NOM, PRENOM : ...
NUMERO°: ...
Examen de mécanique rationnelle 2
ièmesession 24/08/2007 (8h-12h)
Répondre sur le questionnaire et ne dégrafer que les brouillons
e
d R F
dt =
∑
e,
A G A A
d M mv v m
dt = × + avec MA =MB+AB R× ou MA=mAG v× A+IA.ω
( )
2 1
. avec . . .
2 2
h h A A A
mv
d T F v T mv AG I
dt =
∑
= + ω× + ω ω1
et avec .
p j h
i j i h
i i j i h i
d T T
L T V Q Q F
dt q q q q
φ ϕ
λ
=
∂ ∂
∂ ∂
= − − = + =
∂& ∂
∑
∂∑
∂Question 1 : (3 points)
Énoncer et démontrer la formule de Steiner.
( )
( ) ( ( )( ) ( ) ( ) )
( )
; ; avec les coordonnées du point dans le système d'axe centré en
2
x y z i i i i
i i i i i i
O
i i i i i i
O
i i O
OG a a a x X a X P G
I x x x x dm X a X a X a X a dm
I X X a a X a X X X a X a a a dm
I X X
αβ αβ α β αβ α α β β
αβ αβ αβ αβ α β α β β α α β
αβ
δ δ
δ δ δ
δ
=> = +
= − = + + − + + =
= + + − − − −
=
∫ ∫
∫
( ) ( )
(
2) (
2)
2 2
Par définition du centre de masse
i
i i i i
i i
O G O G
mGG mGG mGG
X X dm a a a a dm X a dm X a dm X a dm
I I m a a a a X dm a X dm a X dm I I m a a a
OPdm
OG mO
m
α β
αβ α β αβ α β αβ α β β α
αβ αβ αβ αβ
αβ α β αβ β α α β αβ α β
δ δ
δ δ δ
− + − + − −
= + − + − − => = + −
= =>
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
14243 14243 14243
( )
0 Dans les axes aux centre de masse, les coordonnées de ce centre de masse valent 0,0,0
i i i i i
G =
∫
OPdm=>mX =∫
x dm=> =∫
X dmQuestion 2 : Planimètre à Hachette de Prytz (3 points)
Considérons un solide plan de masse m, modélisé par une barre rectiligne AB, pouvant se déplacer dans son plan horizontal x, y de manière telle que la vitesse en A soit constamment parallèle au vecteur AB.
En considérant que k est le rayon de giration du solide par rapport à son axe central perpendiculaire au plan xy, déterminer les équations de mouvement de ce solide.
Le solide est représenté par ces 3 coordonnées (x,y,θ)
1
sin cos
Contrainte non holonome : sin cos 0 sin
Résolution par Lagrange : *
et // 0
Réactions :
0
A
p j
i j
i i j i
A
x a L
v AB x y a
y acos L d L L
dt q q Q q
R AB OA AB
mg OG
θθ λ θ
λ θ θ θ
θθ λ θ
λ φ
δ δτ
δ δτ
=
− =
= => => − − =
+ =
∂ ∂ ∂
− = +
∂ ∂ ∂
⊥ => =
⊥ => =
∑
&
& & & &
&
&
&
( )
( )
1
2 2 2 2
2
0 0
1
2 2
Contrainte : sin cos 0
sin
4 équations, 4 inconnues cos 3 équations de mou
sin cos 0
i
p j
j
i i j i
Q V
d T T
dt q q q
T m x y mk
x y a
mx my
mk a
x y a
λ φ
θ
δ θ δ θ δθ
λ θ λ θ
θ λ
θ θ θ
=
=> = =
∂ ∂ ∂
=> − =
∂ ∂ ∂
= + +
− − =
=
= −
=> = − =>
− − =
&
∑
&
& &
&&
&&
&&
&
& &
2
cos sin 0
vement sin 0
sin cos 0
mx my
mk mxa
x y a
θ θ
θ θ
θ θ θ
+ =
+ =
− − =
&& &&
&& &&
&
& &
Question 3 : Canon (4 points)
Un canon lié rigidement à un wagon au repos sur une voie ferrée tire un obus de masse m à la vitesse v dans la direction indiquée sur les schémas. La masse totale (wagon + canon sans obus) est M.
