Chapitre 7 : lois de probabilités continues

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Chapitre 7 : lois de probabilités continues

0. Rappels : loi binomiale avec la calculatrice

Exemple : soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0,4.

À l’aide de la calculatrice calculer : a. P(X = 7)

b. P(X⩽9)

Sur CASIO : Sur TI :

a. On peut se servir de la formule de la leçon : P(X=7)=

(

²⁰⁷

)

^×^{0,4 ⁷}⁻⁽¹⁻^0,4⁾²⁰⁻⁷^{(pour le}

coefficient

(

²⁰⁷

)

dans le menu RUNMATH, taper sur OPTN puis onglet PROB, taper 20 puis choisir nCr et taper 7).

On peut aussi utiliser le menu STAT pour calculer directement P(X = 7) :

Dans le menu STAT, taper sur F5 (DIST) puis F5 (BINM), choisir Bpd. Régler :

x : 7 (valeur de X)

Numtrial : 20 (valeur de n) p : 0,4

Save Res : None La valeur apparaît.

b. Dans le menu STAT, taper sur F5 (DIST) puis F5 (BINM), choisir Bcd. Régler :

x : 9 (valeur de X)

Numtrial : 20 (valeur de n) p : 0,4

Save Res : None La valeur apparaît.

a. On peut se servir de la formule de la leçon : P(X=7)=

(

²⁰⁷

)

^×^{0,4 ⁷}⁻⁽¹⁻^0,4⁾²⁰⁻⁷^{(pour le}

coefficient

(

²⁰⁷

)

, taper 20, taper sur math puis menu PROB. Choisir Combinaison (ou nCr) puis taper 7 et valider).

On peut aussi calculer directement P(X = 7) : Taper sur 2nde puis var. Dans le menu DISTRIB, descendre pour sélectionner binomFdp (ou binompdf). Régler :

nbreEssais : 20 (valeur de n) p : 0,4

valeur de x : 7 (valeur de X)

La valeur s’affiche dans le menu de calcul.

b. Taper sur 2nde puis var. Dans le menu DISTRIB, descendre pour sélectionner binomFrép (ou binomcdf). Régler : nbreEssais : 20 (valeur de n) p : 0,4

valeur de x : 9 (valeur de X)

La valeur s’affiche dans le menu de calcul.

I. Lois à densité sur un intervalle

Définitions : on considère une fonction f définie, continue et positive sur un intervalle [a;b]. On dit que f est une fonction de densité sur [a;b] (ou une densité de probabilité) si :

∫

a b

f(x)dx=1 .

Soit une variable aléatoire X à valeurs dans l’intervalle [a;b]. On dit que X suit la loi de probabilité de fonction de densité f si, pour tous réels c⩽d dans [a;b], on a :

P(X∈[c ; d])=P(c⩽X⩽d)=

∫

c d

f(x)dx

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Remarques : - puisque

∫

a b

f(x)dx=1 , l’aire du domaine compris entre la courbe représentative de f, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b est égale à une unité d’aire.

- La probabilité de l’événement X∈[c ; d] est égale à l’aire du domaine compris entre la courbe représentative de f, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = c et x = d, en unités d’aire.

- Pour tout réel c appartenant à [a;b], P(X=c)=P(c⩽X⩽c)=

∫

c c

f(x)dx=0 . Cela signifie que la probabilité que X prenne exactement la valeur c, parmi toutes les valeurs possibles de l’intervalle [a;b] est nulle.

- Pour tous les réels c et d de [a;b] tels que c⩽d , on a : P(c<X<d)=P(c⩽X<d)=P(c<X⩽d)=P(c⩽X⩽d) .

Définition : l’espérance d’une variable aléatoire X de densité f sur [a;b] est le nombre réel : E(X)=

∫

a b

(t×f (t))dt .

Exemple : on considère la fonction f définie sur [0;1] par f (x) = 4x³.

f est continue et positive sur [0;1]. De plus,

∫

0 1

f(x)dx=[x⁴]0

1=1⁴−0⁴=1 . Donc f est une fonction de densité sur [0;1].

X est une variable aléatoire à valeurs dans l’intervalle [0;1] qui suit la loi de probabilité de fonction de densité f. Calculons P(0,2⩽X⩽0,5) :

P(0,2⩽X⩽0,5) =

∫

0,2 0,5

4x³dx=[x⁴]0,2

0,5=0,5⁴−0,2⁴=0,0609 . L’espérance de X sur [0;1] est : E(X) =

∫

0 1

x×4x³dx E(X) =

∫

0 1

4x⁴dx =

[

⁴⁵^x⁵

]

⁰¹^{= 4}⁵^×^{1 ⁵}⁻⁴⁴^×⁰⁰^{= 4}⁵

II. Loi uniforme sur [a ; b ] 1. Définition et propriétés

Définition : a et b désignent deux nombres réels distincts. Dire qu’une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l’intervalle [a;b] signifie que la densité de probabilité de la loi de X est une fonction constante sur [a;b].

