Chap. n°5 : produit de matricesObjectifs :

(1)

Chap. n°5 : produit de matrices Objectifs :

Niveau a eca n

C4.a 1 Savoir multiplier deux matrices entre elles.

Activité d'approche n°1 : une évolution de population

Deux villes contiguës

X

et

Y

totalisent une population d'un million d'habitants. La ville

X

est plus agréable, mais la ville

Y

offre de meilleurs salaires. À l'année

0

, un quart de la totalité des habitants est dans la ville

X

.

1. A la fin de l'année

0

, on constate que

20 %

des habitants de

Y

sont partis habiter dans la ville

X

pour avoir un meilleur cadre de vie, et que

5 %

des habitants de

X

sont partis habiter

Y

pour augmenter leur niveau de vie. On note

x

0 et

y

0 le nombre d'habitants respectifs dans la ville

X

et dans la ville

Y

avant les changements.

a. Compléter le tableau suivant :

Nb d'habitants avant

changement Nb d'habitants après

changement

X

Qui demeurent

dans

X

: … ×

x

₀

Qui viennent

de

Y

: … ×

y

₀

x

₀

= ...

… × … + … × … =

………..

Y

Qui viennent

de

X

: 0,05×

x

₀

Qui demeurent

dans

Y

: … ×

y

₀

y

₀ = ...

………….

… × … + … × … =

………..

b. Notation matricielle : soit

U

0 la matrice colonne donnant le nombre d'habitants dans les villes

X

et

Y

à l'année

0

(

U

0

= ( ^x ^y

⁰0

)

). La matrice colonne donnant le nombre d'habitants dans les villes

X

et

Y

à l'année

1

est notée

U

1 et on a

U

1

= AU

0. Écrire la matrice

A

.

...

2. A la fin de l'année n°

1

,

30 %

des habitants de

Y

partent habiter dans la ville

X

, et

8 %

des habitants de

X

partent habiter la ville

Y

.

(2)

a. Déterminer la matrice

B

telle que

U

2

= BU

1.

...

b. Quelle relation matricielle y a-t-il entre

U

2,

B

,

A

et

U

0 ?

...

3. On appelle

C

la matrice qui vérifie

U

2

= CU

0. Le but de cette question est de déterminer

C

.

a. Que représente le coefficient

c

11 (ligne du haut, première colonne) de la matrice

C

?

...

b. Calculer

c

11.

...

c. Déterminer le pourcentage des habitants qui habitaient

Y

à l'année

0

, qui sont passés à

X

à l'année

1

, et qui sont restés à

X

à l'année

2. ...

...

d. Déterminer le pourcentage des habitants qui habitaient

Y

à l'année

0

, qui sont restés à

Y

à l'année

1

, et qui sont passés à

X

à l'année

2. / ;

...

e. Que représente la somme des quantités calculées en c et en d ? En déduire l'un des coefficients de

C

.

...

f. Calculer les autres coefficients de

C.

...

4. Donner une technique permettant de calculer les coefficients de la matrice

C

connaissant les coefficients des matrices

A

et

B

.

...

Pour vous aider :

(3)

5. A-t-on

BA=AB

?

...

Cours n°1

Chapitre n°4 : produit de matrices

I) Produit de matrices Définition n°1

Soit

A

une matrice de dimension

n×p ( â â â ^...

ⁿ¹¹²¹¹

â â â ^...

ⁿ¹²²²²

^... ^... ^... ^... â â â ^...

²^np^p^p

)

^et

^B ( ^b ^b ^b ^...

¹¹²¹^p¹

^b ^b ^b ^...

¹²²²^p2

^... ^... ^... ^... ^b ^b ^b ^...

²^pq^q^q

)

une matrice de dimensions

p×q

. Le produit

AB

est une matrice de dimension

n×q

définie par :

(4)

( ^... ^... ^... ^× ^× ^× ^... ^... ^... ⁺ ⁺ ⁺ ^... ^... ^... ^× ^× ^× ^... ^... ^... ^. ^+... ^+... ^+... ⁺ ⁺ ⁺ ^... ^... ^... ^× ^× ^× ^... ^... ^... ^... ^... ^... ^× ^× ^× ^... ^... ^... ⁺ ⁺ ⁺ ^... ^... ^... ^× ^× ^× ^... ^... ^... ^. ^+...+ ^+...+ ^+...+ ^... ^... ^... ^× ^× ^× ^... ^... ^... ^... ^... ^... ^... ^... ^... ^... ^× ^× ^× ^...+ ^... ^... ⁺ ⁺ ^... ^... ^... ^× ^× ^× ^... ^... ^... ^. ^+... ^+...+ ^+...+ ⁺ ^... ^... ^... ^× ^× ^× ^... ^... ^... )

Exemple n°1

Soient

A=(1 2 3)

et

B= ( ⁴ ⁵ 6 )

^{, alors}

AB = …... = …...

