NOM, PRENOM : ...

NOM, PRENOM : ...

NUMERO°: ... Examen de mécanique rationnelle 1

^ière

session 08/01/2009 (8h-12h)

Répondre sur le questionnaire et ne dégrafer que les brouillons

e

d R F

dt =

∑

e,

A G A A

d M mv v m

dt = × + avec MA =MB+AB R× ; MA=mAG v× A+IA.ω

( )

2 1

. avec . . .

2 2

A

h h A A

mv

d T F v T mv AG I

dt =

∑

= + ω× + ω ω

1

et avec .

p j h

i j i h

i i j i h i

d T T

L T V Q Q F

dt q q q q

φ ϕ

λ

=

∂ ∂

∂ ∂

= − − = + =

∂_& ∂

∑

∂

∑

∂

Question 1 : questions rapides (4 points)

Sur un même axe sont calés deux tambours de rayon r

1

et r

2

(et de masse totale M) sur lesquels s’enroulent deux cordes de masse négligeable. Deux singes de masse m

1

et m

2

sont accrochés aux cordes. Initialement, ils se trouvent en équilibre à la même hauteur (O comme référence).

Ils se mettent ensuite à grimper le long de leurs cordes.

Déterminer les altitudes atteintes par les deux singes 1. en négligeant l’inertie des tambours

2. en supposant que le rayon de giration des tambours par rapport à leur axe de rotation vaut r

g

et le singe de masse m

2

ne grimpe pas.

(2 points)

m_1(t=0)

O

^m2(t=0)

x z

r1

r2

{

1 2

1 1 2 2

1 1 1 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

, 1 1 2 2 ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 2 1

(1)

0 : équilibre en 0 . . (1)

. . 0 0

1. 0 0

O

O e O y O m O m O M

y OP R OP R I

m z r m z r y

O

t z m g r m g r m r m r

d M m m g r m g r M M M Const

dt

I m z r m z r z

ω

× ×

= =−

= = => = => =

 

 

 

= = − = => + +  = =

 

 

 

= => − = = > −

& &

123

123 14243

& & & &

{

22 2

2 2 2

( ) g 2 2

1 1 1 2 2 2 g 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2

(1) 2

2 2

/

2 2 2 2

2 2 1 1 2

1 2 2

1 1 2 1 1 2 1 1 2

0 : même altitude

2. 0 /

1

g

O M g

g Mr z r

g g g

z M Mr Mr

m z r m z r Mr m z r m z r Mr z r m r z z r r

m r Mr m r r Mr Mr

z z z

m r r m r r m r r

ω ω

ω −

=

 

= => − + = = > = + = + 

= −   

+ + 

=> = = = +



&

& & & & & &

& 123

& & &

2

2 1 2

1 1 2

1 Mr^g

z z z

m r r

  

  => = + 

   

&  

Deux roues cylindriques et homogènes de rayon R, de masse m1 et m2 roulent sans glisser sur les deux plans d’un dièdre.

Les centres des deux masses sont reliés par une corde inextensible et sans masse, passant (sans glisser) par une poulie cylindrique (de masse m et de rayon r) liée au sol par une rotule.

m1,R

60°

m2,R m,r

30°

Peut-on considérer la tension dans la corde comme constante ? Justifiez votre réponse en utilisant le théorème du moment cinétique sur la poulie. (1 point)

Par le théorème du moment cinétique appliqué à la poulie en son centre

( )

e, => ²

(

2 1

)

G G y 2

y

d mr

M m r F F

dt θ

  = = −

 

  &&

Si on considère une poulie avec une inertie comme dans ce cas-ci, le théorème du moment cinétique appliqué à la poulie en son centre nous montre que les tensions doivent être différentes.

