Chapitre n°13 – Variables aléatoires continues. Objectifs :

(1)

Chapitre n°13 – Variables aléatoires continues.

Objectifs :

Niveau a eca n

C13.a ¹ Savoir utiliser une fonction de densité pour calculer des probabilités de variables continues et l'espérance d'une loi à densité.

C13.b ¹ Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi uniforme.

C13.c ¹ Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle.

Activité n°1 : du discret au continu

Contexte :

Une variable aléatoire associe, à un événement, un nombre. Ce nombre était

jusqu'ici un entier (la face d'un dé, par exemple), ou appartenant tout au moins à un ensemble fini de valeurs.

Nous allons étudier ici des variables aléatoires qui associent à un événement, un nombre réel.

a. Dans l'intervalle

[0;1]

, combien y a-t-il de nombres d'au plus une décimale (i.e.

0;0,1 ;...) ?

...

b. Dans l'intervalle

[0;1]

, combien y a-t-il de nombres d'au plus deux décimales ?

...

c. Dans l'intervalle

[0;1]

, combien y a-t-il de nombres d'au plus dix décimales ? ...

...

d. On s'intéresse à la variable aléatoire qui donne au hasard et de façon

équiprobable un nombre à au plus dix décimales, entre

0

et

1

inclus. Quelle est la probabilité d'obtenir

0,3142536475

?

...

e. On s'intéresse maintenant à la variable aléatoire qui donne au hasard et de façon équiprobable un nombre réel toujours compris entre 0 et 1. Que vaut

P ( ^X ⁼ ¹ ⁵ )

^?

...

f. Conjecturer

P ( ^0≤X ^≤ ¹⁰⁰ ¹ )

^?

^P ( ¹⁰⁰ ¹ ^≤X ^≤ ¹⁰⁰ ² )

^?

^P ( ¹⁰⁰ ² ^≤X ^≤ ¹⁰⁰ ³ )

^?

P ( ¹⁰⁰ ³ ^≤X ^≤ ¹⁰⁰ ⁴ )

sur l'intervalle [0;1]?

...

(2)

...

g. Sur le repère suivant, construire le graphique donnant

P ( ^x≤X ^≤x+ ¹⁰⁰ ¹ )

^en

fonction de

x

(

x

variant de

0

à

0,99

).

h. Quelle fonction

f

semble dessiner cette répartition ?

...

Cette fonction s'appelle densité de probabilité de la loi suivie par

X

. i. Conjecturer

P ( ^0≤X ^≤ ¹ 5 )

^?

^P ( ^0≤X ^≤ ² 5 )

^?

^P ( ^0≤X ^≤ ³ 5 )

^?

^P ( ^0≤X ^≤ ⁴ 5 )

^?

P ( ^0≤X ^≤ ⁵ ⁵ )

^?

...

j. Sur le repère suivant, construire le graphique donnant P

(

0≤X≤x

)

en fonction de

x

.

(3)

k. Quelle fonction

F

semble dessiner cette répartition ?

...

l. Quelle relation semble-t-il y avoir entre

f et F

?

...

m. Interpréter P

(

0≤X≤x

)

sous la forme d'une intégrale.

...

n. Que peut-on dire de

F(1)

?

...

(4)

Cours n°1

I) Généralités

Contexte :

Une variable aléatoire associe, à un événement, un nombre. Ce nombre était

jusqu'ici un entier (la face d'un dé, par exemple), ou appartenant tout au moins à un ensemble fini de valeurs.

Nous allons étudier ici des variables aléatoires qui associent à un événement, un nombre réel.

Définition n°1

On appelle fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire

X

sur l'intervalle

I

toute fonction

f

définie, continue, et positive sur

I

telle que

∫

I

f (t )dt =...

Remarques :

Si

I = [a;b]

, alors

∫

I

f (t ) dt = ∫

a b

f (t ) dt

Si

I = [a;+∞]

, alors

∫

I

f (t ) dt = lim

x→ +∞

∫

a x

f (t ) dt

Si

I = [–∞ ; b]

, alors

∫

I

f (t )dt = lim

x→−∞

∫

x b

f (t ) dt

Propriété n°1

Si

X

est une variable aléatoire définie sur

I

et de densité

f

, alors, pour tout intervalle

[a;b]

de

I

, on a : P

(

a≤X≤b

) =...