θ
Sachant que la force de frottement entre la voie et le wagon est constante et vaut R, déterminer le recul X du wagon.
Identification des différents états du système : t1 = avant le lancement de l’obus (x&1=0 ;x=0) ;
t2 = Au moment du lancement (x&2 =vitesse initiale du chariot ;x=0) ;
t3 = le chariot recul suite à la vitesse acquise lors du lancement de l’obus. (x x&; ) ; t4 = Le chariot est à l’arrêt après un recul X (x&4 =0 ;x=X );
Après le départ de l’obus : Système {canon + wagon} = 1 solide entre le temps 2 et 4.
Rem : l’axe des x est dirigé vers la gauche.
22
0 2
e, 0 2²
2 2
X
x x frot x frot frot
d dx M
R F Mx F M F dx x F X
dt =
∑
=> = − =>∫
& =∫
− => =&
&& &
Avant le départ de l’obus Système {canon + wagon + obus} Il n’y a pas de forces extérieures suivant l’axe x. => il y a conservation de la résultante cinétique suivant l’axe x.
1 2 1 2
2 2 2
0 jusqu'en : 0 et cos cos
x x t x t x t x t
d m
R t R R R R Mx mv x v
dt = = => = = & + θ=>& = −M θ
en t=0 : = 2² ² ² cos ²
2 frot 2 frot
M m v
X x
F MF
= θ
&
Question 4 : (6 points)
Une tige pesante de longueur L et de masse m, infiniment mince, peut glisser sur les axes OZ et OX1. OX1 reste constamment dans le plan horizontal OXY et peut tourner autour de OZ. L’extrémité A de la tige est reliée au point O par un ressort linéaire de rigidité k et de longueur libre L0. Ce ressort est enroulé autour de OX1. On néglige tout frottement.
Déterminer la vitesse angulaire de la barre AB.
1 1/ 0
1 1 et 1
tige Z y R R z
ω =ϕ& −θ& ω =ϕ&
Déterminer l’accélération angulaire de la barre AB.
1 1 1 0 1
1 1 1
1 1 et / 1
1 1 1
tige z y R R z
tige z y x
ω ϕ θ ω ϕ
ε ϕ θ θϕ
= − =
= − +
&
& &
&& &
&& &
Déterminer l’accélération du centre de masse de la barre AB.
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
2
1 1 1 cos 1 sin 1 et sin 1 cos 1
2 2
cos 1 sin 1 sin 1 cos 1 sin 1 sin 1
2 2 2 2 2 2
sin co
dt 2 2
x A x y x y x z
G A x y z x y z
G G
L L
OA x v x x L L AG
L L L L L L
v v AG x x
dv L L
a
ϕ θθ θϕ θ θ
ω θθ ϕ θϕ θθ θθ θϕ θθ
θθ
= => = + = + = − +
= + × = − + − − = + −
=> = = − +
&
& &
&
& & & & & & &
&
&
1 1
1 1
1/ 0
1 1
2
2
2 2
s 1 cos sin 1 cos sin 1
2 2 2 2
cos 1 sin 1
2 2
sin cos sin 1 cos sin 1 cos
2 2 2 2 2
R R G
x y z
y x
v
G x y
L L L L
L L
L L L L L
a L
ω
θθ θϕθ θϕ θθ θθ
θθϕ θϕ
θθ θθ θϕ θϕθ θϕ
×
+ + + − −
+ −
= − + − + + + −
&& && && & &&
& & &
1444442444443
& && & && && 2 sin 1
2 z
θθ L θθ
−
& &&
( )
( )
12 2
sin cos sin 1 cos
G A
x
a a AG AG
L L L L
ε ω ω
θθ θθ θϕ θϕθ
= + × + × × =
− & + &&− & +
(
&&)
11
sin cos 1
cos 1 sin cos
2 2 2
y
x
L L
L L L
θϕ θθϕ
θθ θϕ θθϕ
+ +
− + − −
&
&& &
&& && && 1 1
1
2 2
1 sin 1
2
sin sin 1 cos
2 2 2
y z
x
L
L L L
θθ
θθ θϕ θϕθ
−
+ + + −
&&
& & && 1 1
1 1
2
2 2 2
1 cos 1
2
sin cos sin 1 cos sin 1 cos sin 1
2 2 2 2 2 2
y z
G x y z
L
L L L L L L
a L
θθ
θθ θθ θϕ θϕθ θϕ θθ θθ
−
=> = − + − + + + − −
&
& && & && && & &&
Déterminer les équations de mouvement.
