Chapitre n°13 – Variables aléatoires continues.
Objectifs :
Niveau a eca n
C13.a 1 Savoir utiliser une fonction de densité pour calculer des probabilités de variables continues et l'espérance d'une loi à densité.
C13.b 1 Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi uniforme.
C13.c 1 Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle.
Activité n°1 : du discret au continu
Contexte :
Une variable aléatoire associe, à un événement, un nombre. Ce nombre était
jusqu'ici un entier (la face d'un dé, par exemple), ou appartenant tout au moins à un ensemble fini de valeurs.
Nous allons étudier ici des variables aléatoires qui associent à un événement, un nombre réel.
a. Dans l'intervalle [0;1], combien y a-t-il de nombres d'au plus une décimale (i.e.
0;0,1 ;...) ?
...
...
b. Dans l'intervalle [0;1], combien y a-t-il de nombres d'au plus deux décimales ?
...
...
c. Dans l'intervalle [0;1], combien y a-t-il de nombres d'au plus dix décimales ? ...
...
d. On s'intéresse à la variable aléatoire qui donne au hasard et de façon
équiprobable un nombre à au plus dix décimales, entre 0 et 1 inclus. Quelle est la probabilité d'obtenir 0,3142536475 ?
...
...
e. On s'intéresse maintenant à la variable aléatoire qui donne au hasard et de façon équiprobable un nombre réel toujours compris entre 0 et 1. Que vaut
P(X=15) ?
...
...
f. Conjecturer P(0≤X≤1001 ) ? P(1001 ≤X≤ 2
100) ?P(1002 ≤X≤ 3 100) ?
P(1003 ≤X≤ 4
100) sur l'intervalle [0;1]?
...
...
...
...
g. Sur le repère suivant, construire le graphique donnant P(x≤X≤x+1001 ) en
fonction de x (x variant de 0 à 0,99).
h. Quelle fonction f semble dessiner cette répartition ?
...
...
Cette fonction s'appelle densité de probabilité de la loi suivie par X. i. Conjecturer P(0≤X≤15) ?P(0≤X≤25) ?P(0≤X≤35) ?P(0≤X≤45) ?
P(0≤X≤55) ?
...
...
...
...
...
j. Sur le repère suivant, construire le graphique donnant P(0≤X≤x) en fonction de x.
k. Quelle fonction F semble dessiner cette répartition ?
...
l. Quelle relation semble-t-il y avoir entre f et F?
...
...
...
...
m. Interpréter P(0≤X≤x) sous la forme d'une intégrale.
...
n. Que peut-on dire de F(1) ?
...
Cours n°1
I) Généralités
Contexte :
Une variable aléatoire associe, à un événement, un nombre. Ce nombre était
jusqu'ici un entier (la face d'un dé, par exemple), ou appartenant tout au moins à un ensemble fini de valeurs.
Nous allons étudier ici des variables aléatoires qui associent à un événement, un nombre réel.
Définition n°1
On appelle fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire X sur l'intervalle I toute fonction f définie, continue, et positive sur I telle que
∫I
f (t)dt=...
Remarques :
Si I = [a;b], alors ∫
I
f (t)dt=∫
a b
f (t)dt
Si I = [a;+∞], alors ∫
I
f (t)dt=lim
x→+∞∫
a x
f (t)dt
Si I = [–∞ ; b], alors ∫
I
f (t)dt=lim
x→−∞∫
x b
f (t)dt
Propriété n°1
Si X est une variable aléatoire définie sur I et de densité f, alors, pour tout intervalle
[a;b] de
I, on a : P(a≤X≤b) =...
Propriété n°2
Si X est une variable aléatoire définie sur I et de densité f, alors : 1. P(X ∈ I) = …
2. x ∈ R, P(X = x)= …
3. a ∈ I, b ∈I, P(a≤X≤b) =P(a<X≤b) = ... = …...
4. a ∈I, b ∈I, P(a≤X≤b) = P(X ≤ ....) –P(X ≤ ....)
5. a ∈I, P(X>a) =...
Définition n°2 (Espérance)
Si X est une variable aléatoire définie sur I et de densité f, alors l'espérance mathématique de X est définie par :
E(X) =∫
a b
tf (t)dt
Exemple n°1
Soit X une variable aléatoire définie sur [0;4] et de densité f(x)=( 4x)3.
