Nom : Classe : TS 5
Devoir maison n°1 Suites
à préparer pour le : 07 / 10 / 19 Exercice : Adapté du bac S Antilles-Guyane du 19 juin 2018.
Le directeur d'une réserve marine a recensé cétacés dans cette réserve au 1er juin .
Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en « réserve marine » ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés devient inférieur à .
Une étude lui permet d'élaborer un modèle selon lequel, chaque année :
• entre le er juin et le octobre, cétacés arrivent dans la réserve marine ;
• entre le er novembre et le mai, la réserve subit une baisse de % de son effectif par rapport à celui du octobre qui précède.
On modélise l'évolution du nombre de cétacés par une suite ( ). Selon ce modèle, pour tout entier naturel , désigne le nombre de cétacés au er juin de l'année . On a donc = .
1. Justifier que = .
2. Justifier que pour tout entier naturel on a : = .
3. A l'aide d'un tableur on a calculé les premiers termes de la suite ( ). Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l'unité.
A B C D E F G H I
Quelle formule a-t-il saisi dans la cellule C2 pour obtenir, par recopie vers la droite, les termes de ( ) ? 4. a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel on a : ≥ ≥
b) Que peut-on en déduire pour la suite ( ) ?
5. a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel on a : = . b) Déterminer la limite de la suite ( ). Que peut-on déduire de ce résultat ?
6. a) Recopier et compléter l'algorithme suivant pour déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve sera inférieur à . Coder l'algorithme en python.
N ← U ← Tant que … N ← … U ← … Fin Tant que Afficher …
Codage python :
b) Interpréter le résultat affiché dans le contexte de l'exercice.
3000 2017
2000
1 31 80
1 31 5
31
un n
un 1 2017 +n u0 3000
u1 2926
n un+1 0,95un+ 76
8 un
1 n 0 1 2 3 4 5 6 7
2 un 3000 2926 2856 2789 2725 2665 2608 2554
un
n un un+1 1500 un
n un 1480£0,95n+ 1520 un
2000 0
3000
Nom : Classe : TS 5 Le : 07 / 10 / 19
Test du DM n°1 Suites
Note :
… / 10
Evaluation des capacités
Je sais : Non Oui
Calculer le deuxième terme d'une suite.
Justifier la relation de récurrence qui définit une suite.
Démontrer par récurrence.
Interpréter / Déduire des résultats.
Déterminer la limite d'une suite.
Compléter un algorithme / Coder un algorithme en python.
Interpréter un résultat dans un contexte donné.
Exercice : Adapté du bac S Antilles-Guyane du 19 juin 2018.
Le directeur d'une réserve marine a recensé cétacés dans cette réserve au 1er juin .
Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en « réserve marine » ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés devient inférieur à .
Une étude lui permet d'élaborer un modèle selon lequel, chaque année :
• entre le er juin et le octobre, cétacés arrivent dans la réserve marine ;
• entre le er novembre et le mai, la réserve subit une baisse de % de son effectif par rapport à celui du octobre qui précède.
On modélise l'évolution du nombre de cétacés par une suite ( ). Selon ce modèle, pour tout entier naturel , désigne le nombre de cétacés au er juin de l'année . On a donc = .
1. Justifier que = .
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2. Justifier que pour tout entier naturel on a : = .
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3. A l'aide d'un tableur on a calculé les premiers termes de la suite ( ). Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l'unité.
A B C D E F G H I
4. a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel on a : ≥ ≥
………
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3000 2017
2000
1 31 80
1 31 5
31
un n
un 1 2017 +n u0 3000
u1 2926
n un+1 0,95un+ 76
8 un
1 n 0 1 2 3 4 5 6 7
2 un 3000 2926 2856 2789 2725 2665 2608 2554
n un un+1 1500
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b) Que peut-on en déduire pour la suite ( ) ?
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5. a) On admet que pour tout entier naturel on a : = . b) Déterminer la limite de la suite ( ). Que peut-on déduire de ce résultat ?
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6. a) Compléter l'algorithme suivant pour déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve sera inférieur à . Coder l'algorithme en python.
N ← U ← Tant que … N ← … U ← … Fin Tant que Afficher …
Codage python :
b) Interpréter le résultat affiché dans le contexte de l'exercice.
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un
n un 1480£0,95n+ 1520 un
2000 0
3000
Correction du Test du DM n°1 Exercice : Adapté du bac S Antilles-Guyane du 19 juin 2018.
Le directeur d'une réserve marine a recensé cétacés dans cette réserve au 1er juin .
Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en « réserve marine » ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés devient inférieur à .
Une étude lui permet d'élaborer un modèle selon lequel, chaque année :
• entre le er juin et le octobre, cétacés arrivent dans la réserve marine ;
• entre le er novembre et le mai, la réserve subit une baisse de % de son effectif par rapport à celui du octobre qui précède.
On modélise l'évolution du nombre de cétacés par une suite ( ). Selon ce modèle, pour tout entier naturel , désigne le nombre de cétacés au er juin de l'année . On a donc = .