Définition n°2

Soit

A

n×p

et

B

p×q

. Les coefficients

c

_ij de la matrice produit

AB

sont définis par :

...

Exemple n°2

Soient

A= ( ^{1 2} ^{3 4} 5 6 )

^et

^B= ⁽ ^{1 2 3 4} ^{5 6 7 8} ⁾

^{, alors}

AB = ( ... ... ... ...

... ... ... ...

... ... ... ... ) ^.

et

sachant que

B= ( ^{1 2 3 4} 5 6 7 8 )

^et

^A= ( ^{1 2} ^{3 4} 5 6 )

^,

BA...

Propriété n°1

Soient

A

,

B

, et

C

trois matrices. Si tous les produits possibles et sommes possibles sont calculables, on a :

1.

(AB)C = …...

2.

A(B + C)=...

et

(A + B)C=...

3.

AB

…...

BA

. 4. Si

A

est une matrice carrée d'ordre

n

,

A × I

n

…...

Exemple n°2

Soit la matrice

A= ( ^{1 1} 1 0 )

^et

^B

la matrice

( ^{0 1} 1 0 ) ^.

^Calculer

^A

²^,

^A(2A), ^2A

²^,

^AB

^et

^BA

^.

...

(5)

...

Se Tester n°1 - C4_1 (/8) Objectifs :

Niveau a eca n

Ex.1 (/1,5)

Soient

A=(3 5 2)

et

B= ( ⁵ ² 5 )

^{, alors}

AB = …... = …...

Ex.2 (/6,5)

Soient

A= ( ⁵ ⁷ 2 ⁶ ⁸ 7 ⁷ ⁵ 4 ) ^{et B=} ⁽ ⁹ ⁹ ⁶ ² ⁷ ³ ⁾

^{, alors :}

1. Que peut-on calculer :

AB

ou

BA ?

...

2. Calculer le produit qui est possible :

...

(6)

...

3. Soit la matrice

A= ( ^{0 0} 1 1 )

et la matrice

B= ( ^{0 0} 0 1 ) ^.

^Calculer

^A

²^,

^A(2A), ^2A

²^,

^AB

^et

BA

.

...

(7)

...

(8)

Résultats et indices.

Ex.1 : 35

Ex.2 1.

BA

2.

( ¹⁰¹ 65 ^{151 121} 91 85 )

^3.

^A

²⁼

( ⁰ 1 ⁰ 1 )

^,

^A ⁽ ² ^A ⁾

⁼

( ⁰ 2 ⁰ 2 )

^,

² ^A ^²

⁼

( ⁰ 2 ⁰ 2 )

^,

^AB

⁼

( ⁰ 0 ⁰ 1 )

^,

^BA

⁼

( ¹ 1 ⁰ 1 )

Interrogation n°1 Objectifs :

C5.a_Niv1 :Savoir multiplier deux matrices entre elles.

Exercice n°1 Ex.22 p.95

Exercice n°2 (si exponentielle déjà vue) Ex.24 p.95

Exercice n°3 Ex.27 p.95 Exercice n°4

Ex.46 p.96 Exercice n°5*

Ex.52 p.97 Exercice n°7**

Ex.54 p.97 Exercice n°8***

Sujet A p.105 Exercice n°10***

Ex.108 p.109

(9)

Résultats et indices

Ex.1 (Ex22 p.95) :

AB= ( −48,7 ^19,9 −18,5 ^7,5 )

^et

^BA= ( ^{,6 1,7} 1 2 )

Ex.2 (Ex24 p.95) :

AB= ( e ^e

⁴

e ¹⁺

³

+ ^e e

⁴⁷

)

^et

^BA= ( ^e+e e

⁵ ³

^e

³

e ⁺

⁷

^e

⁵

)

Ex.3 (Ex27 p.95) :

A

ⁿ

=O

2 pour

n  2

^.

