Activité d'approche n°1 : une évolution de population

(1)

1/9 - TS Spé Math : Chapitre n°4 : produit de matrices

Chap. n°4 : produit de matrices.

Objectifs :

m10. Matrices carrées, matrices colonnes : opérations. 2/2.

Activité d'approche n°1 : une évolution de population

Deux villes contigües X et Y totalisent une population d'un million d'habitants.

La ville X est plus agréable, mais la ville Y offre de meilleurs salaires. À l'année 0, un quart de la totalité des habitants est dans la ville X.

1. Lors de l'année 0 , 20 % des habitants de Y partent habiter dans la ville X pour avoir un meilleur cadre de vie, et 5 % des habitants de X partent habiter Y pour augmenter leur niveau de vie. On note x

0

et y

0

le nombre d'habitants

respectifs dans la ville X et dans la ville Y avant les changements.

a. Compléter le tableau suivant :

Nb d'habitants avant changement

Nb d'habitants après changement

X

Qui demeurent

dans X :

…

Qui viennent de

Y :

…

x

0

…...

Y

Qui viennent de

X : 0,2

Qui demeurent

dans Y : ...

y

0

…...

b. Notation matricielle : soit U

0

la matrice colonne donnant le nombre d'habitants dans les villes X et Y à l'année 0 (U

0

= ( ^x ^y

⁰0

) ). La matrice colonne donnant le nombre d'habitants dans les villes X et Y à l'année 1 est notée U

1

et on a U

1

= AU

0

. Écrire la matrice A .

...

1/9

(2)

2/9 - TS Spé Math : Chapitre n°4 : produit de matrices

2. Lors de l'année 1, 30 % des habitants de Y partent habiter dans la ville X, et 8 % des habitants de X partent habiter la villle Y .

a. Déterminer la matrice B telle que U

2

= BU

1

.

...

b. Quelle relation matricielle y a-t-il entre U

2

, B , A et U

0

?

...

3. On appelle C la matrice qui vérifie U

2

= CU

0

. Le but de cette question est de déterminer C.

a. Que représente le coefficient c

11

(ligne du haut, première colonne) de la matrice C ?

...

b. Calculer c

11

.

...

c. Déterminer le pourcentage des habitants qui habitaient Y à l'année 0, qui sont passés à X à l'année 1, et qui sont restés à X à l'année 2.

...

d. Déterminer le pourcentage des habitants qui habitaient Y à l'année 0, qui sont restés à Y à l'année 1, et qui sont passés à X à l'année 2.

...

e. Que représente la somme des quantités calculées en c et en d ? En déduire l'un des coefficients de C.

...

f. Calculer les autres coefficients de C.

...

4. Donner une technique permettant de calculer les coefficients de la matrice C connaissant les coefficients des matrices A et B.

...

2/9

(3)

4/10 - TS Spé Math : Chapitre n°4 : produit de matrices

Cours n°1

Chapitre n°4 : produit de matrices

I) Produit de matrices Définition n°1

Soit A une matrice de dimension n×p ( â â â ^...

ⁿ¹¹²¹¹

â â â ^...

ⁿ¹²²²²

^... ^... ^... ^... â â â ^...

¹²^np^p^p

) ^{et B}

( ^b ^b ^b ^...

¹¹²¹^p1

^b ^b ^b ^...

¹²²²^p²

^... ^... ^... ^... ^b ^b ^b ^...

^1q^2q^pq

) une matrice de dimensions p×q. Le produit AB est une ma- trice de dimension n×q définie par :

( ...×...+...×...+ ...+ ...×... ...×...+...× ...+...+...×... ... ...×...+...×...+ ...+ ...×...

...×...+...×...+ ...+ ...×... ...×...+...× ...+...+...×... ... ...×...+...×...+ ...+ ...×...

. . ... .

...×...+...×...+ ...+ ...×... ...×...+...× ...+...+...×... ... ...×...+...×...+ ...+ ...×... )

Exemple n°1

Soient A=(1 2 3) et B= ( ⁵ ⁶ ⁴ ) , alors AB = …... = …...

Définition n°2

Soit A une matrice de dimension n×p et B une matrice de dimensions p×q. Les coefficients c

_ij

de la matrice produit AB sont définis par :

...

4/10

(4)

5/10 - TS Spé Math : Chapitre n°4 : produit de matrices

Exemple n°1

Soient A= ( ^{1 2} ^{3 4} ^{5 6} ) ^et ^B= ⁽ ^{1 2 3 4} ^{5 6 7 8} ⁾ ^{, alors}

AB = ( ... ... ... ...

... ... ... ...

... ... ... ... ) ^.

et

sachant que B= ( ^{1 2 3 4} 5 6 7 8 ) ^{et A=} ( ^{1 2} ^{3 4} ^{5 6} ) , BA...

