4 : Plan de symétrie orthogonal yz => Pxy=Pxz=0 Intégration de la cordonnée x (puissance impaire) sur un domaine symétrique.
2
3 4
2
Steiner avec ,0, 2 2
3 4
Steiner avec 0, , Steiner avec 0, ,
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
xz
OG H a e
yz
c h c d
OG L OG L h
H a
P M e
c h c d
P M L M L h
= + −
= + = + +
= − +
= + + + +
1442443
1442443 144424443
Déterminer le moment d’inertie par rapport à l’axe x du demi-cylindre de hauteur H et de rayon R en partant des données connues du cylindre plein (1 point)
x z
( )
(Cylindre= ) ² ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) (par symétrie ( ) ( )) 2
par symétrie on décompose en demi-cylindre : ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) 2 ( )
( ) ( ) ²
( ) ²
4 2 8 3
z x y xy x xy x y
x x x z x xy
z xy x
I MR I I I I I I I
I I I I I I
I M
I H
I Ο R
Ο = = Ο + Ο − Ο = Ο − Ο Ο = Ο
∪ Ο = ∪ + ∩ => Ο = ∩ − Ο
Ο Ο
=> ∩ = + = +
2 2 2 2
0 0
2
2 2 2 2
0 0
2
( ) ² avec 12
( ) ²
2
( ) ² ² ²
( ) ( ) ²
2 4 12 4 3
(
4 ²
)
² 3
(
H R
xy H
H R
z H
x z xy
x x
I z dm MH z rd dr dz
I r dm MR r rd dr dz
I MR MH M H
I I R
I I
M R H
π
π
ρ θ
ρ θ
+
− +
−
= ∪ +
Ο = = =
Ο = = =
Ο
Ο = + Ο = + = +
=> ∪
=
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
) ² ²
² ²
2 8 3 4 3
M H M H
R R
Ο ∪
Ο = + = +
Si l’on veut réduire un système à deux points P et T imposés, ceux-ci ne sont pas nécessairement conjugués. Pour déterminer le moment d’inertie correcteur, nous devons trouver le rayon de giration correcteur.
Déterminer graphiquement ce rayon correcteur sachant que pt ±rcor2 = rg2 et que rg (=GK) est déjà placé sur le graphique.
(1 point)
P T
G rg
K
t p
P T
pt pt
rcor
G rg
K
Question 2 : (5 points)
Soit trois barres pesantes, homogènes, identiques, de masse m et de longueur L. OA est fixée en O par une rotule, AB est articulée à OA en A, BC est articulée à AB en B. C est une glissière.
1. Combien de degrés de liberté comporte le système ? Justifiez.
2 degrés de liberté (angles
θ
1 etθ
2 définis respectivement entre les tiges OA et AB avec l’horizontale) 3 coordonnées / solide = 9 coordonnées- 3 rotules = 2 équations de liaison (Réaction de liaison en O : XO et YO ; Réaction interne en A et en B : XA, YA, XB et YB)
- 1 glissière = 1 équation de liaison (Réaction de liaison en C : YC)
2. Etablir les équations permettant de déterminer les équations de mouvement par Lagrange en choisissant judicieusement vos coordonnées généralisées pour simplifier le calcul de l’énergie cinétique (sans résoudre le système d’équations obtenu)
( ) ( )
( ) ( )
1 2 3 2 2 2 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
Coordonnées généralisées : , , , , , ,
cos 1 sin 1 sin 1 cos 1
2 2
1 ou 1 1
1 ou 1 1
Contraintes :
x y G x y
G A z G x y
G B z G x y
x y OG x y OG
L L
OG v
v v AG v x y
v v BG v x y
θ θ θ
θ θ θ θ θ
θ θ
= =
= + => = − +
= + × = +
= − × = +
&
& & &
& & &
3 3 1 3 3 3
2 1 2 2 2 1 1 2 2
2 1 2 3 2 1 1 2 2
3 1 2 3 4 3 1 1 2 2