C A

O

S

2

S

1

Γ

x

z

Mouvement d’un chasse-neige (1 point)

La figure schématise un chasse-neige se déplaçant sur une horizontale. Ce chasse- neige est constitué d’une roue S1 (de centre C, de rayon R, de masse m répartie uniformément sur la circonférence par rapport à son axe) et d’une partie S2 (en forme de T), indéformable de même masse m, modélisée par deux tiges de longueur 2R, en mouvement de translation parallèlement à l’axe Ox. (C et A sont à la même hauteur) Le moteur exerce sur la roue un couple de moment Γ autour de l’axe de la roue. La roue tourne sans frottement autour de son axe et roule sans glisser sur le sol.

Déterminer l’équation de mouvement de ce système

( )

^{2 2} 1 _{2 2 2} ² 3 ²

: 2 2 2 2

3

m x mx mx

Lagrange T mR mx

mx R

θ

= + = + =

=> = Γ

& & & & &

&&

Question 2 : Gyroscope (2 points)

On veut éviter le déraillement du train représenté ci-contre et avançant à vitesse constante.

Déterminer la position du gyroscope qu’il faudrait placer sur le deuxième wagon et préciser son sens de rotation pour empêcher le déraillement du train vers l’extérieur.

X

Y x

y Ce

Cg

x Ce

Cg

Le train tourne à vitesse constante => conservation du moment cinétique.

,0 ,

,

1 avec constant

le couple extérieur à contrer : 1

Pour contrer ce couple, le couple gyroscopique doit être

1 1

Le moment cinétique du gyroscope ( ) doit être s

G

e G g

z

e G e y

g g y z

d M m C

dt

m C

C C

ω ω ω

ω

= +

=

=

= − = ΓΩ×

=> ΓΩ

uivant l'axe 1_x=>M_{G gyr}, = ΓΩ1_x

Donc on va placer une roue sur le wagon de manière à avoir son axe de révolution suivant l’axe x. On la ferra tourner de manière à avoir le vecteur de rotation propre de la roue vers l’extérieur des rails.

Question 3 : Pendule balistique (4 points) Dans un pendule de masse M, on envoie une balle de fusil (de masse m) qui s’y logera. La distance entre la fixation O et la direction de la vitesse de la balle est L.

La distance L peut être posée comme équivalente à la distance entre le point O et le centre de masse du système constitué du pendule et de la balle. Son moment d’inertie par rapport à l’axe horizontal passant par O vaut I.

Déterminer la formule générale de la vitesse de la balle avant le choc en fonction de longueur de la déviation du pendule x.

O

L

( )

(1) (2) (2)

0 (1)

0

1 (avant le choc); 2 (au moment du choc); 3 (après le choc) Phase 1 et 2

0 avec 1 1

(1) Phase 2

e balle balle balle pendule balle pendule balle pendule x x

x balle

dR F dR m v m M v v L

dt dt

m v m M L

θ θ

+ +

= => = => = + =

=> = +

&

&

( ) ^{( ) ( ) (} ( ^{) (} ) ^{) ( )}

2 2 2

2 2 3 3 2

2 2 2

0 0 0 2

,

et 3

1 1

Conservation d'énergie avec et

2 2 2 2

2 1 cos

1 0 cos 2

2

Théorème du moment : avec

pendule O balle G

O e O O b

mv mL

T V T V T I I T

m M gL

mL I m M gL m M gL

mL I

d M m M M

dt

ω ω θ θ

θ θ θ θ θ

• + = + = = = =

+ −

=> + − + = − + => =

+

• = =

&

&

& & &

( )

( ) _{( )} ( )

( )

( )

( ) ( ^{( )} ) ^{( )}

( )

( ) ^{( ) ( )}

0

2

(3) (3)

, 2

2

0 2

2 2

0

0 2

1 1 avec 1

sin 1 sin

1 sin cos 1

2

2 1 cos 2 1 cos

alle O pendule z z

z

z

I ML

ball

M mLv I v L

d mL I g m M L

m M gL

dt mL I

g m M L g m M L

d d

mL I mL I

g m M L g

mL I L m v

m M

θ θ

θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ

=

+ = + =

+ +

=> = − + => = −

+

 + +

= − = −

 + +



=> = + − = −

 +



=>

+

∫

&

∫

& &

&

&&

&

&

( )