1 1 0
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 et / 1
sin cos
1 1 1 cos 1 sin 1 et sin 1 cos 1
2 2
cos 1 sin 1 sin 1 cos
2 2 2 2
tige Z y R R z
x A x y x y x z
G A x y z
x L x L
L L
OA x v x x L L AG
L L L L
v v AG x x
ω ϕ θ ω ϕ
θ θθ
ϕ θθ θϕ θ θ
ω θθ ϕ θϕ θθ θθ
= − =
= => =
= => = + = + = − +
= + × = − + − − =
&
& &
&
&
&
& &
&
& & & & &
&
( )
( )
1 1
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 sin 1 sin 1
2 2
cos sin sin 1 sin
2 2 2 4 2
, , cos sin sin 1 sin
2 4 4 2 12 12
x y z
y z
L L
m L L L
T x x I I
m L L mL mL
T x x L x x L x
θϕ θθ
θθ ϕ θϕ θ θ θ ϕ θ
θ ϕ θθ ϕ θ ϕ θϕ θ θ ϕ θ
+ −
= − + − + + +
= − + − + + + +
&
&
& & & & & &
&
& & & & & & &
& &
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
0 0
2 2 2 2 2
0
1 1 1
, sin sin , sin
2 4 2 12 2 3
cos cos , cos sin
2 2 2 2 2 2 2
, 1 sin cos sin
2 3 2 2
L mL mL
T m T
L k L k L L k
V mg x x mg x V mg L x
mL L k
L mg L x
d L dt
θ ϕ θ θϕ θ θϕ θ ϕ θ θϕ
θ θ θ ϕ θ θ
θ ϕ θ θϕ θ θ
θ
= + + + => = +
= + − = + − => = + −
=> = + − − −
∂
∂
& & & & & &
& &
& L x*
θ Q
− ∂ =
∂
1 1
x λ ∂φ
+ ∂
( )
( ) ( )
2 2
2
0
2 2
0
:
2sin cos sin sin cos 0
3 3 2
sin 2 sin sin cos 0
3 2
mL mL L
mg k L x L
mL L
mg k L x L
d L L
dt
θ θ θϕ θ θ θ
θ θϕ θ θ θ
ϕ ϕ
− − + − =
=> − − + − =
∂ − ∂
∂ ∂
&& &
&& &
& =Qθ* λ1 φ1
θ + ∂
∂ :mL32
(
sin2θϕ 2sin cosθ θθϕ)
0 mL32(
sin2θϕ sin 2θθϕ)
0
+ = => + =
& &
&& & && &
Déterminer le moment cinétique de la barre au point A ainsi que sa dérivée.
x2
z2
y1
( )
2 2 1 2 2 1 1 1
2
1 1 1
2 2
2 2
2
0 0 0 cos
. 0 0 1 sin 1 1 sin cos 1 sin 1
12 12
0 0 sin
sin 2
1 1 sin 1
avec 12 2
cos s 4
A
A G
G G y y y z z y x z
z
G x y z
d M dt
M M AG R
mL mL
M I I I I
I M mL
AG R mL
ϕ θ
ω θ θ ϕ θ θ ϕ θ θ θ
ϕ θ
ϕ θ θ θϕ
θ
• = + ×
−
= = − = − + = − + +
=> = − +
× = −
&
& & & & &
&
&
& &
( ) ( ) ( )
( )
1 1
1 1
1 1 1
1
2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
2cos 1
in 1 cos sin 1 sin 1
4 4
sin 2 1 cos 2 1 sin 1
4 2
cos sin 1 cos sin 1 sin 1
6 4 12 6
sin 2 1 3 cos 2 12
x y z
x y z
A x y z
A x
mL mL
mL
mL mL mL mL
M
M mL
θ
θ ϕ θ θ θ θϕ
θ ϕ θθ θϕ
θ θϕ θ θ θ θϕ
θϕ θ
−
+ − −
= − + −
= − + − − −
= − +
&
& &
&
& &
&
& &
& 1 1
2
1 1 1
1 1
2
6cos 4
2 2
2 2 2
1 1 2sin 1
.
