1/13 - Variables aléatoires continues.
Chapitre n°13 – Variables aléatoires continues.
Objectifs :
Niveau a eca n
C13.a 1 Savoir utiliser une fonction de densité pour calculer des probabilités de variables continues et l'espérance d'une loi à densité.
C13.b 1 Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi uniforme.
C13.c 1 Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle.
Activité n°1 : du discret au continu
Contexte :
Une variable aléatoire associe, à un événement, un nombre. Ce nombre était jusqu'ici un entier (la face d'un dé, par exemple), ou appartenant tout au moins à un ensemble fini de valeurs.
Nous allons étudier ici des variables aléatoires qui associent à un événement, un nombre réel.
a. Dans l'intervalle [0;1], combien y a-t-il de nombres d'au plus une décimale (i.e. 0;0,1 ;...) ?
...
...
b. Dans l'intervalle [0;1], combien y a-t-il de nombres d'au plus deux décimales ? ...
...
c. Dans l'intervalle [0;1], combien y a-t-il de nombres d'au plus dix décimales ? ...
...
d. On s'intéresse à la variable aléatoire qui donne au hasard et de façon
équiprobable un nombre à au plus dix décimales, entre 0 et 1 inclus. Quelle est la probabilité d'obtenir 0,3142536475 ?
...
...
e. On s'intéresse maintenant à la variable aléatoire qui donne au hasard et de façon équiprobable un nombre réel toujours compris entre 0 et 1. Que vaut
P ( X = 1 5 ) ?
...
...
f. Conjecturer P ( 0≤X ≤ 100 1 ) ? P ( 100 1 ≤X ≤ 100 2 ) ? P ( 100 2 ≤X ≤ 100 3 ) ?
P ( 100 3 ≤X ≤ 100 4 ) sur l'intervalle [0;1]?
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...
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...
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g. Sur le repère suivant, construire le graphique donnant P ( x≤X ≤x+ 100 1 ) en
fonction de x (x variant de 0 à 0,99).
h. Quelle fonction f semble dessiner cette répartition ?
...
...
Cette fonction s'appelle densité de probabilité de la loi suivie par X . i. Conjecturer P ( 0≤X ≤ 1 5 ) ? P ( 0≤X ≤ 5 2 ) ? P ( 0≤X ≤ 3 5 ) ? P ( 0≤X ≤ 4 5 ) ?
P ( 0≤X ≤ 5 5 ) ?
...
...
...
...
...
j. Sur le repère suivant, construire le graphique donnant P ( 0≤X ≤x ) en fonction de x.
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3/13 - Variables aléatoires continues.
k. Quelle fonction F semble dessiner cette répartition ?
...
l. Quelle relation semble-t-il y avoir entre f et F?
...
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...
m. Interpréter P ( 0≤X ≤x ) sous la forme d'une intégrale.
...
n. Que peut-on dire de F(1) ?
...
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4/13 - Variables aléatoires continues.
Cours n°1
I) Généralités
Contexte :
Une variable aléatoire associe, à un événement, un nombre. Ce nombre était jusqu'ici un entier (la face d'un dé, par exemple), ou appartenant tout au moins à un ensemble fini de valeurs.
Nous allons étudier ici des variables aléatoires qui associent à un événement, un nombre réel.
Définition n°1
On appelle fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire X sur l'intervalle I toute fonction f définie, continue, et positive sur I telle que
∫
I
f (t ) dt =...
Remarques :
Si I = [a;b], alors ∫
I
f (t )dt = ∫
a b
f (t ) dt
Si I = [a;+∞], alors ∫
I
f (t ) dt = lim
x→ +∞
∫
a x
f (t ) dt
Si I = [–∞ ; b], alors ∫
I
f (t )dt = lim
x→−∞
∫
x b
f (t ) dt
Propriété n°1
Si X est une variable aléatoire définie sur I et de densité f, alors, pour tout intervalle [a;b] de
I, on a : P ( a≤X ≤b ) =...
Propriété n°2
Si X est une variable aléatoire définie sur I et de densité f, alors : 1. P(X ∈ I) = …
2. x ∈ R , P(X = x)= …
3. a ∈ I, b ∈ I, P ( a≤X ≤b ) = P ( a< X ≤b ) = ... = …...