( ) ^{( )} ( ⁽ ) ^{) ( )}

( )

( )

( )

( )

2

(1) (1)

2 2

2 2 2

2 0 2 2 2

2 2 2

2 2

1 cos 1 cos

2 2

avec sin 1 cos 1 1 1 1 1 1

(1)+(2) : 2 1 1

e balle

I ML

balle

g m M L v Lm M g m M L

L mL I m mL I

g m M L

x x x g x

L L mL I L L L

g m M L

m M x

v L

m mL I L

θ θ

θ θ θ

=

−

+ + +

= − => = −

+ +

= => − = − − => = + − − = − −

+ + +

= − −

+

&

Question4 : demi cône (3 points)

Déterminer le moment d’inertie I_z’ du demi-cône homogène par rapport à l’axe z’ en utilisant le minimum de calculs d’intégrale et en sachant que la

masse vaut : ²

6 M =ρπ R H

z

y x

R

H z’

O

( )

( )

4

5 2

3 4

2

0 0

2

2

5 2

2 2

0 0

2

3

4 5 20 10

3

2 5 5

la répartition de masse par rapport à l'axe est la même que pour l'axe 2

H Rz

z h

H Rz

xy H

x y

z xz yz

R

H MR

I d dz r dr H HR

R

H MH

I d z dz rdr H

I I x y

I I I I

π π

π π

ρ θ ρ π ρπ

ρ θ ρπ

−

−

 

 

 

= = = =

 

 

 

= = =

=

= + =

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

( )

^{2 2 2} ₂ ³₂₀^{2 3} ₅ ²

0 grace à l'intégration de y sur un domaine symétrique

xz x y xy x xy x z xy

xy yz

I MR MH

I I I I I I I

P P

= + − = − => = + = +

= =

L’angle alpha est l’angle entre l’axe z et l’axe z’. Par la formule de changement d’axe (1 = 0; sin ; cos_z'

(

α α

)

)

2 2

2 2 2 2

' 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2

' 2 2 2 2 2 2

cos sin 2cos sin où cos et sin

3 3 3

10 20 5 6

z z y xy

z

H R

I I I P

H R H R

MR H MR MH R R MR

I MH

H R H R H R

α α α α α α

= + − = =

+ +

   

=> = + +  =  + 

+   + +  

Question 5 : Système articulé (3 points)

Le mécanisme représenté ci-contre est situé dans un plan vertical ; les tiges homogènes AB, CD et DE ont une longueur 2l et une masse 2m ; la tige BC est homogène de longueur l et de masse m ;la tige DE peut coulisser dans le guide non fixe K ; le coefficient de rappel du ressort est k et sa longueur libre correspond à la position (θ=0).

En négligeant tout frottement, déterminer la réaction de liaison en K en fonction de θ θ θ, , , , & && m let .g

l

l

l

l

l

l l

M(

θ

)

D A

B C

E K H J

θ θ

( ) ( )

( )

( ) ( )

4

4 4

4 4

cos 1 sin 1

cos cos 1 sin sin 1

avec sin 1 cos 1

1 1

1 sin cos 1 cos sin 1

2 2 2 2

x y

x y

D x y

G D z x y

DG L L

JG L L L L

v L

v v DG L L d JG

dt

ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ

θ θ θ

θ θ

ϕ θ θ θ θ

 = −

 = + + −

 = − +

    

 = + − × = − +  + +  =

    



&

& &

&

( _{, ,} ) ^,

(

^,

)