Propriété n°2

Si

X

I

et de densité

f

, alors : 1.

P(X ∈ I) = …

2. 

x ∈

R,

P(X = x)= …

3. 

a ∈ I,



b ∈ I,

P

(

a≤X≤b

) =

P

(

a<X≤b

) = ... = …...

(5)

4. 

a ∈ I,



b ∈ I, P ( a≤X ≤b ) = P(X ≤ ....) – P(X ≤ ....)

5. 

a ∈ I,

P

(

X>a

) =...

Définition n°2 (Espérance)

Si

X

I

et de densité

f

, alors l'espérance mathématique de

X

est définie par :

E(X) = ∫

a b

tf ( t) dt

Exemple n°1

Soit

X

une variable aléatoire définie sur

[0;4]

et de densité

f(x)= ( ⁴ ^x )

³^.

1. Vérifier que

f

est une fonction de densité.

...

...…

2. Calculer

P(0<x<2).

...

...…

3. Calculer l'espérance de

X

.

... ...

...

/i{E:\Docus\newdocs\TS\TS_2017_CHAP13_Setester_1_NG.odt}

Interrogation n°1 Objectifs :

C13.a_Niv1 : Savoir utiliser une fonction de densité pour calculer des probabilités de

(6)

variables continues et l'espérance d'une loi.

Exercice n°1

Ex.1 p.334

Exercice n°2

Ex.2 p.334

Exercice n°3*

Ex.37 p.336

Cours n°2

II) Loi uniforme Définition n°3

On appelle loi uniforme sur

[a;b]

la loi de probabilité dont la fonction de densité est définie sur R par :

f ( x )= { ^...− ¹ ^... ^{0 sinon .} ^si ^a≤x≤b ^.

Remarque : elle modélise le tirage aléatoire d'un nombre compris entre

a

et

b

.

Propriété n°3

Si

X

est une variable aléatoire de densité la loi uniforme

f

: 1) Si

x<a

, alors

P(X ≤ x) = …

2) Si

a ≤ x ≤ b

, alors

P(X ≤ x) = …...

3) si

x>b

, alors

P(X ≤ x) = …

Démonstration

... ...

...

(7)

...

Propriété n°4

Si

X

f

: On considère deux réels

α

et

β

tels que

a ≤ α ≤ β ≤ b

. Alors :

P(α ≤

X

≤ β) = ... – ... =

…...

Exemple n°2

Soit

X

une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur

[0;4]

.

Calculer

P(2 ≤ X ≤ 3)

.

...…

...

Propriété n°5

Si

X

f

: L'espérance

E(X) = …...

Démonstration

...

0 1 2 3 4 5 x

y

(8)

...

... . ...

Exemple n°3

Calculer l'espérance mathématique de

X

si

X

suit la loi uniforme sur

[0;4]

.

...

/i{E:\Docus\newdocs\TS\TS_2017_CHAP13_Setester_2_NG.odt}

Interrogation n°2 Objectifs :

C13.b_Niv1 : Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi uniforme.

Exercice n°4

Ex.6 p.334

Exercice n°5

Ex.9 p.334

Exercice n°6

Ex.47 p.336

Exercice n°7

Ex.49 p.337

Cours n°3

III) Loi exponentielle Définition n°4

Pour tout réel

λ>0

, on dit qu'une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre

λ

si sa fonction de densité est la fonction

f

définie sur

[0;+ ∞[

par

f(x)=

λe

^-λx.

Propriété n°6

Si

X

suit la loi exponentielle de paramètre

λ

alors, pour tous réels

a

et

b

tel que

0 ≤ a

≤ b

:

(9)

1)

P(a ≤ X ≤ b) = …...

2)

P(X ≤ b) = …...

3)

P(X ≥ a) = …...

Démonstration

... ...

...

Exemple n°4

Soit

X

une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre

0,3

. Calculer

P(2 ≤ X ≤ 3)

.

...

Propriété n°7

Si

X

λ

alors l'espérance

E(X)

vaut

E(X) =

…...

Démonstration

... ...

...

0 1 2 3 4 5 x

y

(10)

...

Exemple n°5

Calculer l'espérance mathématique de

X

si

X

0,3

.

...

/i{E:\Docus\newdocs\TS\TS_2017_CHAP13_Setester_3_NG.odt}

Interrogation n°3 Objectifs :

C13.c_Niv1 : Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle.