sin 0 cos 0
2 2
cos cos sin sin 0
2 2
sin sin cos cos 0
2 2
cos cos cos sin sin s
2 2
L L
y y
L L
x L x L
L L
y L y L
L L
x L L x L L
θ λ δ θ δθ
θ θ λ δ θ δθ θ δθ
θ θ λ δ θ δθ θ δθ
θ θ θ λ δ θ δθ θ δθ
+ = => + =
= + => + + =
= + => − − =
= + + => + + + 3 3
3 1 2 3 5 3 1 1 2 2 3 3
3 2 2 3 3 2 2 3 1 2 3
2 2
1
in 0
sin sin sin cos cos cos 0
2 2
ou
cos cos et sin sin et sin sin sin
2 2 2 2
1
2 3
L L
y L L y L L
L L L L
x x y y L L L
T mL
θ δθ
θ θ θ λ δ θ δθ θ δθ θ δθ
θ θ θ θ θ θ θ
θ
=
= + + => − − − =
= + + = + + + =
= &
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 3 3 3
1 2 3
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
1 1
2 2 12 2 2 12
2sin
4 sin
2 2 12 2
OA AB BC
m L m L
x y m x y m
V mgL mgy mgy
m m L L
L T V x y x y m mg mgy mgy
θ θ
θ
θ θ θ θ
+ + + + + +
= + +
= − = + + + + + + − − −
& &
& & & &
& & &
& & & &
2 2
2 3
3 4
3 1 5
2
1 1 2 1 3 1 4 1 5 1
2
2 2 2 3 2 4 2 5 2
2
3 1 3 4 3
cos sin cos sin cos
3 2
sin cos sin cos
12 2 2
cos sin
12 2 2
j j
i i j i
d L L
dt q q q
mx my mg mx my mg
L L
m mg L L L L
L L L
m L L
L L L
m
λ φ λ
λ λ
λ λ
θ θ λ θ λ θ λ θ λ θ
θ λ θ λ θ λ θ λ θ
θ λ θ λ θ λ
∂ ∂ ∂
− =
∂ ∂ ∂
=
+ =
=
+ = +
+ = − + −
= + − + −
= + −
&
∑
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&& 5 cos 3
2 Contraintes holonomes
L
θ
+
3. Etablir les équations permettant de déterminer les différentes réactions en O et en C (sans détailler les calculs mais en montrant clairement comment établir chaque terme et chaque grandeur fondamentale)
Théorème de la résultante cinétique sur tout le système projeté sur x : 1 équation liant
θ
1 ,θ
2,θ
3 et XOThéorème de la résultante cinétique sur tout le système projeté sur y : 1 équation liant
θ
1 ,θ
2,θ
3, YC et YO( ) ( )
( ) ( )
1
2
3
1 1 1 2 3 e
e 2 2
1 2 3 e
3 3
1 2 3
; , ,
avec ;
, , , ,
et la contrainte : sin sins sin 3
les axes son
i
i i
i G
G O x O
x
G A
O C
G B y y
e O C
R R
R mv
v v OG d R F X
d dt
R F v v AG
d
dt v v BG dtR F Y Y mg
L L L
F R R mg
ω θ θ θ
ω
θ θ θ ω
θ θ θ
=
=
= + ×
=
= = + × =>
= + × =
+ =
= + −
∑
t fixes : seules les composantes seront dérivées;
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
5 3
sin 1 cos 1 cos 1 sin 1 cos 1 sin 1
2 2 2
5 3
sin 1 sin 1 sin 1
2 2 2
5 3
cos 1 cos 1 cos 1 3
2 2 2
x y y x y x
x x x O
y y y O C
L L L
R S S S m
L L L
m X
L L L
m Y Y mg
θ θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ
=> + + = − + + − + − +
− + − + + =
+ + + − = + −
& & &
& & &
& & &
Théorème du moment cinétique en O sur tout le système : 1 équation liant
θ
1 etθ
2 et YC( ) ( )
e, 2 1 2 3 e,
e,
avec , , ,
. 1
12
les axes sont fixes : seules les composantes seront dérivées;
i
i i
i i
i
O O
i
O G i i
O O O Oz C
G G i i z z
i G
O i C
i
M M
M M OG R
d d
M m M m mg Y
dt mL dt
M I
R mv
m OG mg OC R
θ θ θ
ω θ
=
= + ×
= => =
= =
=
= × + ×
∑
∑
&
Question 3 : Deux barres articulées (4 points) On considère un système de deux tiges identiques AB et AC articulées en A, de masse m, de longueur 2L.
