DM n°1 : Suites

Nom : Classe : TS 5

A préparer pour le : 01 / 10 /18

Devoir maison n°1

Raisonnements par récurrence et suites

Note :

… / 10

Avis de

l’élève Avis du

professeur

Je sais : Oui Non Oui Non

Démontrer par récurrence.

Utiliser le tableur de la calculatrice pour calculer les premiers termes d'une suite.

Conjecturer le sens de variations d'une suite.

Valider une conjecture.

Exercice n° 56 p 21 : Le symbole ∏ Exercice n° 61 p 22 : Extrait de bac.

`

Correction du DM n°1 Exercice n° 56 p 21 :

∀ ∈ N avec ≥ on pose p( ) : =

Démontrons par récurrence que p( ) est vraie pour tout entier naturel ≥ .

• Initialisation :

On a : = = =

Et : =

Donc = . Ainsi, p( ) est vraie.

• Hérédité :

Soit un entier naturel tel que ≥ .

Supposons que p( ) soit vraie. Alors : =

Montrons que p( ) est vraie aussi, c'est-à-dire : =

= × = × = ×

= = = =

Ainsi p( ) est vraie.

• Conclusion :

p( ) est vraie et la propriété p( ) est héréditaire donc : ∀ ∈ N avec ≥ : =

Exercice n° 61 p 22 :

Soit la suite numérique ( ) définie pour tout entier naturel par = 2 et = . 1. a) En utilisant le menu SUITE de la calculatrice on obtient le tableau des valeurs suivant, en

arrondissant à près.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

2 3,4 2,18 1,19 0,61 0,31 0,16 0,08 0,04

b) Le calcul des premiers termes permet de conjecturer que la suite ( ) serait décroissante sur N*.

un n u0 un+1 1

5un+ 3£0,5ⁿ 10^-2

n un

un

n n

n n

n n

k=nQ

k=2

n (1¡_k¹2) n+1

2n

2 2

(1¡_k¹²)

k=2Q

k=2

1¡₂¹² 1¡¹₄ ³₄ 2+1

2£2 3 4

2

k=2Q

k=2

(1¡_k¹²) ₂²⁺¹

£2

2

(1¡_k¹²)

p p

p

k=pQ

k=2

p+1 2p

(1¡_k¹²)

k=p+1Q

k=2

k=pQ

k=2

(1¡_k¹²) (1¡_(p+1)¹ ₂) ^p+1_2p (1¡_(p+1)^{1 2}) ^p+1_2p ^(p+1)

2¡1 (p+1)² k=p+1Q

k=2

(1¡_k¹²) ^(p+1)

2¡1 2p(p+1)

p²+2p+1¡1 2p(p+1)

p²+2p 2p(p+1)

p+2 2(p+1) k=p+1Q

k=2

(1¡_k¹²) _2(p+1)^p+2

2 n 2

k=nQ

k=2

(1¡_k¹²) ⁿ⁺¹_2n p+ 1

p+ 1

2. a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul, on a : ≥

∀ ∈ N* on pose p( ) : ≥

Démontrons par récurrence que p( ) est vraie pour tout entier naturel non nul.

• Initialisation : On a : =

Et : = × = = 1,875 Donc : ≥ Ainsi, p( ) est vraie.

• Hérédité :

Soit un entier naturel tel que ≥ .

Supposons que p( ) soit vraie. Alors : ≥

En multipliant chaque membre de l'inégalité par > on obtient : ≥ ×

≥ On en déduit :

≥ ≥

≥ Or : >

Donc :

≥ Ainsi p( ) est vraie.

• Conclusion :

p( ) est vraie et la propriété p( ) est héréditaire donc : ∀ ∈ N* : ≥ b) En déduire que pour tout entier naturel non nul, on a : ≤ . Valider alors la conjecture faite en 1.b)

∀ ∈ N* on a : =

Donc : = – =

Or : ∀ ∈ N* : ≥

Ainsi, en multipliant membre à membre par < 0 puis en additionnant on obtient : ≤ ×

≤

≤ +

≤ On en déduit : ∀ ∈ N*, ≤

La suite ( ) est donc bien décroissante sur N*.

n un 15

4£0,5ⁿ

n un+1¡un 0

n n

n n

k+ 1

n n

un 15 4£0,5ⁿ

15 4

u1 3,4

£0,5^{1 15}₄ ¹₂ ¹⁵₈ 15

u₁ 4£0,5¹ 1

k k 1

k uk ¹⁵₄£0,5^k 1 5 0 uk 15

4£0,5^k 1

5 1 5 1

5uk ³₄£0,5^k 1

5u_k ³

4£0,5^k

+ 3£0,5^k + 3£0,5^k uk+1

(

uk+1 ¹⁵₄ £0,5^k 15

4 £0,5^{k 15}₄ £0,5^k£0,5

uk+1 15

4 £0,5^k+1

1 un 15

4£0,5ⁿ

n un+1 1

5un+ 3£0,5ⁿ u_n+1¡u_n ¹

5un+ 3£0,5ⁿ un ^-4un+ 3£0,5ⁿ 5

n un 15

4£0,5ⁿ

-4

5 3£0,5ⁿ

-4

5un -4 5

15 4£0,5ⁿ -4

5 un -3£0,5ⁿ -4

5un+ 3£0,5ⁿ -3£0,5ⁿ 3£0,5ⁿ 0

un+1¡un

n un+1 un

un