1. Vérifier que f est une fonction de densité.
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
2. Calculer P(0<x<2).
...
...
...
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...
...
...…
3. Calculer l'espérance de X.
... ...
...
...
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...
...
...
...
Se Tester n°1 - C13_1 (/4)
Objectifs :
Niveau a eca n C13.a 1 Savoir utiliser une fonction de densité pour calculer des
probabilités de variables continues et l'espérance d'une loi à densité.
Ex.1
Soit X une variable aléatoire définie sur [0;8] et de densité f(x)=(8x)7
1[2]. Vérifier que f est une fonction de densité.
...
...
...
...
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...
...
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...
...
...…
2[1]. Calculer P(0<x< 4).
...
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...
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...
...
...…
3[1]. Calculer l'espérance de X.
...
...
...
...
...
...
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...
...
...
...…
Indices et résultats Voir l’exemple du cours.
Interrogation n°1 Objectifs :
C13.a_Niv1 : Savoir utiliser une fonction de densité pour calculer des probabilités de variables continues et l'espérance d'une loi.
Exercice n°1
Ex.1 p.334
Exercice n°2
Ex.2 p.334
Exercice n°3*
Ex.37 p.336
Cours n°2
II) Loi uniforme Définition n°3
On appelle loi uniforme sur [a;b] la loi de probabilité dont la fonction de densité est définie sur R par :
f (x)={...−...1 0 sinon .si a≤x≤b.
Remarque : elle modélise le tirage aléatoire d'un nombre compris entre a et b.
Propriété n°3
Si X est une variable aléatoire de densité la loi uniforme f : 1) Si x<a, alors P(X ≤ x) = …
2) Si a ≤x ≤ b, alors P(X ≤ x) = …...
3) si x>b, alors P(X ≤ x) = …
Démonstration
... ...
...
...
...
...
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...
...
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...
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...
...
...
...
...
...
Propriété n°4
Si X est une variable aléatoire de densité la loi uniforme f : On considère deux réels α et β tels que a ≤α ≤ β ≤ b. Alors :
P(α ≤ X ≤β) = ... – ... = …...
Exemple n°2
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur
[0;4].
Calculer P(2 ≤X ≤ 3).
...…
...…
...…
...…
...…
...…
...
Propriété n°5
0 1 2 3 4 5 x
y
Si X est une variable aléatoire de densité la loi uniforme f : L'espérance E(X) = …...
Démonstration
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...
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...
Exemple n°3
Calculer l'espérance mathématique de X si X suit la loi uniforme sur [0;4].
...
...
...
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...
Se tester n°2 - C13_2 (/2)
Objectifs :
Niveau a eca n
C13.b 1 Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi uniforme.
Ex.1
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [0;6]. 1[1]. Calculer P(2 ≤X ≤ 3).
...
...
...
...…
2[1]. Calculer l'espérance de X.
...
...
...
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...
...
...…
Indices et résultats Voir exemples du cours.
Interrogation n°2 Objectifs :
C13.b_Niv1 : Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi uniforme.
Exercice n°4
Ex.6 p.334
Exercice n°5
Ex.9 p.334
Exercice n°6
Ex.47 p.336
Exercice n°7
Ex.49 p.337
Cours n°3
III) Loi exponentielle Définition n°4
Pour tout réel λ>0, on dit qu'une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre λ si sa fonction de densité est la fonction f définie sur [0;+ ∞[ par f(x)=
λe-λx.
Propriété n°6
Si X suit la loi exponentielle de paramètre λ alors, pour tous réels a et b tel que 0 ≤ a
≤b :
1) P(a ≤ X ≤ b) = …...
2) P(X ≤ b) = …...
3) P(X ≥ a) = …...
Démonstration
... ...
...
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...
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...
Exemple n°4
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,3. Calculer P(2 ≤X ≤ 3).
...
...
...
...
...
Propriété n°7
Si X suit la loi exponentielle de paramètre λ
alors l'espérance E(X) vaut
E(X) = …...
Démonstration
... ...
...
...
...
...
...
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...
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...
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...
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...
...
0 1 2 3 4 5 x
y
...
...
...
... ...
...
Exemple n°5
Calculer l'espérance mathématique de X si X suit la loi exponentielle de paramètre
0,3.
...
...
...
...
...
...