sin 2
. 1 1 sin 1
3 2
avec
sin 2 1 cos 1 sin 1
2 2
y z
A A A
A x y z
A x y z
M I mAG v
I mL mAG v mL
θ
θ θϕ
ω
ω ϕ θ θ θϕ
θ ϕ θθ θϕ
−
− −
• = + ×
= − +
× = − + −
& &
123
1442443
&
& &
&
& &
( )
( ) ( )
( )
( )
1 1 1
1
1
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2
sin 2
1 3cos 2 1 sin 1
6 2
sin 2
sin 2
1 : 2 3cos 2 cos 2 3cos 2
6 6 6 2 6
3cos 2
1 : sin 2 3s
6 12 6
A x y z
x
y
M mL
mL d mL mL mL
dt
mL d mL mL
dt
θ ϕ θ θ θϕ
θ ϕ θ θϕ θθϕ θϕ θ θϕ
θ θ
θϕ
= − + − −
−
− − = − − − −
− − =
&
& &
&
&& && && &&
&
&
( ( ) ( ) )
( ) ( )
1
2 2 2
2 2 2
2
in 2 3cos 2 sin 2
12
1 : sin sin 2 sin
6 6
z
mL
mL d mL
dt
θ θ θ θ θϕ
θϕ θϕ θϕ
+ − −
−
= − −
& && &
&
& &&
Déterminer l’ensemble des équations scalaires permettant de trouver les réactions en A et B. (Ne pas résoudre le système d’équation)
( ) ( ) ( ) ( ( ) )
( ) ( )
( )
1 1
0
2 2
0
e
0, , , , ,0 , 0,0, , sin ,0,0
cos 1 sin 1 sin 1
2 2 2
sin cos sin sin 1
2 2 2
cos sin 2
2
A A A B B B G R
G x y z
B
A B
R Y Z R X Y R mg F k L x
L L L
R mv m m m
L L L
m X k L x
d L
R F m L Y Y
dt
m
θ
θθ θϕ θθ
θθ θθ θϕ θ
θϕθ θϕ
− −
= = + −
− + − = − −
= => + = +
& & &
& && &
&
& &&
( )
( )
(
1 1 1)
1 1 1 1
1
2
e,
2 2
e,
2 2
2
cos sin 3
2 2
sin 2 1 3cos 2 1 1 2sin 1
12
sin 1 cos 1 cos 1 sin 1
2
sin 1 sin cos
2 2
A
A A G A
A x y z
A y B x B y B z
G A x
L L
Z mg d M m mv v
dt M mL
m mgL L Y X L Y L
L L
mv v m m
θθ θθ
θϕ θ θ θϕ
θ θ θ θ
θθϕ θ θ
− − = −
= + ×
• = − + − −
• = − − + −
• × = + −
& &&
&
& &
&& &
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
1
1
1
2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
1 sin 2
1 : cos 2 3cos 2 cos sin 4
6 2 6 2
1 : 3sin 2 3cos 2 sin 2 sin cos sin cos 5
6 12 2 2
1 : sin 2 sin
6
y
x B
y B
z
mL mL L
L Y m
mL mL L L
mg X L m
mL
θ
θθϕ θϕ θ θϕ θ θθϕ
θ θ θ θ θϕ θ θ θ θθ
θϕ θϕ
− − − − = − +
=> + − − = − + −
− − =
&& && && &&
& && & &
& && sin 6
( )
Les équations 4 et 5 sont redondantes => à utiliser pour vérifier les équations de mouvement Y LB θ
−
( )
( )
,
2 2
2 2
0
2 2
sin 2
cos 2 cos cos
12 2 12 2 2
sin 2 sin cos cos sin
12 2 2 2 2
sin sin 2 sin sin
12 2 2
(4)sin (6) cos (7
G e G
A B
A B
A B
d M m dt
mL mL L Y L Y
mL L Z L X L k L x
mL L Y L Y
θθϕ θϕ θϕ θ θ
θ θϕ θ θ θ θ
θϕ θθϕ θ θ
θ θ
=
+ + = −
− + = − + − −
+ = −
− =
&& && &&
&& &
&
&& &
( )
2 2
2 2 2 2
2 2
sin 2
) : cos 2 sin sin sin 2 cos
2 12
sin 2
(1) cos (5) (8) : sin cos sin cos sin
12 2 2 2 2 2 2
(8) (3) (9) sin 2
: 12 2
A
mL
mL L L L L L
Z m
mL
θθϕ θϕ θϕ θ θϕ θθϕ θ
θ θ θϕ θ θ θθ θθ θϕ
θ θϕ
+ + = +
