Chapitre n°13

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1/13 T.S. 2015 – Chap.13 : lois de variables aléatoires continues Partie 1/2

Chapitre n°13

Objectifs

1. Loi uniforme sur [ a ; b ] ( Loi à densité sur un intervalle )

→Connaître la fonction de densité de la loi uniforme ainsi que l'espérance d'une variable aléatoire qui suit cette loi uniforme.

[le random d'une calculatrice, d'un tableur ou d'un langage suit la loi uniforme sur [0;1]. La notion d'espérance sur du continu sur un intervalle [a;b] vaut E(X)=

∫

a b

t f(t)dt .][Approfondissements possibles : Méthode de Monte-Carlo]

2. Loi exponentielle ( Loi à densité sur un intervalle ) :

→Savoir calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle.

[Démontrer qu'une variable aléatoire T suivant une loi exponentielle vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement : PTt(Tt+h)=P(Th)]

Démonstration : l'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre  est _λ¹ . [E(X)=lim

x→∞

∫

0 x

t f(t)dt est l'espérance de la loi exponentielle, fétant la fonction de densité de la loi exponentielle.]

[ Cette partie du programme se prête à l'étude de situations concrètes : radioactivité, durée de fonctionnement d'un système non soumis à un phénomène d'usure]

Activité n°1 : du discret au continu

Contexte :

Une variable aléatoire associe, à un événement, un nombre. Ce nombre était jusqu'ici un entier (la face d'un dé, par exemple), ou appartenant tout au moins à un ensemble fini de valeurs.

Nous allons étudier ici des variables aléatoires qui associent à un événement, un nombre réel.

a. Dans l'intervalle [0;1], combien y a-t-il de nombres d'au plus une décimale (i.e. 0;0,1 ;...) ?

...

b. Dans l'intervalle [0;1], combien y a-t-il de nombres d'au plus deux décimales ?

...

c. Dans l'intervalle [0;1], combien y a-t-il de nombres d'au plus dix décimales ? ...

d. On s'intéresse à la variable aléatoire qui donne au hasard et de façon équiprobable un nombre à au plus dix décimales, entre 0 et 1 inclus. Quelle est la probabilité d'obtenir 0,3142536475 ?

...

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e. On s'intéresse maintenant à la variable aléatoire qui donne au hasard et de façon équiprobable un nombre réel. Que vaut P

(

^X⁼¹5

)

^?

...

f. Conjecturer P

(

^0≤^X^≤100¹

)

^?^P

(

100¹ ≤X≤ 2

100

)

^?^P

(

100² ≤X≤ 3 100

)

^?

P

(

100³ ≤X≤ 4 100

)

^?

...

g. Sur le repère suivant, construire le graphique donnant P

(

^x≤^X^≤^x⁺100¹

)

^en

fonction de x (x variant de 0 à 0,99).

h. Quelle fonction f semble dessiner cette répartition ?

...

Cette fonction s'appelle densité de probabilité de la loi suivie par X.

(3)

3/13 T.S. 2015 – Chap.13 : lois de variables aléatoires continues Partie 1/2 i. Conjecturer P

(

^0≤^X^≤¹5

)

^?^P

(

^0≤^X^≤²5

)

^?^P

(

^0≤^X^≤³5

)

^?^P

(

^0≤^X^≤⁴5

)

^?

P

(

^0≤^X^≤⁵5

)

^?

...

j. Sur le repère suivant, construire le graphique donnant P(0≤X≤x) en fonction de x.

k. Quelle fonction F semble dessiner cette répartition ?

...

l. Quelle relation semble-t-il y avoir entre f et F?

...

m. Interpréter P(0≤X≤x)sous la forme d'une intégrale.

...

n. Que peut-on dire de F(1) ?

...

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Cours n°1

I) Généralités

Contexte :

Une variable aléatoire associe, à un événement, un nombre. Ce nombre était jusqu'ici un entier (la face d'un dé, par exemple), ou appartenant tout au moins à un ensemble fini de valeurs.

Nous allons étudier ici des variables aléatoires qui associent à un événement, un nombre réel.

