Contexte :
Une variable aléatoire associe, à un événement, un nombre. Ce nombre était
jusqu'ici un entier (la face d'un dé, par exemple), ou appartenant tout au moins à un ensemble fini de valeurs.
Nous allons étudier ici des variables aléatoires qui associent à un événement, un nombre réel.
a. Dans l'intervalle
[0;1]
, combien y a-t-il de nombres d'au plus une décimale (i.e.0;0,1 ;...) ?
...
...
b. Dans l'intervalle
[0;1]
, combien y a-t-il de nombres d'au plus deux décimales ?...
...
c. Dans l'intervalle
[0;1]
, combien y a-t-il de nombres d'au plus dix décimales ? ......
d. On s'intéresse à la variable aléatoire qui donne au hasard et de façon
équiprobable un nombre à au plus dix décimales, entre
0
et1
inclus. Quelle est la probabilité d'obtenir0,3142536475
?...
...
e. On s'intéresse maintenant à la variable aléatoire qui donne au hasard et de façon équiprobable un nombre réel toujours compris entre 0 et 1. Que vaut
P ( X = 1 5 )
?...
...
f. Conjecturer
P ( 0≤ X ≤ 100 1 )
?P ( 100 1 ≤ X ≤ 2
100 )
?P ( 100 2 ≤ X ≤ 3 100 )
?P ( 100 3 ≤ X ≤ 4
100 )
sur l'intervalle [0;1]?...
...
...
...
g. Sur le repère suivant, construire le graphique donnant
P ( x≤ X ≤ x+ 100 1 )
enfonction de
x
(x
variant de0
à0,99
).h. Quelle fonction
f
semble dessiner cette répartition ?...
...
Cette fonction s'appelle densité de probabilité de la loi suivie par
X
. i. ConjecturerP ( 0≤ X ≤ 1 5 )
?P ( 0≤ X ≤ 2 5 )
?P ( 0≤ X ≤ 3 5 )
?P ( 0≤ X ≤ 4 5 )
?P ( 0≤ X ≤ 5 5 )
?...
...
...
...
...
j. Sur le repère suivant, construire le graphique donnant
P ( 0≤ X ≤ x )
en fonction dex
.k. Quelle fonction
F
semble dessiner cette répartition ?...
l. Quelle relation semble-t-il y avoir entre
f et F
?...
...
...
...
m. Interpréter
P ( 0≤ X ≤ x )
sous la forme d'une intégrale....
n. Que peut-on dire de
F(1)
?...
Cours n°1
I) Généralités
Contexte :
Une variable aléatoire associe, à un événement, un nombre. Ce nombre était
jusqu'ici un entier (la face d'un dé, par exemple), ou appartenant tout au moins à un ensemble fini de valeurs.
Nous allons étudier ici des variables aléatoires qui associent à un événement, un nombre réel.
Définition n°1
On appelle fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire
X
sur l'intervalleI
toute fonctionf
définie, continue, et positive surI
telle que∫
If ( t ) dt =...
Remarques :
Si
I = [a;b]
, alors∫
I
f ( t ) dt = ∫
a b
f ( t ) dt
Si
I = [a;+∞]
, alors∫
I
f ( t ) dt = lim
x→+∞
∫
a x
f ( t ) dt
Si
I = [–∞ ; b]
, alors∫
I
f ( t ) dt= lim
x→−∞
∫
x b
f ( t ) dt
Propriété n°1
Si
X
est une variable aléatoire définie surI
et de densitéf
, alors, pour tout intervalle[a;b]
deI
, on a :P ( a≤ X ≤b ) =...
Propriété n°2
Si
X
est une variable aléatoire définie surI
et de densitéf
, alors : 1.P(X ∈ I) = …
2.
x ∈
R,P(X = x)= …
3.
a ∈ I,
b ∈ I, P ( a≤ X ≤b ) = P ( a< X ≤b ) = ... = …...
4.
a ∈ I,
b ∈ I, P ( a≤ X ≤b ) = P(X ≤ ....) – P(X ≤ ....)
5.
a ∈ I, P ( X >a ) =...
Définition n°2 (Espérance)
Si
X
est une variable aléatoire définie surI
et de densitéf
, alors l'espérance mathématique deX
est définie par :E(X) = ∫
a b
tf ( t ) dt
Exemple n°1
Soit
X
une variable aléatoire définie sur[0;4]
et de densitéf(x)= ( 4 x )
3.1. Vérifier que
f
est une fonction de densité....
...
...
...
...
...
...
...
...…
2. Calculer
P(0<x<2).
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
3. Calculer l'espérance de
X
.... ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Se Tester n°1 - C13_1 (/4)
Objectifs :
Niveau a eca n C13.a 1 Savoir utiliser une fonction de densité pour calculer des
probabilités de variables continues et l'espérance d'une loi à densité.