Elles sont liées par un ressort en spirale de constante C.
L’ensemble des deux tiges glisse sans frottement sur un plan horizontal.
Le ressort exerce un couple proportionnel à la raideur de torsion du ressort, C, et à l’angle d’ouverture θ.
B C
A θ
Déterminer la ou les équations de mouvement du système articulé.
Degrés de liberté : 4 (3 pour la tige (x,y, ) et l'angle qui définit la position de par rapport à )
=> 2 solides en 2D (6 coordonnées de positionnement) une rotule en (2 réactions internes,
AC AB AC
A
α θ
( )
( )
1 1 1
2 2 2
2
et ) 4 ddl Milieu de = , = angle entre et
6 coordonnées gérénalisées : et
= angle entre et Milieu de = ,
2 contraintes pour exprimer la liaison en cos
A A
X Y
AB OG x y AC x
AB AC AC OG x y
x L A
α θ
=>
+
( )
( )
( ) ( ( ) )
( )
( ) ( ( ) )
( )
1
2 1
1: 2 1
2 2 1
1 2
cos
sin sin
sin sin sin 0
cos cos cos 0
Rem: le centre de masse total du système se situe sur la droite qui fait un x L
y L y L
x x L L L
y y L L L
G G
α θ α
α θ α
λ δ δ θ α δθ α θ α δα
λ δ δ θ α δθ α θ α δα
= − −
− = − −
− − − + − + − =
=>
− + − + − − − =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
angle /2 avec la tige
2 2
1 1 1 1
. . . .
2 2 2 2 2 2 12 2 2 12
1 1
2 2 3 2 3 2 3
G G
G G
AB
mv mv m m L m m L
T I I x y x y
m m mL mL mL
T x y x y
θ
ω ω ω ω α θ α
α θ
= + + + = + + − + + +
=> = + + + + + −
&
& &
& & & &
&
&
& & & &
mg 0 V
αθ
=
&
&
* *
1 1
1 1 1 1
1 2 1
2 1
2 2 1 2
1 2
1 1 1 1
2 2 2
: : : :
p j
j j
p j
j j
p j
j j
j j
Q C Q C
d L L mx
dt x x x
mx mx d L L
dt x x x mx
d L L my
dt y y y
d L L
dt y y y m
θ θ
δτ δθ θδθ θ
λ φ λ
φ λ
λ λ
λ φ λ
λ φ
=
=
=
= = − => = −
∂
∂ −∂ = = −
∂∂ −∂∂ = ∂∂ = − = =
∂ ∂ ∂
∂ −∂ = ∂ = −
∂ ∂ ∂
∂ − ∂ = ∂
∂ ∂ ∂
∑
∑
∑
&&
&
&& &&
&&
&
&&
&
&
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
1 2 2
2 2
1
2 2
*
2 1
1
2 2
1 2
1 2
: 1 cos cos sin
3 2 3
2 1
: sin sin cos
3 2 3
cos
p
j
p j
j j
p j
j j
my my y
d L L mL mL
Q L L L C
dt
d L L mL mL
L L L
dt x L
θ
λ λ
λ φ θ α λ α θ α λ θ α θ
θ θ
θ
λ φ α θ λ α θ α λ θ α
α α α
α
=
=
=
− = =
=
∂ −∂ = + ∂ − = − − − − − −
∂ ∂
∂
∂ − ∂ = ∂ − = − + − + −
∂ ∂ ∂
+ =
∑
∑
∑
&& &&
&&
&& &&
&
&&
&&
&
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
1
2 1
2 2
1 1
2 2
1 1
cos
sin sin
1 cos cos sin
3 2 3
2 1 sin sin cos
3 2 3
x L
y L y L
mL mL
my L L mx L C
mL mL mx L L my L
θ α
α θ α
θ α α θ α θ α θ
α θ α θ α θ α
− −
− = − −
− = − − − − + − −
=>
− = − − + − − −
&& && && &&
&&
&& && &&
Question 4 : Gyroscope (2 points)
On veut éviter le déraillement du train représenté ci-contre et avançant à vitesse constante.