,

+2 pour la tige DE seule

. 2 4 ² 2 ² sin 1

3 2

avec

2 sin 1 2 sin 1

2 2

² 4 2sin ² ² cos 2 sin 2 sin ² ² cos

3 2 2 2 2 2

K

D e D G D

R mg

D D D z

e D z K z

K

d M m mv v

dt

M I mDG v ml ml

m mgl l R

ml ml mgl l R ml

θ θ θ

ω θ θθ

θ θ

θ θ θ θ θ

θ θ θ

= ×

 

= + × = − 

= − +

 − − = − + +

 

 

=

& &&

∑

& &

&& & &

4 2sin 2cos ²

3 2 2

2sin2

K

R mlθ θ θ θθ mg

  

> =  −  − +

 

 && & 

l

l

l

l

l

l l

M(

θ

)

D A

B C

E K H J

θ θ ϕ

λ

Question 6 : Le disque dans un anneau (4 points) Le problème est plan (2-D). Le système, soumis à l’effet de la gravité, est composé de :

- Un anneau de rayon R et de centre A, qui roule sans glisser sur un sol plat (de masse M).

- Un disque de rayon a, de centre B, et de masse homogène m. En cours de mouvement, ce disque roule sans glisser sur la piste de forme circulaire formée par l’intérieur de l’anneau.

θ

1. Déterminer la ou les équations de mouvement finales en utilisant les multiplicateurs de Lagrange.

1 2

2 degré de liberté { , }, 3 coordonnées { , , } avec α θ α β θ ω_{cercle S} =α&1 ;_z ω_{disque S} =β&1 ;_z ω_AB =θ&1_z

1

1 1

Condition de roulement sans glissement en point de contact entre et le sol

0 1 1

I Sol I S A x x

I S

v_∈ v_∈ v ω AI x Rα x Rα

•

 = => = + × = − => =

 & & & &

OU

1 2

2 degré de liberté { , }, 4 coordonnées { , , , } avec α θ xα β θ ω_{cercle S} =α&1 ;_z ω_{disque S} =β&1 ;_z ω_AB=θ&1_z

( )

( )

( )

1 2

1 2

2 2 2

1 2

1 2 1

Condition de roulement sans glissement en point de contact entre et

1 1

1 1 1

0 Condition de roulement sans

D S A x y

D S D S

D S B x y y

D S S

v v AD x R

v v

v v BD x R a a

R a a R

ω α

ω θ β

λ δθ δβ δα

∈

∈ ∈

∈

 = + × = +

= => 

= + × = + − +



=> − + − =

&

&

& &

&

( )

1

1

1 2

glissement en point de contact entre et le sol

0 1 1 0

I Sol I S A x x

I S

v_∈ v_∈ v ω AI x Rα x Rα λ δx Rδα









 = => = + × = − =>=> = => − =





& &

& &

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2

2 2 1 2 2 2 1 2

2 sin

2 2 2

avec _{G B A AD} => _B 1_x 1_y 1_x sin 1_x cos 1_y

T MR m R R a R R a ma

v v v AD v x R a x R a

α α θ α θ θ β

ω θ θ θ θ

 

 

= + + − − − + 

 

= = + × = + − = + − − +

& & &

& & &

& &

& &

OU ^T=_¹₂^Mx&2+1₂^{MR2 2α& }_{ }^+1₂^{m x}

(

^&2+

(

^{R a−}

)

^{2θ&2−2x R a&}

(

⁻

)

^θ&sinθ

)

⁺¹_{2 2}^{ma2β&2}_

( )

(

sin

) ( )

sin

V =mg R− R a− θ = −mg R a− θ+C 2 ddl, 3 coordonnées généralisées => 1 contrainte

( ) ( )

( ) ^{( )}

( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

1 1 1

1 2

1 1 1

1

1 2 sin 1 sin

2 2 2

: 2 sin cos

:

2 2

L MR m R R a R R a ma mg R a

d L L M m R mR R a mR R a R

dt

d L L ma a ma

dt

d L L dt

α α θ α θ θ β θ

λ φ α θθ θθ λ

α α α

λ φ β λ λ β

β β

β θ λ θ

 

