Soutien du 13 Novembre 2007
Exercice 1 : Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct 0;i ,j On note A le point d'affixe i .
À tout point M du plan, distinct de A et d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z '= i z z−i . 1. a . Déterminer les points M du plan tels que l'on ait M = M'
b . Déterminer le point B' associé au point B d'affixe 1; déterminer le point C tel que le point associé C' ait pour affixe 2.
2. Étant donné un nombre complexe z distinct de i, on pose z=xiy et z '=x 'iy ' avec x, x', y et y' réels.
a . Déterminer x' et y' en fonction de x et de y.
b . Déterminer l'ensemble des points M, distincts de A pour lesquels z' est réel.
c . Placer A, B, B' C, C' et sur une figure (unité graphique : 4 cm).
3. Soit z un nombre complexe différent de i.
a . Démontrer que z '−i= −1 z−i
b . On suppose que M, d'affixe z, appartient au cercle ' de centre A et de rayon 1.
Démontrer que M ' appartient à '.
Exercice 2 : Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct 0;i ,j d'unité graphique 4 cm. On note A, B et C les points d'affixes respectives 2i ,−1 et i.
On considère l'application f qui, à tout point M différent de A et d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' tel ,z '= z1
z−2i .
1. a . Faire une figure que l'on complétera au cours de l'exercice.
b . Déterminer l'affixe du point C', image de C par f .Quelle est la nature du quadrilatère ACB C' ?
c . Démontrer que le point C admet un unique antécédent par f que l'on appellera C ''. Quelle est la nature du triangle BCC'' ?
2. Donner une interprétation du module et d'un argument de z' (lorsque celui-ci existe).
3. Déterminer, en utilisant la question précédente, les ensembles suivants :
a . l'ensemble E0 des points M dont les images par f ont pour affixe un nombre réel strictement négatif ;
b . l'ensemble E1 des points M dont les images par f ont pour affixe un nombre imaginaire pur non nul ,
c . l'ensemble E2 des points M dont les images appartiennent au cercle de centre O et de rayon 1.