Ex.4 (Ex46 p.96) :

AB

≠

BA

Ex.5 (Ex49 p.97) :

B= ( ^{0 4} 0 1 )

^et

^B'= ( ^{4 0} 1 0 )

Ex.6 (Ex52 p.97) :

A

ⁿ

=O

3 si

n  3

Ex.7 (Ex54 p.97) : 1.

A= ( ^a 0 ¹ a )

^{2. et 3.}

^A

ⁿ

⁼ ( ^a 0

ⁿ

^na a

ⁿ⁻¹ⁿ

)

^4.

( ^u ^v

nⁿ

)

⁼

( ² ^a

ⁿ

⁺ a ^na

ⁿ ⁿ⁻¹

)

Ex.8 (Ex56 p.97) : 1.

J

ⁿ=

2

^n-1

J

2.

A=I+2J

,

A

²

=I+12J

,

A

³

=I+62J

. 3. Par récurrence. 4.a.

4.b.

( ^u ^v

nⁿ

)

⁼

⁽ ⁻¹⁺³ ¹⁺ ³ ^× ^× ⁵ ⁵

ⁿⁿ

⁾

Ex.9 (A p.105): 1.

u

1

=3+2 √ ^{2 , u}

²

⁼¹⁷⁺¹² √ ^{2 , u}

³

⁼⁹⁹⁺⁷⁰ √ ²

^2.

^u

ⁿ⁺¹

^=(3a

ⁿ

^+4b

ⁿ

⁾⁺ √ ²

(2a

n

+3b

n

)

3.

c

prend la valeur

3a+4b, b

prend la valeur

2a+3b

,

a

prend la vaur

c...

. 4.

A= ( ^{3 4} 2 3 )

^5.a.

^PQ

est la matrice unité. 5.b.

QAP = ( ³⁺ ² 0 ^√ ² 3− ⁰ 2 √ ² )

6.

A

ⁿ

= ( ^√ ⁴ ² ¹ ² ⁽ ⁽ ³⁺ ³⁺ ² ² ^√ ^√ ² ² ⁾ ⁾

ⁿⁿ

⁻ ⁺ ¹ ² ^√ ⁴ ⁽ ² ³⁻ ⁽ ³⁻² ² ^√ ² ^√ ⁾ ²

ⁿ

⁾

ⁿ

^√ ² ² ¹ ² ⁽ ⁽ ³⁺ ³⁺ ² ² ^√ ^√ ² ² ⁾ ⁾

ⁿⁿ

⁻ ⁺ ¹ ² ^√ ² ² ⁽ ³⁻ ⁽ ³⁻² ² ^√ ^√ ² ⁾ ²

ⁿ

⁾

ⁿ

)

^7.

⁽ ^a ^b

ⁿⁿ

⁾ ^=A

ⁿ

⁽ ¹ ⁰ ⁾

Ex.10 (Ex107 p.109) : 1.a.

0,36

1.b.

0,48

2.

R

0

= ( 0 0 1 0 0 )

a.

R

1

=

( 0 0,6 0 0,4 0 ) , R

2

= ( 0,36 0 0,48 0 0,16 )

b.

M= ( ^0,6 ¹ ⁰ ⁰ ⁰ ^0,6 ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ^0,4 ^0,6 ⁰ ⁰ ⁰ ^0,4 ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ^0,4 ⁰ ⁰ ⁰ ¹ )

c.

R

2

=R

0

M

². d.

R

n

=r

0

M

ⁿ. 3.a.impossible de se retrouver au point 3. 3.b. impossible d'atteindre les points 2 et 4. 4.a.

p

n est la probabilité d'atteindre le point 1 en

n

pas.

4.b.

R

2n+1

=R

2n

M

et question 3.b.

(10)

Ex.11 (Ex108 p.109) : 1.

0,25

⁴. 2.a.

B= ( ^{0,75 0,25} ^0,5 ^0,5 ^0,5 ⁰ ^{0,25 0,25} ^0,25 ^0,25 ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ^0,25 ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ^0,25 ⁰ ⁰ ⁰ ¹ )

^3.a.

^0,25

⁴

^,25

³^.

3.b. Calcul de

( 0 1 0 0 0 ) B

⁴

(11)

(12)

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations :

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :

Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__

Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

(13)