 

= + + − − − + + −

∂

∂ ∂

− = + − − − − = −

∂ ∂ ∂

∂

∂ ∂

− = = => =

∂ ∂

∂

∂ ∂

=> − =

∂ ∂

& & &

& & &

&& &

&&

&

&& &&

&

&

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2

1

:

sin cos cos cos

contrainte : 0

m R a mR R a mR R a mR R a mg R a R a

R a a R

φ θ

θ θα θθα α θ θ θ λ

θ β α







 ∂

 ∂

 − − − − − + − − − = −

+ − + − =





&& && && & &

& & &

=>

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2

en fonction des coordonnées et ;

3 1

2 sin cos 0

2 2

3 1

sin cos 0

2 2

R R a R R a

a a

M m R m R a m R a

m R a m R a R mg R a

α θ α θ

α θ β β

α θ θ θθ

θ θ α θ

 − − − − 

= =

 

 

 

 +  − −  +  − − =

   

=> 

 

 − − −  +  − − =

  



& &&

& &&

& &&

&& &

&&

&& &&

OU

2 ddl, 4 coordonnées généralisées => 2 contraintes

( ) ( )

( ) ^{( )}

( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 2

1 2 2

1 2 2

1 2 1 2 2

1 1 1 1

2 sin sin

2 2 2 2 2

+ : sin cos

+ :

L Mx MR m x R a x R a ma mg R a

d L L

M m x m R a m R a

dt x x x x

d L L

MR R R MR

dt

α θ θ θ β θ

φ φ

λ λ θθ θθ λ

φ φ

λ λ α λ λ λ

α α α α

 

 

= +  + + − − − + + −

∂ ∂

∂ −∂ = + − − − − =

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂

∂ −∂ = = − − => = −

∂ ∂ ∂ ∂

=>

& & &

&

& & &

&& &

&&

&

&& &&

&

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

1

1 2 2

1 2 1 1

1 2

1 2

2

1

2

+ :

2 2

+ :

sin cos cos cos

contraintes :

MR ma

d L L ma ma

dt a

d L L dt

m R a mR R a mR R a mR R a mg R a R a

R a a R

α λ α β

φ φ

λ λ β λ λ β

β β β

β

φ φ

λ λ

θ θ θ

θ

θ θα θθα α θ θ θ λ

θ β

− = − −

∂ ∂

∂ ∂

− = = => =

∂ ∂ ∂

∂

∂ ∂

∂ ∂

− =

∂ ∂ ∂

∂

− − − − − + − − − = −

+

− + −

&&

&&

&& &&

&

&

&& && && & &

& & & 0

0 x R

α α

















 =

 − =

& &

Question 7 : Question bonus (1 point)

Dans le cas de la réduction d’un système à deux points conjugués, démontrer que GK vaut le rayon de giration r_g

A G A’

K

a a’

Conservation de la masse : M_A+ M_A'= M Conservation du centre de gravité G : aM_A =a M' _A'

Conservation du moment d’inertie IG : M a_A ² '² + M a_A' =I_G = Mr_g² avec : G = centre de masse

a = distance AG ; a’ = distance A’G M_A = masse au point A ; M_A’ = masse au point A’

Démontrons que a a. ' =r_g² :

{

( )

_{

' '

2 2

' '

2 2

' '

'

² '² ' '

' ' ' = ' '

A A A A

A A g A A g

A A A A g g

aM a M M M M

M a M a Mr M aa M a a Mr

M a a M aa M M aa Maa Mr aa r

= + =

+ = => + =

=> + = + = => =

Démontrons que GK= a a. '

( )

( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

' ' ' où et ' '

' ' 2 ' ' ' ' '

AA a a AK A K AK GK a A K GK a

a a a a aa GK a GK a aa GK GK aa

= + = + = + = +

=> + = + + = + + + => = => =

' _g GK r

=> =

BROUILLONS

BROUILLONS