1. Justifier que = .
Le er juin , le nombre de cétacés dans la réserve marine est = .
Du er juin au octobre , cétacés arrivent dans la réserve marine puis, entre le er novembre et le mai , la réserve subit une baisse de % de son effectif par rapport à celui du octobre dernier.
Ainsi : = = =
2. Justifier que pour tout entier naturel on a : = .
Quel que soit l'entier nature , est le nombre de cétacés dans la réserve marine le er juin .
De ce er juin au octobre suivant, cétacés arrivent dans la réserve marine puis, entre le er novembre et le mai de l'année , la réserve subit une baisse de % de son effectif par rapport à celui du octobre précédent.
Ainsi : = = =
3. A l'aide d'un tableur on a calculé les premiers termes de la suite ( ). Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l'unité.
A B C D E F G H I
4. a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel on a : ≥ ≥
∀ ∈ N, on pose p( ) : ≥ ≥
Démontrons par récurrence que p( ) est vraie pour tout entier naturel .
• Initialisation : Si =
= et = Donc : ≥ ≥ Ainsi p( ) est vraie.
• Hérédité :
Soit un entier naturel. Supposons que p( ) soit vraie. Alors : ≥ ≥ En multipliant chaque membre par > on obtient : ≥ ≥
En additionnant à chaque membre, on obtient : ≥ ≥ Or : ∀ ∈ N, = et : ≥
On en déduit : ≥ ≥ . Ainsi p( ) est vraie.
• Conclusion :
p( ) est vraie et la propriété p( ) est héréditaire donc : ∀ ∈ N, ≥ ≥ 2017
1 31 80
1 31 5
31
un n
un 1 2017 +n u0
u1 2926
n un+1 0,95un+ 76
8 un
1 n 0 1 2 3 4 5 6 7
2 un 3000 2926 2856 2789 2725 2665 2608 2554
n un un+1 3 000 3 000
2 000
u1 3 000 + 80¡ 5
100(3 000 + 80) 3 080¡0,05£3 080 2926
1 2017 u0 3 000
1 2017 31 2017 80 1
31 2018 5 31
1 31 80 1
31 5 31
un 1 2017 +n
n 2017 + (n+ 1)
un+1 un+ 80¡ 5
100(un+ 80) un+ 80¡0,05un¡0,05£80 0,95un+ 76
n n
n n
n n
n
k k
k+ 1 un un+1
0
u0 3 000 u1 2926 u0 u1 0
uk uk+1
0,95 0 0,95uk 0,95uk+1
76 0,95uk+ 76 0,95uk+1+ 76
un+1 0,95un+ 76
n 1 501 1 500
1 500 1 425
1 501
1 500 uk+1 uk+2
0 un un+1 1 500
1 500 1 500
1 500
b) Que peut-on en déduire pour la suite ( ) ?
∀ ∈ N, ≥ ≥
On en déduit dans un premier temps que la suite ( ) est décroissante et minorée par . Ce qui implique, dans un second temps que la suite ( ) converge vers un réel L ≥ .
5. a) On admet que pour tout entier naturel on a : = . b) Déterminer la limite de la suite ( ). Que peut-on déduire de ce résultat ?
∀ ∈ N, =
∈]- ; [ donc =
Par produit de limites, on en déduit : =
Par somme de limites, on en déduit : = Ainsi, la suite ( ) converge vers .
On en déduit que, selon ce modèle, dans un très grand nombre d'années la population de cétacés de la réserve marine risque de diminuer jusqu'à . Ce nombre étant inférieur à , le directeur de la réserve a raison de craindre la perte du classement de la zone en « Réserve Marine ».
6. a) Compléter l'algorithme suivant pour déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve sera inférieur à . Coder l'algorithme en python.
N ← U ←
Tant que U ≥ N ← N + 1 U ← Fin Tant que Afficher N
Codage python : N =
U =
while U >= : N = N + 1 U = print(N) Ou bien :
N ← U ←
Tant que U ≥ N ← N + 1 U ← Fin Tant que Afficher N
Codage python : N =
U =
while U >= : N = N + 1 U = print(N)
b) Interpréter le résultat affiché dans le contexte de l'exercice.
L'algorithme renvoie N = =
Ce qui signifie qu'en , si la situation ne s'améliore pas, le nombre de cétacés deviendra inférieur à et la zone perdra le label « Réserve Marine ».
un
n un
un
0 n un un+1
un
1 500
1 500
un 1 500
n un
0,95 1 1 lim
n!+10,95n 0
n!lim+11 480£0,95n 0 1 480£0,95n+ 1 520
1 480£0,95n+ 1 520
n!lim+11 480£0,95n+ 1 520 1 520
un 1 520
1 520 2 000
2 000
3 000
2 000
1 480£0,95N+ 1 520
0 3 000
2 000
1 480¤0.95¤ ¤N + 1 520
0 3 000
2 000
0 3 000
2 000 0,95 U + 76
0,95¤U + 76
22 2 039 2 017 + 22 2 039
2 000