∫

a b

f(x)dx=1

a c d b

P(c⩽X⩽d)=

∫

c d

f(x)dx

(b−a)× 1

b−a=1 Propriété : la densité de probabilité de

la loi uniforme sur l’intervalle [a;b] est la fonction f définie sur [a;b] par

f (x)= 1 b−a .

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Remarque : la loi uniforme sur [a;b] permet de modéliser le choix au hasard d’un nombre réel dans l’intervalle [a;b].

Propriété : X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [a;b]. Pour tout intervalle [c;d] inclus dans [a;b], P(c⩽X⩽d)=d−c

b−a .

Exemple : dans un fast food, on modélise le temps d’attente, en minutes, d’un client avant qu’il ne passe sa commande par une variable aléatoire T qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [0;15].

Calculons la probabilité qu’un client attende entre 5 et 10 minutes : Dans cet exemple, a = 0, b = 15, c = 5 et d = 10. On a donc :

P(5⩽T⩽10)=10−5 15−0=1

3 2. Espérance

Propriété : X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [a;b]. Son espérance est E(X)=a+b

2 .

Remarque : l’espérance de X s’interprète comme la moyenne des réels obtenus lorsqu’on choisit au hasard un grand nombre de réels dans l’intervalle [a;b]. Intuitivement, ce nombre moyen est égal au centre a+b

2 de l’intervalle [a;b].

III. Loi normale centrée réduite n(0;1) 1. Introduction

Xn est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale b(n;p).

La variable aléatoire centrée réduite associée à Xn est Z_n= X_n−np

√

^np⁽¹⁻^p⁾ , son espérance est E(Zn) = 0 et son écart-type (Zn) = 1.

Lorsque n augmente et devient « grand », l’histogramme représentant la loi de probabilité de Zn se rapproche d’une unique courbe, indépendante de la valeur de p.

Le mathématicien Abraham de Moivre (XVII^e siècle) a

découvert que cette courbe représente la fonction f définie par f (x)= 1

√

²^π^e

−x² 2 . 2. La loi normale centrée réduite

Définition : soit X une variable aléatoire à valeurs dans ℝ. On dit que X suit la loi normale centrée réduite n(0;1) si sa fonction de densité f est définie sur ℝ par f(x)= 1

√

²^π^e

−x² 2 . Ainsi, pour tous réels a et b tels que a⩽b, on a : P(a⩽X⩽b)=

∫

a

b 1

√

²^π^e

−x² 2 dx .

Remarques : - on ne connaît pas de primitive explicite de la fonction f. Pour estimer la probabilité P(a⩽X⩽b), on utilise donc la calculatrice.

Propriété : la courbe représentative de la fonction f est symétrique par rapport à l’axe des

ordonnées, car pour tout réel x, f (-x) = f (x). On dit que la courbe de f est une « courbe en cloche ».

On en déduit que P(X⩽0)=P(X⩾0)=0,5 .

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Propriétés : soit X une variable aléatoire suivant la loi n(0;1).

L’espérance de X est égale à 0 et l’écart-type de X est égal à 1.

P(−1⩽X⩽1)≈0,683 P(−2⩽X⩽2)≈0,954 P(−3⩽X⩽3)≈0,997

P(−1,96⩽X⩽1,96)≈0,950

Exemple : Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite. Donner l’arrondi au dix-millième de :

a. _P(0⩽_X⩽1,3) b. P(X⩽1) c. P(X⩾0,5)

Résolution : a. D’après la formule de la leçon, P(0⩽X⩽1,3) =

∫

0 1,3 1

√

²^π^e

−x² 2 dx

À l’aide de la calculatrice, on trouve : P(0⩽X⩽1,3)≈0,403 1 . b. On utilise la propriété de symétrie de la fonction de densité :

P(X⩽1)=P(X⩽0)+P(0⩽X⩽1) P(X⩽1)=0,5+

∫

0

1 1

√

²^π^e

−x² 2 dx

À l’aide de la calculatrice, on obtient : P(X⩽1)≈0,841 3 . c. P(X⩾0,5)=P(X⩾0)−P(0⩽X⩽0,5)

P(X⩾0,5)=0,5−

∫

0 0,5 1

√

²^π^e

−x² 2 dx

À l’aide de la calculatrice, on obtient : P(X⩾0,5)≈0,308 5 .