...
Se tester n°3 - C13_3 (/4)
Objectifs :
Niveau a eca n
C13.c 1 Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle.
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,3. 1[f:1:r:1]. Calculer P(1 ≤X ≤ 4).
... ...
...
...
...
...
...
2[f:1:r:1]. Calculer l'espérance de X.
...
...
...
...
...
...
...…
Indices et résultats Voir exemples du cours.
Interrogation n°3 Objectifs :
C13.c_Niv1 : Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle.
Exercice n°8
Ex.10 p.334
Exercice n°9
Ex.61 p.337
Exercice n°10*
Ex.66 p.338
Exercice n°11*
Sujet A p.349
Exercice n°12**
Sujet E p.350
Exercice n°13***
Ex.139 p.352
Indices et résultats
Ex.n°1 (Ex.1 p.334) : a. P(X=5)=0. b. P(X≤5)=0,6. c. P(X >5)=0,4. d. P(5<X<10)=0,4. Ex.n°2 (Ex.2 p.334) : a. P(X>4)=0,8. b. P(X>11)=0. c. P(X<7)=0,5. d. P(4<X<7)=0,3. Ex.n°3* (Ex.37 p.336) : 1.a. b. f est continue, positive et ∫
0 1
f (t)dt=1 2.a.
P(X<0,25)= 5
32 ≈0,156 b. P(X>1 3 )=7
9 ≈0,778 c. P(0,1<X<0,7)=0,54 d.
E(X)= 7
12 ≈0,583.
Ex.n°4 (Ex.6 p.334) : P(X<0,2)=0,2 et P(X>3 7 )=4
7
Ex.n°5 (Ex.9 p.334) : 1.1
3 2. 12,5 min.
Ex.n°6 (Ex.47 p.336) : 1. P(X<10)=2
3 2. P(X>0,5)=29
30 3. 7 min 30 s
Ex.n°7 (Ex.49 p.337) : 1. f(x)=1
8 2.a. P(A)=3
8 2.b. P(B)=3
8 2.c. P(C)=5
8 2.d. P(D)=
19
40 3. k=14 4. t=16,64 5. E(X)=16.
Ex.n°8 (Ex.10 p.334) : a. P(0,1 ≤ T ≤ 0,2) ≈0,086 b. P(T ≤ 1) ≈0,632 c. P(T > 0,5) ≈ 0,607
Ex.n°9 (Ex.61 p.337) : 1. 5 ans 2. P(X<7) ≈0,753 ; P(X>7) ≈0,247 et P(4<X<7) ≈ 0,203. PX>4(X<7) ≈0,451.
Ex.n°10* (Ex.66 p.338) : 1.a. P(5<T<10)=0 1.b. λ=ln 15
16 2.a.7h 9 min. 2.b.P(T>5)≈0,497 2.c.PT>4(T>9) ≈ 0,497.
Ex.n°11* (Sujet A p.349) : 1. F(4)-F( 1
4 ) avec F(x)=2
3 . 2.a. P(X<2) = 2
3 ( √2 – 12 ) ≈
0,609 2.b. P(X>1) =2
3 ≈ 0,667 3.a. k=2
3 3.b.
7
4 =1+ 3 4
Ex.n°12** (Sujet E p.350) : 1.a. A=-1 et B= – 1
λ . 1.b.
1
λ (-λbe-λb – e-λb + 1) 1.c. 1 λ
2.a. λ=- ln(0,771)
1000 ≈ 2,6 × 10-4. 2.b. 3 845 h.
Ex.n°13*** (Ex.139 p.352) : Partie A 1. 0 2.a. Partie B.1. λ=
ln 15
16 ≈0,169. 2.a.P(X≤R)=1 – e-0,17R. 2.b. P(R≤X≤16)= e-0,17R –e-2,72. 2.c. R=g(n). 3. g(10) ≈ 0,522 et g(11) ≈ 0,477 . R>0,5 equivalent à 1≤n≤10. 4. R ≈1,2 cm.
5.a.0,1845 5.b. 0,7496 5.c. 0,1977. Partie C 1.binomiale, n=5, p ≈0,1845 2. ≈ 0,0467.
Chapitre n°13 – Variables aléatoires continues.
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
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Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
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Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
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Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
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Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
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Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
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Date d’aujourd’hui : ...