Ex.1
Soit
X
une variable aléatoire définie sur[0;9]
et de densitéf(x)= ( 9 x )
81[2]. Vérifier que
f
est une fonction de densité....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
2[1]. Calculer
P(0<x< 4,5).
...
...
...
...
...
...
...
...…
3[1]. Calculer l'espérance de
X
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
Indices et résultats Voir l’exemple du cours.
Interrogation n°1 Objectifs :
C13.a_Niv1 : Savoir utiliser une fonction de densité pour calculer des probabilités de variables continues et l'espérance d'une loi.
Exercice n°1
Ex.1 p.334
Exercice n°2
Ex.2 p.334
Exercice n°3*
Ex.37 p.336
Cours n°2
II) Loi uniforme Définition n°3
On appelle loi uniforme sur
[a;b]
la loi de probabilité dont la fonction de densité est définie sur R par :f ( x ) = { ...−... 1 0 sinon . si a≤ x≤b .
Remarque : elle modélise le tirage aléatoire d'un nombre compris entre
a
etb
.Propriété n°3
Si
X
est une variable aléatoire de densité la loi uniformef
: 1) Six<a
, alorsP(X ≤ x) = …
2) Si
a ≤ x ≤ b
, alorsP(X ≤ x) = …...
3) si
x>b
, alorsP(X ≤ x) = …
Démonstration
... ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Propriété n°4
Si
X
est une variable aléatoire de densité la loi uniformef
: On considère deux réelsα
etβ
tels quea ≤ α ≤ β ≤ b
. Alors :P(α ≤
X≤ β) = ... – ... =
…...Exemple n°2
Soit
X
une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur[0;4]
.Calculer
P(2 ≤ X ≤ 3)
....…
...…
...…
...…
...…
...…
...
Propriété n°5
0 1 2 3 4 5 x
y
Si
X
est une variable aléatoire de densité la loi uniformef
: L'espéranceE(X) = …...
Démonstration
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°3
Calculer l'espérance mathématique de
X
siX
suit la loi uniforme sur[0;4]
....
...
...
...
...
...
...
Se tester n°2 - C13_2 (/2)
Objectifs :
Niveau a eca n
C13.b 1 Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi uniforme.
Ex.1
Soit
X
une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur[0;5]
. 1[1]. CalculerP(2 ≤ X ≤ 3)
....
...
...
...…
2[1]. Calculer l'espérance de
X
....
...
...
...
...
...
...…
Indices et résultats Voir exemples du cours.
Interrogation n°2 Objectifs :
C13.b_Niv1 : Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi uniforme.
Exercice n°4
Ex.6 p.334
Exercice n°5
Ex.9 p.334
Exercice n°6
Ex.47 p.336
Exercice n°7
Ex.49 p.337
Cours n°3
III) Loi exponentielle Définition n°4
Pour tout réel
λ>0
, on dit qu'une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètreλ
si sa fonction de densité est la fonctionf
définie sur[0;+ ∞[
parf(x)=
λe
-λx.Propriété n°6
Si
X
suit la loi exponentielle de paramètreλ
alors, pour tous réelsa
etb
tel que0 ≤ a
≤ b
:1)
P(a ≤ X ≤ b) = …...
2)
P(X ≤ b) = …...
3)
P(X ≥ a) = …...
Démonstration
... ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°4
Soit
X
une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre0,3
. CalculerP(2 ≤ X ≤ 3)
....
...
...
...
...
Propriété n°7
Si
X
suit la loi exponentielle de paramètreλ
alors l'espérance
E(X)
vautE(X) =
…...Démonstration
... ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0 1 2 3 4 5 x
y
...
...
...
... ...
...
Exemple n°5
Calculer l'espérance mathématique de
X
siX
suit la loi exponentielle de paramètre0,3
....
...
...
...
...
...
...
Se tester n°3 - C13_3 (/4)
Objectifs :
Niveau a eca n
C13.c 1 Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle.
Soit
X
une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre0,5
. 1[f:1:r:1]. CalculerP(1 ≤ X ≤ 4)
.... ...
...
...
...
...
...
2[f:1:r:1]. Calculer l'espérance de
X
....
...
...
...
...
...
...…
Indices et résultats Voir exemples du cours.
Interrogation n°3 Objectifs :
C13.c_Niv1 : Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle.
Exercice n°8
Ex.10 p.334
Exercice n°9
Ex.61 p.337
Exercice n°10*
Ex.66 p.338
Exercice n°11*
Sujet A p.349
Exercice n°12**
Sujet E p.350
Exercice n°13***
Ex.139 p.352
Indices et résultats
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
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* Je veux repasser les interrogations :
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* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
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* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
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* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
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* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__