Exercice n°8

Ex.10 p.334

Exercice n°9

Ex.61 p.337

Exercice n°10*

Ex.66 p.338

Exercice n°11*

Sujet A p.349

Exercice n°12**

(11)

Sujet E p.350

Exercice n°13***

Ex.139 p.352

(12)

Indices et résultats

Ex.n°1 (Ex.1 p.334) : a.

P(X=5)=0

. b.

P(X≤5)=0,6.

c.

P(X >5)=0,4.

d.

P(5<X<10)=0,4

. Ex.n°2 (Ex.2 p.334) : a.

P(X>4)=0,8

. b.

P(X>11)=0.

c.

P(X<7)=0,5.

d.

P(4<X<7)=0,3

. Ex.n°3* (Ex.37 p.336) : 1.a. b.

f

est continue, positive et

∫

0 1

f(t)dt=12.a.

P(X<0,25)= ⁵

32 ≈0,156

b.

P(X> ¹ 3 )= ⁷

9 ≈0,778

c.

P(0,1<X<0,7)=0,54

d.

E(X)= ⁷

12 ≈0,583.

Ex.n°4 (Ex.6 p.334) :

P(X<0,2)=0,2

et

P(X> ³ 7 )= ⁴

7

Ex.n°5 (Ex.9 p.334) : 1.

1

3

^2.

12,5

min.

Ex.n°6 (Ex.47 p.336) : 1.

P(X<10)= ²

3

^2.

P(X>0,5)= ²⁹

30

^3.

7 min 30 s

Ex.n°7 (Ex.49 p.337) : 1.

f(x)= ¹

8

^2.a.

P(A)= ³

8

^2.b.

P(B)= ³

8

^2.c.

P(C)= ⁵

8

^2.d.

P(D)=

19

40

^3.

k=14

4.

t=16,64

5.

E(X)=16.

Ex.n°8 (Ex.10 p.334) : a.

P(0,1 ≤ T ≤ 0,2) ≈0,086

b.

P(T ≤ 1) ≈0,632

c.

P(T > 0,5) ≈ 0,607

Ex.n°9 (Ex.61 p.337) : 1. 5 ans 2.

P(X<7) ≈ 0,753

;

P(X>7) ≈ 0,247

et

P(4<X<7) ≈ 0,203. P

X>4

(X<7) ≈0,451

.

Ex.n°10* (Ex.66 p.338) : 1.a.

P(5<T<10)=0

1.b.

λ= ^{ln 15}

16

^2.a.

7h 9 min

. 2.b.

P(T>5)≈0,497

2.c.

P

T>4

(T>9) ≈ 0,497.

Ex.n°11* (Sujet A p.349) : 1.

F(4)-F( ¹

4 )

avec

F(x)= ²

3 √ ^x

^{. 2.a.}

P(X<2) = ²

3 ( √ ² ^–

1 2 ) ≈ 0,609

2.b.

P(X>1) = ²

3 ≈ 0,667

3.a.

k= ²

3

^3.b.

7 4 =1+ ³ 4

Ex.n°12** (Sujet E p.350) : 1.a.

A=-1

et

B= – _λ ¹

. 1.b.

1 λ (-λ

be^-λb

– e

^-λb

+ 1)

1.c.

1 λ

2.a.

λ

=-

ln (0,771)

1000

^≈

2,6 × 10

^-4. 2.b.

3 845 h

.

Ex.n°13*** (Ex.139 p.352) : Partie A 1.

0

2.a. Partie B.1.

λ=

ln 15

16 ≈0,169

. 2.a.

P(X≤R)=1 – e

^-0,17R. 2.b.

P(R≤

^X≤

16)= e

^-0,17R

– e

^-2,72. 2.c.

R=g(n)

. 3.

g(10) ≈ 0,522

et

g(11) ≈ 0,477

.

R>0,5 equivalent à 1≤n≤

10. 4.

R ≈ 1,2 cm.

5.a.

0,1845

5.b.

0,7496

5.c.

0,1977

. Partie C 1.binomiale,

n=5

,

p ≈0,1845

2.

≈ 0,0467

.

(13)

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations :

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :

Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__

Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

Chapitre n°13 – Variables aléatoires continues. Objectifs :