Calculer des probabilités de la forme P (a < X < b ) lorsque X suit la loi normale n ( 0 , 1 ) : Sur CASIO

Touche OPTN, puis STAT puis DIST puis NORM.

Choisir Ncd

Compléter la syntaxe NormCD(a,b)

Sur T.I.

Menu Distrib (touches 2nde puis VAR).

Choisir 2:normalFRép

Compléter la syntaxe normalFRép(a, b, 0, 1) ou pour les modèles les plus récents :

bornin : a bornsup : b

 : 0

 : 1 et faire « entrer » sur Coller

IV. Loi normale n(μ; σ² ) 1. Définition

Définition : soient un réel  et un réel strictement positif . Soit X une variable aléatoire à valeurs dans ℝ. On dit que X suit la loi normale n( ; ²) si la variable aléatoire Z=X−μ

σ suit la loi normale centrée réduite n(0;1).

Remarque 1 : la loi normale est aussi parfois appelée « loi de Gauss » , en référence au

mathématicien allemand Friedrich Gauss (1777-1855) qui a étudié cette loi au début du XIXe siècle.

Remarque 2 :

P(X⩽μ )=P(X−μ⩽0)=P

(

^X^−μσ ⩽0

)

⁼^P⁽^Z^⩽⁰⁾⁼^0,5. De même, P(X⩾μ )=0,5 .

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Propriété (admise) : si une variable aléatoire suit une loi normale n( ; ²), alors son espérance (ou moyenne) est , sa variance est σ² et son écart-type est .

Remarque : une loi normale n( ; ²) est une loi à densité donc il existe une fonction g définie sur ℝ telle que pour tous réels a et b avec a⩽b, P(a⩽X⩽b)=

∫

a b

g(x)dx mais l’expression de g n’est pas au programme.

2. Influence des paramètres

Comme la fonction de densité de la variable aléatoire ^X^−μ_σ est représentée par une « courbe en cloche » qui admet la droite d’équation x = 0 comme axe de symétrie, la fonction de densité de X est représentée par une « courbe en cloche » qui admet comme axe de symétrie la droite d’équation x = .

Plus  est petit, plus la courbe est resserrée autour de son axe de symétrie, plus  est grand et plus la cloche est élargie.

3. Probabilités particulières

Propriété : soit X une variable aléatoire suivant la loi normale n( ; ²).

P(μ−σ⩽X⩽μ +σ)≈0,683 P(μ−2σ⩽X⩽μ+2σ)≈0,954 P(μ−3σ⩽X⩽μ+3σ)≈0,997

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Calculer des probabilités de la forme P ( a < X < b ) lorsque X suit la loi normale n ( μ , σ² ) : Sur CASIO

Touche OPTN, puis STAT puis DIST puis NORM.

Choisir Ncd

Compléter la syntaxe NormCD(a,b,σ,μ)

Sur T.I.

Menu Distrib (touches 2nde puis VAR).

Choisir 2:normalFRép

Compléter la syntaxe normalFRép(a, b, , ) ou pour les modèles les plus récents :

bornin : a bornsup : b

 : 

 :  et faire « entrer » sur Coller Exemple : les températures au mois de juillet autour du lac Léman suivent la loi normale d’espérance 18,2°C et d’écart-type 3,6°C.

Calculer la probabilité que la température un jour de juillet soit : a. comprise entre 20°C et 24,5°C

b. inférieure à 16°C c. supérieure à 21°C

Arrondir les résultats au centième.

Résolution :

On note X la variable aléatoire égale à la température au lac Léman un jour de juillet.

X suit la loi normale n(18,2 ; 3,6²).

a. À l’aide de la calculatrice, on obtient : P(20⩽X⩽24,5)≈0,27. b. P(X⩽16)=P(X⩽18,2)−P(16⩽X⩽18,2)

P(X⩽16)=0,5−P(16⩽X⩽18,2)

À l’aide de la calculatrice, on trouve : P(X⩽16)≈0,27 . c. _P(_{X⩾21)=1−P}_(X⩽21)

P(X⩾21)=1−(P(X⩽18,2)+P(18,2⩽X⩽21)) P(X⩾21)=1−(0,5+P(18,2⩽X⩽21))

À l’aide de la calculatrice, on trouve P(X⩾21)≈0,22 .