Calculer la matrice jacobienne Jac Φ(x, y) de Φ pour (x, y)∈R2

D´epartement de Math´ematiques

Ann´ee 2004-2005 Licence de Math´ematiques Fonctions r´eelles de plusieurs variables M62 Examen du 23 juin 2005 (deuxi`eme session)

Dur´ee 1h30

La pr´ecision, la clart´e et la rigueur des explications seront consid´er´ees pour la notation.

En particulier, les r´eponses non justifi´ees ne pourront pas ˆetre prises en compte.

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I

Enoncer de l’in´´ egalit´e des accroissements finis (les hypoth`eses prises seront bien pr´ecis´ees).

II Soit Φ la fonction de R² dans R² d´efinie par

Φ(x, y) = (y+ e^xy, x+ e^−xy), (x, y)∈R².

(1) Montrer que Φ est de classe C¹. Calculer la matrice jacobienne Jac Φ(x, y) de Φ pour (x, y)∈R².

(2) Montrer que la matrice jacobienne Jac Φ(x,0) est inversible pour x≥0.

(3) Soit a≥0. Pour A >0, soit Ba,A la partie de R² d´efinie par

B_a,A ={(X, Y)∈R²,|X−1|+|Y −1−a|< A}.

Montrer qu’il existe A >0 et une fonction diff´erentiable Ψ_a,A d´efinie sur B_a,A telle que Φ◦Ψ_a,A(X, Y) = (X, Y), (X, Y)∈B_a,A.

Calculer la matrice jacobienne Jac Ψ_a,A(1,1 +a).

III

Soit, pourλ ∈R, la fonction num´erique F_λ d´efinie sur R² par Fλ(x, y) = y(x²+y²−λy), (x, y)∈R².

(1) D´eterminer les points critiques deF₀. Discuter si ce sont des minimum ou des maximum, stricts ou non.

(2) Soit λ 6= 0. Montrer que F_λ(λx, λy) = λ³F₁(x, y),(x, y) ∈ R². Calculer la diff´erentielle DF_λ(λx, λy) en fonction de la diff´erentielle DF₁(x, y). En d´eduire que (x, y) est un point critique de F₁ si et seulement si (λx, λy) est un point critique de F_λ.

(3) D´eterminer les points critiques deF₁. Discuter si ce sont des minimum ou des maximum, stricts ou non.

(4) Reprendre la question pr´ec´edente pour F₋₁.

(5) Soit C₁ = {(x, y) ∈ R², F₁(x, y) = 0}. Tracer l’ensemble C₁ et d´eterminer les points m = (x, y) o`u F<sub>1</sub> est r´eguli`ere. Donner en un tel point r´egulier l’´equation de la tangente `a C1.