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Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
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Objectifs :
Niveau a eca n
C13.a 1 Savoir utiliser une fonction de densité pour calculer des probabilités de variables continues et l'espérance d'une loi à densité.
C13.b 1 Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi uniforme.
C13.c 1 Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle.
Activité n°1 : du discret au continu
Contexte :
Une variable aléatoire associe, à un événement, un nombre. Ce nombre était
jusqu'ici un entier (la face d'un dé, par exemple), ou appartenant tout au moins à un ensemble fini de valeurs.
Nous allons étudier ici des variables aléatoires qui associent à un événement, un nombre réel.
a. Dans l'intervalle [0;1], combien y a-t-il de nombres d'au plus une décimale (i.e.
0;0,1 ;...) ?
...
...
b. Dans l'intervalle [0;1], combien y a-t-il de nombres d'au plus deux décimales ?
...
...
c. Dans l'intervalle [0;1], combien y a-t-il de nombres d'au plus dix décimales ? ...
...
d. On s'intéresse à la variable aléatoire qui donne au hasard et de façon
équiprobable un nombre à au plus dix décimales, entre 0 et 1 inclus. Quelle est la probabilité d'obtenir 0,3142536475 ?
...
...
e. On s'intéresse maintenant à la variable aléatoire qui donne au hasard et de façon équiprobable un nombre réel toujours compris entre 0 et 1. Que vaut
P(X=15) ?
...
...
f. Conjecturer P(0≤X≤1001 ) ? P(1001 ≤X≤ 2
100) ?P(1002 ≤X≤ 3 100) ?
P(1003 ≤X≤ 4
100) sur l'intervalle [0;1]?
...
...
...
...
...
g. Sur le repère suivant, construire le graphique donnant P(x≤X≤x+1001 ) en
fonction de x (x variant de 0 à 0,99).
h. Quelle fonction f semble dessiner cette répartition ?
...
...
Cette fonction s'appelle densité de probabilité de la loi suivie par X. i. Conjecturer P(0≤X≤15) ?P(0≤X≤25) ?P(0≤X≤35) ?P(0≤X≤45) ?
P(0≤X≤55) ?
...
...
...
...
...
j. Sur le repère suivant, construire le graphique donnant P(0≤X≤x) en fonction de x.
k. Quelle fonction F semble dessiner cette répartition ?
...
l. Quelle relation semble-t-il y avoir entre f et F?
...
...
...
...
m. Interpréter P(0≤X≤x) sous la forme d'une intégrale.
...
n. Que peut-on dire de F(1) ?
...
Cours n°1
I) Généralités
Contexte :
Une variable aléatoire associe, à un événement, un nombre. Ce nombre était
jusqu'ici un entier (la face d'un dé, par exemple), ou appartenant tout au moins à un ensemble fini de valeurs.
Nous allons étudier ici des variables aléatoires qui associent à un événement, un nombre réel.
Définition n°1
On appelle fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire X sur l'intervalle I toute fonction f définie, continue, et positive sur I telle que
∫I
f (t)dt=...
Remarques :
Si I = [a;b], alors ∫
I
f (t)dt=∫
a b
f (t)dt
Si I = [a;+∞], alors ∫
I
f (t)dt=lim
x→+∞∫
a x
f (t)dt
Si I = [–∞ ; b], alors ∫
I
f (t)dt=lim
x→−∞∫
x b
f (t)dt
Propriété n°1
Si X est une variable aléatoire définie sur I et de densité f, alors, pour tout intervalle
[a;b] de
I, on a : P(a≤X≤b) =...
Propriété n°2
Si X est une variable aléatoire définie sur I et de densité f, alors : 1. P(X ∈ I) = …
2. x ∈ R, P(X = x)= …
3. a ∈ I, b ∈I, P a≤X≤b =P a<X≤b = ... = …...
4. a ∈I, b ∈I, P(a≤X≤b) = P(X ≤ ....) –P(X ≤ ....)
5. a ∈I, P(X>a) =...
Définition n°2 (Espérance)
Si X est une variable aléatoire définie sur I et de densité f, alors l'espérance mathématique de X est définie par :
E(X) =∫
a b
tf (t)dt
Exemple n°1
Soit X une variable aléatoire définie sur [0;4] et de densité f(x)=( 4x)3.
1. Vérifier que f est une fonction de densité.
...
