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Chap. n°5 : produit de matrices Objectifs :
Niveau a eca n
C4.a 1 Savoir multiplier deux matrices entre elles.
Activité d'approche n°1 : une évolution de population
Deux villes contiguës
X
etY
totalisent une population d'un million d'habitants. La villeX
est plus agréable, mais la villeY
offre de meilleurs salaires. À l'année0
, un quart de la totalité des habitants est dans la villeX
.1. A la fin de l'année
0
, on constate que20 %
des habitants deY
sont partis habiter dans la villeX
pour avoir un meilleur cadre de vie, et que5 %
des habitants deX
sont partis habiter
Y
pour augmenter leur niveau de vie. On notex
0 ety
0 le nombre d'habitants respectifs dans la villeX
et dans la villeY
avant les changements.a. Compléter le tableau suivant :
Nb d'habitants avant changement
Nb d'habitants après changement
X
Qui demeurent
dans
X
: … ×x
0Qui viennent
de
Y
: … ×y
0x
0= ...
… × … + … × … =
………..
Y
Qui viennent
de
X
: 0,05×x
0Qui demeurent
dans
Y
: … ×y
0y
0 = ...………….
… × … + … × … =
………..
b. Notation matricielle : soit
U
0 la matrice colonne donnant le nombre d'habitants dans les villesX
etY
à l'année0
(U
0= ( x y
00)
). La matrice colonne donnant le nombre d'habitants dans les villesX
etY
à l'année1
est notéeU
1 et on aU
1= AU
0. Écrire la matriceA
....
...
...
...
...
...
...
...
2. A la fin de l'année n°
1
,30 %
des habitants deY
partent habiter dans la villeX
, et8 %
des habitants deX
partent habiter la villeY
.1/12
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a. Déterminer la matrice
B
telle queU
2= BU
1....
...
...
...
...
...
...
...
b. Quelle relation matricielle y a-t-il entre
U
2,B
,A
etU
0 ?...
...
3. On appelle
C
la matrice qui vérifieU
2= CU
0. Le but de cette question est de déterminerC
.a. Que représente le coefficient
c
11 (ligne du haut, première colonne) de la matriceC
?...
...
b. Calculer
c
11....
...
c. Déterminer le pourcentage des habitants qui habitaient
Y
à l'année0
, qui sont passés àX
à l'année1
, et qui sont restés àX
à l'année2.
...
...
d. Déterminer le pourcentage des habitants qui habitaient
Y
à l'année0
, qui sont restés àY
à l'année1
, et qui sont passés àX
à l'année2.
/ ;
...
e. Que représente la somme des quantités calculées en c et en d ? En déduire l'un des coefficients de
C
....
...
...
f. Calculer les autres coefficients de
C.
...
...
...
...
4. Donner une technique permettant de calculer les coefficients de la matrice
C
connaissant les coefficients des matrices
A
etB
....
...
...
...
...
Pour vous aider : 2/12
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5. A-t-on
BA=AB
?...
...
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...
Cours n°1
Chapitre n°4 : produit de matrices
I) Produit de matrices Définition n°1
Soit
A
une matrice de dimensionn×p ( a a a ...
n11211a a a ...
n12222... ... ... ... a a a ...
2nppp)
etB ( b b b ...
1121p1b b b ...
1222p2... ... ... ... b b b ...
2pqqq)
une matrice de dimensions
p×q
. Le produitAB
est une matrice de dimensionn×q
définie par :
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4/12 -
( ... ... ... × × × ... ... ... + + + ... ... ... × × × ... ... ... . +... + +... ... + + + ... ... ... × × × ... ... ... ... ... ... × × × ... ... ... + + + ... ... ... × × × ... ... ... . +...+ + +...+ ... + ... ... ... × × × ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... × × × ...+ ... ... + + ... ... ... × × × ... ... ... . +... + +...+ ... + + ... ... ... × × × ... ... ... )
Exemple n°1
Soient
A=(1 2 3)
etB= ( 4 5 6 )
, alorsAB = …... = …...
Définition n°2
Soit
A
une matrice de dimensionn×p
etB
une matrice de dimensionsp×q
. Les coefficientsc
ij de la matrice produitAB
sont définis par :...
...
Exemple n°2
Soient
A= ( 1 2 3 4 5 6 )
etB= ( 1 2 3 4 5 6 7 8 )
, alorsAB = ( ... ... ... ...
... ... ... ...
... ... ... ... ) .
et
sachant que
B= ( 1 2 3 4 5 6 7 8 )
etA= ( 1 2 3 4 5 6 )
,BA...
Propriété n°1
Soient
A
,B
, etC
trois matrices. Si tous les produits possibles et sommes possibles sont calculables, on a :1.
(AB)C = …...
2.
A(B + C)=...
et(A + B)C=...
3.
AB
…...BA
. 4. SiA
est une matrice carrée d'ordren
,A × I
n…...
Exemple n°2
Soit la matrice
A= ( 1 1 1 0 )
etB
la matrice( 0 1 1 0 ) .
CalculerA
2,A(2A), 2A
2 ,AB
etBA
....
...
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Se Tester n°1 - C4_1 (/8) Objectifs :
Niveau a eca n
C4.a 1 Savoir multiplier deux matrices entre elles.