Déterminer la position du gyroscope qu’il faudrait placer sur le deuxième wagon et préciser son sens de rotation pour empêcher le déraillement du train vers l’extérieur.
X
Y
x y
Cg Ce
x
Cg
Ce
Le train tourne à vitesse constante => conservation du moment cinétique.
,0 ,
,
1 avec constant
le couple extérieur à contrer : 1
Pour contrer ce couple, le couple gyroscopique doit etre
1 1
Le moment cinétique du gyroscope ( ) doit etre s
G
e G g
z
e G e y
g g y z
d M m C
dt
m C
C C
ω ω ω
ω
= +
=
= −
= = ΓΩ×
=> ΓΩ
uivant l'axe 1− x=>MG gyr, = −ΓΩ1x
Donc on va placer une roue sur le wagon de manière à avoir son axe de révolution suivant l’axe x. On la ferra tourner de manière à avoir le vecteur de rotation propre de la roue vers le centre des rails.
Question 5 : Trappe (4 points)
Un individu situé au milieu d'une trappe qui se dérobe sous lui, commence-t-il par glisser ou ses pieds décollent-ils par rapport à la trappe qui tombe ?
Pour répondre à cette question, la modélisation suivante est utilisée. Une tige supposée homogène OA de masse m et de longueur L, porte en son centre une masse considérée comme ponctuelle B, également de masse m. Le coefficient de frottement entre la tige et la masse vaut f. Initialement, la tige est maintenue horizontale grâce à un fil qui maintient la barre en A (Figure 1). Au temps t = 0, on coupe le fil.
O
B A
L/2
L
(1)
O
B
A u
v θ
(2)
1. Si on se place dans l'hypothèse où, durant la chute, la masse reste solidaire de la tige (Figure 2), on demande : (3 points)
a) d'exprimer l'équation différentielle du mouvement de l'ensemble (tige + masse);
b) d'exprimer les forces de liaison Flu et Flv exercées par la tige OA sur la masse B en fonction de l'angle θ entre la tige et l’horizontale;
Système {tige + masse} : Équation différentielle => Lagrange
2 1 2 2
tige
0 masse ponctuelle
1 1 1 1 ² 1 1 7 ²
. . . . ² ²
2 2 2 2 3 2 2 2 12
1 7 ²
2 sin ² sin
2 2 12
Il n'y a pas de force qui ne dérive pas d'un potentie
O G G
mL L mL
T T T I mv I m
L mL
V mg L mgL
ω ω ω ω θ θ θ
θ θ θ
=
= + = + + = + =
= − => = +
& & &
14243
&
l :
7 ² 12
0 cos 0 cos
12 7
d L L mL g
dt θ mgL θ θ L θ
θ θ
∂ −∂ = => − = => =
∂ ∂ && &&
&
O
mg A
T N
θ u
v
2
:
1 1 cos 1 sin 1 1 1
2 2
e
v u v u v u
dR F
dt
L L
m θ m θ mg θ mg θ N T
=
− = + + − −
∑
&& &
2. En déduire les conditions pour lesquelles il y aurait rupture d'équilibre entre la masse et la tige soit par glissement, soit par décollement. Pour chacun des cas, déterminer l'angle θmax correspondant. Préciser si l’individu va d’abord glisser ou décoller. (1 points)
Glissement si T=fN : 19 sin 1 cos
7 7 19
T = mg θ= fN = f mg θ => tgθ = f
Décollement si N=0 : 1
cos 0
7 2
N= mg θ = => θ =π Il y aura glissement avant décollement
NOM, PRENOM : ...
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