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2. Calculer P(0<x<2).
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3. Calculer l'espérance de X.
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Se Tester n°1 - C13_1 (/4)
Objectifs :
Niveau a eca n C13.a 1 Savoir utiliser une fonction de densité pour calculer des
probabilités de variables continues et l'espérance d'une loi à densité.
Ex.1
Soit X une variable aléatoire définie sur [0;2] et de densité f(x)=( 2x)1
1[2]. Vérifier que f est une fonction de densité.
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2[1]. Calculer P(0<x< 1).
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3[1]. Calculer l'espérance de X.
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Indices et résultats Voir l’exemple du cours.
Interrogation n°1 Objectifs :
C13.a_Niv1 : Savoir utiliser une fonction de densité pour calculer des probabilités de variables continues et l'espérance d'une loi.
Exercice n°1
Ex.1 p.334
Exercice n°2
Ex.2 p.334
Exercice n°3*
Ex.37 p.336
Cours n°2
II) Loi uniforme Définition n°3
On appelle loi uniforme sur [a;b] la loi de probabilité dont la fonction de densité est définie sur R par :
f (x)={...−...1 0 sinon .si a≤x≤b.
Remarque : elle modélise le tirage aléatoire d'un nombre compris entre a et b.
Propriété n°3
Si X est une variable aléatoire de densité la loi uniforme f : 1) Si x<a, alors P(X ≤ x) = …
2) Si a ≤x ≤ b, alors P(X ≤ x) = …...
3) si x>b, alors P(X ≤ x) = …
Démonstration
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Propriété n°4
Si X est une variable aléatoire de densité la loi uniforme f : On considère deux réels α et β tels que a ≤α ≤ β ≤ b. Alors :
P(α ≤ X ≤β) = ... – ... = …...
Exemple n°2
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur
[0;4].
Calculer P(2 ≤X ≤ 3).
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Propriété n°5
0 1 2 3 4 5 x
y
Si X est une variable aléatoire de densité la loi uniforme f : L'espérance E(X) = …...
Démonstration
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Exemple n°3
Calculer l'espérance mathématique de X si X suit la loi uniforme sur [0;4].
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Se tester n°2 - C13_2 (/2)
Objectifs :
Niveau a eca n
C13.b 1 Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi uniforme.
Ex.1
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [0;7]. 1[1]. Calculer P(2 ≤X ≤ 3).
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2[1]. Calculer l'espérance de X.
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Indices et résultats Voir exemples du cours.
Interrogation n°2 Objectifs :
C13.b_Niv1 : Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi uniforme.
Exercice n°4
Ex.6 p.334
Exercice n°5
Ex.9 p.334
Exercice n°6
Ex.47 p.336
Exercice n°7
Ex.49 p.337
Cours n°3
III) Loi exponentielle Définition n°4
Pour tout réel λ>0, on dit qu'une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre λ si sa fonction de densité est la fonction f définie sur [0;+ ∞[ par f(x)=
λe-λx.
Propriété n°6
Si X suit la loi exponentielle de paramètre λ alors, pour tous réels a et b tel que 0 ≤ a
≤b :
1) P(a ≤ X ≤ b) = …...
2) P(X ≤ b) = …...
3) P(X ≥ a) = …...
Démonstration
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Exemple n°4
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,3. Calculer P(2 ≤X ≤ 3).
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Propriété n°7
Si X suit la loi exponentielle de paramètre λ
alors l'espérance E(X) vaut
E(X) = …...
Démonstration
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0 1 2 3 4 5 x
y
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Exemple n°5
Calculer l'espérance mathématique de X si X suit la loi exponentielle de paramètre
0,3.
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Se tester n°3 - C13_3 (/4)
Objectifs :
Niveau a eca n
C13.c 1 Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle.
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,3. 1[f:1:r:1]. Calculer P(1 ≤X ≤ 2).
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2[f:1:r:1]. Calculer l'espérance de X.
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Indices et résultats Voir exemples du cours.
Interrogation n°3 Objectifs :
C13.c_Niv1 : Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle.
Exercice n°8
Ex.10 p.334
Exercice n°9
Ex.61 p.337
Exercice n°10*
Ex.66 p.338
Exercice n°11*
Sujet A p.349
Exercice n°12**
Sujet E p.350
Exercice n°13***
Ex.139 p.352