Définition n°1

On appelle fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire X sur l'intervalle I toute fonction f définie, continue, et positive sur I telle que

∫

I

f (t)dt=...

Remarques :

Si I = [a;b], alors

∫

I

f (t)dt=

∫

a b

f(t)dt Si I = [a;+∞], alors

∫

I

f (t)dt=lim

x→+∞

∫

a x

f (t)dt Si I = [–∞ ; b], alors

∫

I

f (t)dt=lim

x→−∞

∫

x b

f(t)dt

Propriété n°1

Si X est une variable aléatoire définie sur I et de densité f, alors, pour tout intervalle [a;b] de

I, on a : P(a≤X≤b)=...

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Propriété n°2

Si X est une variable aléatoire définie sur I et de densité f, alors : 1. P(X ∈ I) = …

2.  x ∈ R, P(X = x)= …

3.  a ∈ I,  b ∈ I, P(a≤X≤b)=P(a<X≤b)= ... = …...

4.  a ∈ I,  b ∈ I, P(a≤X≤b)= P(X ≤ ....) – P(X ≤ ....) 5.  a ∈ I, P(X>a)=...

Définition n°2 (Espérance)

Si X est une variable aléatoire définie sur I et de densité f, alors l'espérance mathématique de X est définie par :

E(X) =

∫

a b

tf (t)dt

Exemple n°1

Soit X une variable aléatoire définie sur [0;4] et de densité f(x)=

(

⁴^x

)

³^.

1. Vérifier que f est une fonction de densité.

...

2. Calculer P(0<x<2).

...

3. Calculer l'espérance de X.

...

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(6)

Exercice n°1

Ex.1 p.334

Exercice n°2

Ex.2 p.334

Exercice n°3*

Ex.37 p.336

Cours n°2

II) Loi uniforme Définition n°3

On appelle loi uniforme sur [a;b] la loi de probabilité dont la fonction de densité est définie sur R par :

f (x)=

{

^...−...¹ ^{0 sinon .}^si ^a≤^x≤b^.

Remarque : elle modélise le tirage aléatoire d'un nombre compris entre a et b.

Propriété n°3

Si X est une variable aléatoire de densité la loi uniforme f : 1) Si x<a, alors P(X ≤ x) = …

2) Si a ≤ x ≤ b, alors P(X ≤ x) = …...

3) si x>b, alors P(X ≤ x) = …

Démonstration

...

(7)

(8)

...

Propriété n°4

Si X est une variable aléatoire de densité la loi uniforme f : On considère deux réels α et β tels que a ≤ α ≤ β ≤ b.

Alors :

P(α ≤ X ≤ β) = ... – ... = …...

Exemple n°2

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [0;4].

Calculer P(2 ≤ X ≤ 3).

...

0 1 2 3 4 5 x

y

(9)

Propriété n°5

Si X est une variable aléatoire de densité la loi uniforme f : L'espérance E(X) = …...

Démonstration

...

Exemple n°3

Calculer l'espérance mathématique de X si X suit la loi uniforme sur [0;4].

...

Exercice n°4

Ex.6 p.334

Exercice n°5

Ex.9 p.334

Exercice n°6

Ex.47 p.336

Exercice n°7

Ex.49 p.337

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(10)

(11)

Cours n°3

III) Loi exponentielle Définition n°4

Pour tout réel λ>0, on dit qu'une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre λ si sa fonction de densité est la fonction f définie sur [0;+ ∞[ par f(x)= λe^-λx.

Propriété n°6

Si X suit la loi exponentielle de paramètre λ alors, pour tous réels a et b tel que 0 ≤ a ≤ b :

1) P(a ≤ X ≤ b) = …...

2) P(X ≤ b) = …...

3) P(X ≥ a) = …...

Démonstration

...

Exemple n°4

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,3.

Calculer P(2 ≤ X ≤ 3).

...

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0 1 2 3 4 5 x

y

(12)

Propriété n°7

Si X suit la loi exponentielle de paramètre λ alors l'espérance E(X) vaut E(X) = …...