− = − + = − + − + −
=> − =
− +
&& && && && &&
&& & & && &
&& & sin cos 2 sin cos sin 2 cos sin 2
2 2 2 2 2 2 2
L L L L L L L
m g m
θ θθ θθ θ θθ θθ θϕ
= − − − + + − + −
& && & && &
Question 5 : Cycliste en côte (4 points)
Un cycliste grimpe une pente d'angle θ. L'ensemble constitué par le cadre du vélo et le cycliste est considéré comme un solide indéformable S, de masse M et de centre de gravité G. La roue arrière a une masse M’, un rayon R’, et son centre de gravité est en D sur l'axe de rotation de la roue arrière par rapport au cadre; idem pour la roue avant (M’, R’) autour de E (seule la contribution de la masse circonfèrencielle des roues est prise en compte pour leurs propriétés d'inertie).
Le plateau du pédalier S" sur lequel le cycliste exerce un couple C a un rayon R"; ce plateau tourne par rapport au cadre autour du point O (la masse du plateau est considérée comme négligeable). La roue arrière est entraînée par l'intermédiaire d'une chaîne (supposée inextensible et sans poids) reliant le plateau du pédalier S" avec le pignon de la roue arrière, de centre D et de rayon R (ce pignon de masse négligeable est solidaire de la roue arrière).
Autres données (pas toutes nécessairement utiles...) :
- La distance entre les points A et B de contact des roues vaut 3R’. Le point G, centre de gravité de S se trouve à une hauteur du sol égale à H, AG’ étant égal à R’ (G’est la projection de G sur le sol);
- Toutes les liaisons sont sans perte.
Déterminer la (ou les ) équation(s) différentielle(s) du mouvement.
1 1 1
2 2 2
2 2
coordonnées généralisées : ( ) pour le cycliste
'( ', ', ', ') pour la roue arrière '( ', ', ', ') pour la roue avant
"(0, ", ") pour le pédalier Par Lagrange :
' 1
2 0 2 2
cycliste
x S M
S M R G S M R G
S R
Mx M x
T M
ω ω ω
= & + + & +
14243
( ) ( ( ) ) ( ( ) )
( )
1 1
2 2 2 2 2
1 2
1
' 1
' ' ' ' ' '
2 2
sin cos ' ' sin 'cos ' 2 ' sin 'cos
2 ' sin
Contrainte de roulement sans glissement : '
roue arrière roue avant
I G
R M x M R
V Mg x H M g x R R M g x R R
V M M gx const
v v G
ω ω
θ θ θ θ θ θ
θ
ω
+ +
= + + − + + + +
=> = + +
= + ×
&
14444244443 14444244443
( ) ( )
( )
2 2
1 1 1 2 2 2 2
2
' et ' ' '
' ' '
Rapport de rayon : " " ' " " ' Travail du couple : " '
" ". '
1 4 ' 2 ' sin
2
: 4 '
I G
x
x x x
I v v G I
R R R
R R R R
R R
C C C x
R R R
L M M x M M gx
d L L
Q M M
dt x x
ω ω ω δα δ
ω ω δα δα
δτ δα δα δ
θ
=> = = + × => = => =
= => =
= = =
= + − +
∂ ∂
=> ∂ − ∂ = +
& &
&
& &&x+
(
M +2M g')
sinθ=CR R". 'RBROUILLONS