Propriété n°1

Soient A, B, et C trois matrices. Si tous les produits possibles et sommes pos- sibles sont calculables, on a :

1. (AB)C = …...

2. A(B + C)=... et (A + B)C=...

3. AB …... BA . 4. Si A est une matrice carrée d'ordre n, A × I

n

…...

Exemple n°2

Soit la matrice A= ( ^{1 1} 1 0 ) et B la matrice ( ^{0 1} 1 0 ) . Calculer A

²

, A(2A), 2A

²

, AB et BA.

...

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(5)

6/10 - TS Spé Math : Chapitre n°4 : produit de matrices

Exercice n°1 Ex.22 p.95

Exercice n°2 (si exponentielle déjà vue) Ex.24 p.95

Exercice n°3 Ex.27 p.95 Exercice n°4

Ex.46 p.96 Exercice n°5*

Ex.49 p.97 Exercice n°6*

Ex.52 p.97 Exercice n°7**

Ex.54 p.97 Exercice n°8***

Ex.56 p.97 Exercice n°9***

Sujet A p.105 Exercice n°10***

Ex.107 p.109 Exercice n°11***

Ex.108 p.109

6/10

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

7/10 - TS Spé Math : Chapitre n°4 : produit de matrices

Résultats et indices

Ex.1 (Ex22 p.95) : AB= ( − ^19,9 48,7 − ^7,5 18,5 ) ^et ^BA= ( ⁻ ^{0,6 1,7} 1 2 )

Ex.2 (Ex24 p.95) : AB= ( ^e ^e

⁴

^e ^1+e

³

^+e

⁴⁷

) ^{et BA=} ( ^e+ ^e

⁵

^e

³

^e

³

^e ^+e

⁷ ⁵

)

Ex.3 (Ex27 p.95) : A

ⁿ

=O

2

pour n  2 . Ex.4 (Ex46 p.96) : AB ≠ BA

Ex.5 (Ex49 p.97) : B= ( ^{0 4} 0 1 ) ^{et B'=} ( 1 0 ^{4 0} )

Ex.6 (Ex52 p.97) : A

ⁿ

=O

3

si n  3

Ex.7 (Ex54 p.97) : 1. A= ( ^a ⁰ ^a ¹ ) ^{2. et 3. A}

ⁿ

⁼ ( ^a ⁰

ⁿ

^na ^a

ⁿ⁻ⁿ ¹

) ^4. ( ^u ^v

nⁿ

) ⁼ ( ² ^a

ⁿ

⁺ ^a ^na

ⁿ ⁿ⁻¹

)

Ex.8 (Ex56 p.97) : 1. J

ⁿ

= 2

^n-1

J 2. A=I+2J , A

²

=I+12J , A

³

=I+62J . 3. Par récurrence.

4.a.

4.b.

( ^u ^v

nⁿ

) ⁼ ( ⁻ 1+3×5 ^1+3×5

ⁿⁿ

)

Ex.9 (A p.105): 1. u

1

=3+2 √ ^{2 , u}

²

⁼¹⁷⁺¹² √ ^{2 , u}

³

⁼⁹⁹⁺⁷⁰ √ 2 2. u

n+1

=(3a

n

+4b

n

)+ √ ²

(2a

n

+3b

n

) 3. c prend la valeur 3a+4b, b prend la valeur 2a+3b, a prend la vaur c....

4. A= ( ^{3 4} 2 3 ) ^5.a. ^PQ est la matrice unité. 5.b. QAP = ( ³⁺ ² 0 ^√ ² 3− ⁰ 2 √ ² )

6. A

ⁿ

= ( ^√ ⁴ ² ¹ ² ⁽³⁺ ⁽³ ⁺² ² ^√ ^√ ² ²⁾ ⁾

ⁿⁿ

⁻ ⁺ ¹ ² ^√ ⁴ ² ⁽³⁻ ⁽³⁻ ² ^√ ² ²⁾ ^√ ²⁾

ⁿ ⁿ

^√ ² ² ¹ ² ⁽³⁺ ⁽³⁺ ² ² ^√ ^√ ²⁾ ²⁾

ⁿⁿ

⁻ ⁺ ¹ ² ^√ ² ² ⁽³⁻ ⁽³⁻ ² ^√ ² ²⁾ ^√ ²⁾

ⁿ ⁿ

) ^7. ⁽ ^a ^b

ⁿⁿ

⁾ ^=A

ⁿ

⁽ ¹ ⁰ ⁾

Ex.10 (Ex107 p.109) : 1.a. 0,36 1.b. 0,48 2. R

0

= ( 0 0 1 0 0 ) a. R

1

=

( 0 0,6 0 0,4 0 ) , R

2

= ( 0,36 0 0,48 0 0,16 ) b. M= ( ^0,6 ¹ ⁰ ⁰ ⁰ ^0,6 ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ^0,4 ^0,6 ⁰ ⁰ ⁰ ^0,4 ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ^0,4 ⁰ ⁰ ⁰ ¹ )

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8/10 - TS Spé Math : Chapitre n°4 : produit de matrices

c. R

2

=R

0

M

²

. d.R

n

=r

0

M

ⁿ

. 3.a.impossible de se retrouver au point 3. 3.b.

impossible d'atteindre les points 2 et 4. 4.a. p

n

est la probabilité d'atteindre le point 1 en n pas. 4.b. R

2n+1

=R

2n

M et question 3.b.