Ex.1 (/1,5)
Soient
A=(7 3 4)
etB= ( 7 6 2 )
, alorsAB = …... = …...
Ex.2 (/6,5)
Soient
A= ( 5 5 7 5 6 9 3 7 9 ) et B= ( 9 4 7 8 2 6 )
, alors :1. Que peut-on calculer :
AB
ouBA ?
...
2. Calculer le produit qui est possible :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
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...
...
...
3. Soit la matrice
A= ( 0 0 0 1 )
et la matriceB= ( 1 1 0 1 ) .
CalculerA
2,A(2A), 2A
2 ,AB
etBA
....
...
...
...
...
...
...
...
...
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...
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...
...
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Résultats et indices.
Ex.1 : 75
Ex.2 1.
BA
2.( 102 94 128 112 122 94 )
3.A
2=( 0 0 0 1 )
,A ( 2 A )
=( 0 0 0 2 )
,2 A ²
=( 0 0 0 2 )
,AB
=( 0 0 0 1 )
,BA
=( 10 0 1 1 )
Interrogation n°1 Objectifs :
C5.a_Niv1 :Savoir multiplier deux matrices entre elles.
Exercice n°1 Ex.22 p.95
Exercice n°2 (si exponentielle déjà vue) Ex.24 p.95
Exercice n°3 Ex.27 p.95 Exercice n°4
Ex.46 p.96 Exercice n°5*
Ex.49 p.97 Exercice n°6*
Ex.52 p.97 Exercice n°7**
Ex.54 p.97 Exercice n°8***
Ex.56 p.97 Exercice n°9***
Sujet A p.105 Exercice n°10***
Ex.107 p.109 Exercice n°11***
Ex.108 p.109
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Résultats et indices
Ex.1 (Ex22 p.95) :
AB= ( −48,7 19,9 −18,5 7,5 )
etBA= ( ,6 1,7 1 2 )
Ex.2 (Ex24 p.95) :
AB= ( e e
4e 1+
3+ e e
47)
etBA= ( e+e e
5 3e
3e +
7e
5)
Ex.3 (Ex27 p.95) :
A
n=O
2 pourn 2
.Ex.4 (Ex46 p.96) :
AB
≠BA
Ex.5 (Ex49 p.97) :
B= ( 0 4 0 1 )
etB'= ( 4 0 1 0 )
Ex.6 (Ex52 p.97) :
A
n=O
3 sin 3
Ex.7 (Ex54 p.97) : 1.
A= ( a 0 1 a )
2. et 3.A
n= ( a 0
nna a
n−1n)
4.( u v
nn)
=( 2 a
n+ a na
n n−1)
Ex.8 (Ex56 p.97) : 1.
J
n=2
n-1J
2.A=I+2J
,A
2=I+12J
,A
3=I+62J
. 3. Par récurrence. 4.a.4.b.
( u v
nn)
=( −1+3 1+ 3 × × 5 5
nn)
Ex.9 (A p.105): 1.
u
1=3+2 √ 2 , u
2=17+12 √ 2 , u
3=99+70 √ 2
2.u
n+1=(3a
n+4b
n)+ √ 2
(2a
n+3b
n)
3.c
prend la valeur3a+4b, b
prend la valeur2a+3b
,a
prend la vaurc...
. 4.A= ( 3 4 2 3 )
5.a.PQ
est la matrice unité. 5.b.QAP = ( 3+ 2 0 √ 2 3 − 0 2 √ 2 )
6.
A
n= ( √ 4 2 1 2 ( ( 3+ 3 + 2 2 √ √ 2 2 ) )
nn− + 1 2 √ 4 ( 2 3 ( − 3−2 2 √ 2 √ ) 2
n)
n√ 2 2 1 2 ( ( 3 3+ + 2 2 √ √ 2 2 ) )
nn− + 1 2 √ 2 2 ( 3− ( 3 − 2 2 √ √ 2 ) 2
n)
n)
7.( a b
nn) =A
n( 1 0 )
Ex.10 (Ex107 p.109) : 1.a.
0,36
1.b.0,48
2.R
0= ( 0 0 1 0 0 )
a.R
1=
( 0 0,6 0 0,4 0 ) , R
2= ( 0,36 0 0,48 0 0,16 )
b.M= ( 0,6 1 0 0 0 0,6 0 0 0 0 0,4 0,6 0 0 0 0,4 0 0 0 0 0,4 0 0 0 1 )
c.
R
2=R
0M
2. d.R
n=r
0M
n. 3.a.impossible de se retrouver au point 3. 3.b. impossible d'atteindre les points 2 et 4. 4.a.p
n est la probabilité d'atteindre le point 1 enn
pas.4.b.
R
2n+1=R
2nM
et question 3.b.9/12
10/12 -
Ex.11 (Ex108 p.109) : 1.
0,25
4. 2.a.B= ( 0,75 0,25 0,5 0,5 0,5 0 0,25 0,25 0,25 0,25 0 0 0 0 0 0,25 0 0 0 0 0,25 0 0 0 1 )3.a.0,25
4,25
3.
3.b. Calcul de
( 0 1 0 0 0 ) B
410/12
11/12 -
11/12
12/12 -
12/12
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
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…...
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Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
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Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
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Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
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Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
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Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
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Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
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Date d’aujourd’hui : ...
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* Je veux repasser les interrogations :
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* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
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Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__