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4. a ∈ I, b ∈ I, P ( a≤X ≤ b ) = P(X ≤ ....) – P(X ≤ ....) 5. a ∈ I, P ( X > a ) =...
Définition n°2 (Espérance)
Si X est une variable aléatoire définie sur I et de densité f, alors l'espérance mathématique de X est définie par :
E(X) = ∫
a b
tf ( t) dt
Exemple n°1
Soit X une variable aléatoire définie sur [0;4] et de densité f(x)= ( 4 x )
3.
1. Vérifier que f est une fonction de densité.
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2. Calculer P(0<x<2).
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3. Calculer l'espérance de X.
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Interrogation n°1 Objectifs :
C13.a_Niv1 : Savoir utiliser une fonction de densité pour calculer des probabilités de variables continues et l'espérance d'une loi.
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Exercice n°1
Ex.1 p.334
Exercice n°2
Ex.2 p.334
Exercice n°3*
Ex.37 p.336
Cours n°2
II) Loi uniforme
Définition n°3
On appelle loi uniforme sur [a;b] la loi de probabilité dont la fonction de densité est définie sur R par :
f ( x )= { ...− 1 ... 0 sinon . si a≤x≤b .
Remarque : elle modélise le tirage aléatoire d'un nombre compris entre a et b.
Propriété n°3
Si X est une variable aléatoire de densité la loi uniforme f : 1) Si x<a, alors P(X ≤ x) = …
2) Si a ≤ x ≤ b, alors P(X ≤ x) = …...
3) si x>b, alors P(X ≤ x) = …
Démonstration
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Propriété n°4
Si X est une variable aléatoire de densité la loi uniforme f : On considère deux réels α et β tels que a ≤ α ≤ β ≤ b.
Alors :
P(α ≤ X ≤ β) = ... – ... = …...
Exemple n°2
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [0;4].
Calculer P(2 ≤ X ≤ 3).
...…
...…
...…
...…
...…
...…
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Propriété n°5
Si X est une variable aléatoire de densité la loi uniforme f : L'espérance E(X) = …...
Démonstration
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0 1 2 3 4 5 x
y
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Exemple n°3
Calculer l'espérance mathématique de X si X suit la loi uniforme sur [0;4].
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Interrogation n°2 Objectifs :
C13.b_Niv1 : Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi uniforme.
Exercice n°4
Ex.6 p.334
Exercice n°5
Ex.9 p.334
Exercice n°6
Ex.47 p.336
Exercice n°7
Ex.49 p.337
Cours n°3
III) Loi exponentielle
Définition n°4
Pour tout réel λ>0, on dit qu'une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre λ si sa fonction de densité est la fonction f définie sur [0;+
∞[ par f(x)= λe
-λx.
Propriété n°6
Si X suit la loi exponentielle de paramètre λ alors, pour tous réels a et b tel que 0 ≤ a ≤ b :
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9/13 - Variables aléatoires continues.
1) P(a ≤ X ≤ b) = …...
2) P(X ≤ b) = …...
3) P(X ≥ a) = …...
Démonstration
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Exemple n°4
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,3.
Calculer P(2 ≤ X ≤ 3).
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Propriété n°7
Si X suit la loi exponentielle de paramètre λ alors l'espérance E(X) vaut
E(X) = …...
Démonstration
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0 1 2 3 4 5 x
y
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Exemple n°5
Calculer l'espérance mathématique de X si X suit la loi exponentielle de paramètre 0,3.
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Interrogation n°3 Objectifs :
C13.c_Niv1 : Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle.
Exercice n°8
Ex.10 p.334
Exercice n°9
Ex.61 p.337
Exercice n°10*
Ex.66 p.338
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11/13 - Variables aléatoires continues.
Exercice n°11*
Sujet A p.349
Exercice n°12**
Sujet E p.350
Exercice n°13***
Ex.139 p.352
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Indices et résultats
Ex.n°1 (Ex.1 p.334) : a. P(X=5)=0. b. P(X≤5)=0,6. c. P(X >5)=0,4. d. P(5<X<10)=0,4.
Ex.n°2 (Ex.2 p.334) : a. P(X>4)=0,8. b. P(X>11)=0. c. P(X<7)=0,5. d. P(4<X<7)=0,3.
Ex.n°3* (Ex.37 p.336) : 1.a. b. f est continue, positive et ∫
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