Terminale STG Exercices sur le chapitre 6 : E5. 2007 2008
E5 Activité d'approche : limite d'une suite géométrique.
N ° 9 Dans un pays imaginaire, on considère la ville Plus et la ville Moins ; ces deux villes avaient 10 000 habitants en 2000. Dans la ville Plus, la population augmente chaque année de 20 % et dans la ville Moins, la population diminue chaque année de 20 %.
On note un le nombre d'habitants dans la ville Plus en 2000 + n et vn le nombre d'habitants dans la ville Moins en 2000 + n.
1. Démontrons que la suite ( un ) est une suite géométrique et précisons sa raison et son terme initial.
Pour passer du terme un à son suivant, on multiplie par 1 + 20 % = 1,2.
Donc la suite ( un ) est une suite géométrique de raison b = 1,2 et de terme initial u0 = 10000.
2. Cette suite est-elle croissante ?
b = 1,2 donc b > 1 donc la suite ( un ) est strictement croissante.
3. Exprimons un en fonction de n et déterminons l'année au cours de laquelle la ville Plus aura doublée.
La formule donnant le terme de rang n est un = u0 × bn = 10000 × 1,2n.
Pour trouver l'année au cours de laquelle la ville Plus aura doublée, je cherche le rang n tel que un > 2u0. un > 2u0 ⇔ 10000 × 1,2n > 2 × 10000 ⇔ 1,2n > 2.
En tabulant avec la calculatrice, j'obtiens u3 = 17 280 et u4 = 20 736.
Ainsi c'est au cours de l'année 2004 que la population de la ville Plus a doublée.
4. Déterminons l'année au cours de laquelle la ville Plus dépassera 1 000 000 d'habitants.
Cela signifie rechercher le rang n tel que un > 1000000 ⇔ 10000 × 1,2n > 1000000 ⇔ 1,2n > 100.
En tabulant avec la calculatrice, on obtient u25 ≈ 953 962 et u26 ≈ 1 144 755.
C'est donc au cours de l'année 2026 que la population de la ville Plus dépassera 1 000 000 d'habitants.
5. Démontrons que la suite ( vn ) est une suite géométrique et préciser sa raison et son terme initial.
Pour passer du terme vn à son suivant, on multiplie par 1 − 20 % = 0,8.
Donc la suite ( vn ) est une suite géométrique de raison b = 0,8 et de terme initial v0 = 10000.
6. Cette suite est-elle croissante ?
b = 0,8 donc b < 1 donc la suite ( un ) est strictement décroissante.
7. Déterminons l'année au cours de laquelle la ville Moins aura diminué de moitié.
Cela signifie rechercher le rang n tel que vn < 10000
2 ⇔ 10000 × 0,8n > 10000
2 ⇔ 0,8n > 0,5.
En tabulant avec la calculatrice, on obtient u3 = 5 120 et u4 = 4 096.
C'est donc au cours de l'année 2004 que la population de la ville Moins aura diminué de moitié.
8. Déterminons l'année au cours de laquelle la ville Moins aura un nombre d'habitants inférieur à 10.
Cela signifie rechercher le rang n tel que vn < 10 ⇔ 10000 × 0,8n < 10 ⇔ 0,8n < 0,001.
En tabulant avec la calculatrice, on obtient u30 ≈ 12 et u31 ≈ 10 et u32 ≈ 8.
C'est donc au cours de l'année 2031 que la population de la ville Moins aura un nombre d'habitants inférieur à 10.