Ex.11 (Ex108 p.109) : 1. 0,25

⁴

. 2.a.B= ( ^{0,75 0,25} ^0,5 ^0,5 ^0,5 ⁰ ^{0,25 0,25} ^0,25 ^0,25 ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ^0,25 ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ^0,25 ⁰ ⁰ ⁰ ¹ )

3.a.0,25

⁴

+0,25

³

. 3.b. Calcul de ( 0 1 0 0 0 ) B

⁴

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Activité d'approche n°1 : une évolution de population

1/9 - TS Spé Math : Chapitre n°4 : produit de matrices

Chap. n°4 : produit de matrices.

Objectifs :

m10. Matrices carrées, matrices colonnes : opérations. 2/2.

Activité d'approche n°1 : une évolution de population

Deux villes contigües X et Y totalisent une population d'un million d'habitants.

La ville X est plus agréable, mais la ville Y offre de meilleurs salaires. À l'année 0, un quart de la totalité des habitants est dans la ville X.

1. Lors de l'année 0 , 20 % des habitants de Y partent habiter dans la ville X pour avoir un meilleur cadre de vie, et 5 % des habitants de X partent habiter Y pour augmenter leur niveau de vie. On note x

et y

le nombre d'habitants

respectifs dans la ville X et dans la ville Y avant les changements.

a. Compléter le tableau suivant :

Nb d'habitants avant changement

Nb d'habitants après changement

X

Qui demeurent

dans X :

…

Qui viennent de

Y :

…

x

…...

Y

Qui viennent de

X : 0,2

Qui demeurent

dans Y : ...

y

…...

b. Notation matricielle : soit U

la matrice colonne donnant le nombre d'habitants dans les villes X et Y à l'année 0 (U

= ( x y

) ). La matrice colonne donnant le nombre d'habitants dans les villes X et Y à l'année 1 est notée U

et on a U

= AU

. Écrire la matrice A .

...

...

...

...

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2/9 - TS Spé Math : Chapitre n°4 : produit de matrices

2. Lors de l'année 1, 30 % des habitants de Y partent habiter dans la ville X, et 8 % des habitants de X partent habiter la villle Y .

a. Déterminer la matrice B telle que U

= BU

.

...

...

...

...

b. Quelle relation matricielle y a-t-il entre U

, B , A et U

?

...

3. On appelle C la matrice qui vérifie U

= CU

. Le but de cette question est de déterminer C.

a. Que représente le coefficient c

(ligne du haut, première colonne) de la matrice C ?

...

b. Calculer c

.

...

c. Déterminer le pourcentage des habitants qui habitaient Y à l'année 0, qui sont passés à X à l'année 1, et qui sont restés à X à l'année 2.

...

d. Déterminer le pourcentage des habitants qui habitaient Y à l'année 0, qui sont restés à Y à l'année 1, et qui sont passés à X à l'année 2.

...

e. Que représente la somme des quantités calculées en c et en d ? En déduire l'un des coefficients de C.

...

...

f. Calculer les autres coefficients de C.

...

...

...

4. Donner une technique permettant de calculer les coefficients de la matrice C connaissant les coefficients des matrices A et B.

...

...

2/9

= ( ^x ^y

Soit A une matrice de dimension n×p ( â â â ^...

â â â ^...

^... ^... ^... ^... â â â ^...

) ^{et B}

( ^b ^b ^b ^...

^b ^b ^b ^...

^... ^... ^... ^... ^b ^b ^b ^...

Soient A=(1 2 3) et B= ( ⁵ ⁶ ⁴ ) , alors AB = …... = …...

Soient A= ( ^{1 2} ^{3 4} ^{5 6} ) ^et ^B= ⁽ ^{1 2 3 4} ^{5 6 7 8} ⁾ ^{, alors}

... ... ... ... ) ^.

sachant que B= ( ^{1 2 3 4} 5 6 7 8 ) ^{et A=} ( ^{1 2} ^{3 4} ^{5 6} ) , BA...

Soit la matrice A= ( ^{1 1} 1 0 ) et B la matrice ( ^{0 1} 1 0 ) . Calculer A

Ex.1 (Ex22 p.95) : AB= ( − ^19,9 48,7 − ^7,5 18,5 ) ^et ^BA= ( ⁻ ^{0,6 1,7} 1 2 )

Ex.2 (Ex24 p.95) : AB= ( ^e ^e