Démonstration

...

Exemple n°5

Calculer l'espérance mathématique de X si X suit la loi exponentielle de paramètre 0,3.

...

Exercice n°8

Ex.10 p.334

Exercice n°9

Ex.61 p.337

(13)

(14)

(15)

Exercice n°10*

Ex.66 p.338

Exercice n°11*

Sujet A p.349

Exercice n°12**

Sujet E p.350

Exercice n°13***

Ex.139 p.352

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Indices et résultats

Ex.n°1 (Ex.1 p.334) : a. P(X=5)=0. b. P(X≤5)=0,6. c. P(X >5)=0,4. d. P(5<X<10)=0,4. Ex.n°2 (Ex.2 p.334) : a. P(X>4)=0,8. b. P(X>11)=0. c. P(X<7)=0,5. d. P(4<X<7)=0,3.

Ex.n°3* (Ex.37 p.336) : 1.a. b. f est continue, positive et

∫

0 1

f(t)dt=1

2.a. P(X<0,25)= 5

32 ≈0,156 b. P(X> 1 3 )= 7

9 ≈0,778 c. P(0,1<X<0,7)=0,54 d.

E(X)= 7

12 ≈0,583.

Ex.n°4 (Ex.6 p.334) : P(X<0,2)=0,2 et P(X> 3 7 )= 4

7 Ex.n°5 (Ex.9 p.334) : 1. 1

3 2. 12,5 min.

Ex.n°6 (Ex.47 p.336) : 1. P(X<10)= 2

3 2. P(X>0,5)= 29

30 3. 7 min 30 s Ex.n°7 (Ex.49 p.337) : 1. f(x)= 1

8 2.a. P(A)= 3

8 2.b. P(B)= 3

8 2.c. P(C)= 5

8 2.d. P(D)=

19

40 3. k=14 4. t=16,64 5. E(X)=16.

Ex.n°8 (Ex.10 p.334) : a. P(0,1 ≤ T ≤ 0,2) ≈0,086 b. P(T ≤ 1) ≈0,632 c. P(T > 0,5) ≈ 0,607 Ex.n°9 (Ex.61 p.337) : 1. 5 ans 2. P(X<7) ≈ 0,753 ; P(X>7) ≈ 0,247 et P(4<X<7) ≈ 0,203.

PX>4(X<7) ≈0,451.

Ex.n°10* (Ex.66 p.338) : 1.a. P(5<T<10)=0 1.b. λ=ln 15

16 2.a.7h 9 min. 2.b.P(T>5)≈0,497 2.c.PT>4(T>9) ≈ 0,497.

Ex.n°11* (Sujet A p.349) : 1. F(4)-F( 1

4 ) avec F(x)= 2

3

√

^x ^{. 2.a.}P(X<2) = 2

3 (

√

^{2 –} ¹₂

) ≈ 0,609 2.b. P(X>1) = 2

3 ≈ 0,667 3.a. k= 2

3 3.b. 7

4 =1+ 3 4 Ex.n°12** (Sujet E p.350) : 1.a. A=-1 et B= – 1

λ . 1.b. 1

λ (-λbe^-λb – e^-λb + 1) 1.c. 1 λ 2.a. λ=- ln(0,771)

1000 ≈ 2,6 × 10^-4. 2.b. 3 845 h.

Ex.n°13*** (Ex.139 p.352) : Partie A 1. 0 2.a. Partie B.1. λ=

ln 15

16 ≈0,169. 2.a.P(X≤R)=1 – e^-0,17R. 2.b. P(R≤X≤16)= e^-0,17R – e^-2,72. 2.c. R=g(n). 3. g(10) ≈ 0,522 et g(11) ≈ 0,477 . R>0,5 equivalent à 1≤n≤10. 4. R ≈ 1,2 cm. 5.a.0,1845 5.b. 0,7496 5.c. 0,1977. Partie C 1.binomiale, n=5, p ≈0,1845 2. ≈ 0,0467.

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13/13

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C... (format Cn°de chap.n° d'interrogation)

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :