Nom :
Classe : 1ère Spé Maths G1
Devoir maison n°1 Suites géométriques à préparer pour le : 03 / 10 / 19 Exercice 1 : n° 27 p 32
Exercice 2 : n° 37 p 32
Exercice 3 : n°56 p 35
Exercice 4 : n° 60 p 35
Nom :
Classe : 1ère Spé Maths G1 Le : 03 / 10 / 19
Test du DM n°1 Suites géométriques
Note :
… / 10
Evaluation des capacités
Je sais : Non Oui
Ecrire un algorithme (en langage naturel) et résoudre un problème concret.
Modéliser puis résoudre un problème à l'aide d'une suite.
Justifier un taux d'évolution.
Définir une suite par une relation de récurrence / par une formule explicite.
Calculer le terme d'une suite.
Justifier / Démontrer la relation de récurrence qui définit une suite.
Démontrer qu'une suite est géométrique.
Exercice 1 : n° 27 p 32 … / 2,5
Une solution contient cinq bactéries à l'instant = . Après l'ajout d'un élément nutritif, le nombre de bactéries augmente de % chaque seconde.
1. Ecrire un algorithme qui donne le nombre de bactéries présentes dans la solution au bout de
secondes.
………
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2. Au bout de combien de secondes le nombre de bactéries dépassera-t-il ?
(Aucune justification n'est attendue, vous pourrez utiliser le tableur de la calculatrice pour identifier la réponse)
………
Exercice 2 : n° 37 p 32 … / 2,5 Une maison est louée depuis exactement ans.
La ère année, le loyer mensuel s'élevait à €. Puis, chaque année suivante, ce montant a augmenté de %.
Calculer la somme totale (au centime d'euro près)
représentant l'ensemble des loyers au cours de ces ans.
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Exercice 3 : n°56 p 35 … / 2,5 En informatique, on appelle pourcentage de
compression, le pourcentage de réduction de la taille en Ko (kilo octets) d'un fichier après compression.
1. Un fichier a une taille initiale de Ko.
Après compression, il mesure Ko. Montrer que le pourcentage de compression est de %.
………
………
………
………
………
2. On note la taille en Ko de ce fichier après compressions successives au pourcentage de compression de %. On a = .
a) Exprimer en fonction de .
………
………
………
b) Exprimer en fonction de .
………
………
3. On admet, en utilisant la calculatrice, qu'il faut au minimum compressions successives pour t 0
25
n
20 000
10 900
1 1
10
800 664
17
tn n
17 t0 800
tn+1 tn
tn n
15
Exercice 4 : n° 60 p 35
Le taux d'accroissement naturel (augmentation ou diminution annuelle de la population en pourcentage) de la population française est de % par an depuis
selon l'INSEE.
On estime également que chaque année, le solde migratoire (différence entre le nombre de personnes qui sont entrées sur le territoire et le nombre de personnes qui en sont sorties au cours de l'année) est d'environ .
En , le nombre d'habitants en France était de millions. On fait l'hypothèse que l'évolution observée perdure et on note le nombre d'habitants estimé (en millier) en France, l'année , avec
un entier naturel. Ainsi = . 1. Calculer
………
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2. Montrer que, pour tout entier naturel , on a : =
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3. On admet, en utilisant un tableur, que selon ce modèle il y aura environ milliers d'habitants en France en .
… / 2,5 4. On pose =
a) Démontrer que = . Quelle est alors la nature de la suite ( ) ?
………
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b) Exprimer en fonction de puis en déduire en fonction de .
………
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………
………
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………
c) =
Ainsi, le calcul de à partir de la formule explicite obtenue à la question précédente permet de vérifier l'estimation faite à la question 3.
0,55 1999
75 000 2018
67,2
pn
2018 +n n
p1
67 200 p0
n 1,0055pn+ 75 pn+1
88 123,5 2060
un pn+ 13 636,36 364 un+1 1,0055un
un
un n
pn n
p42
2018 + 42 2060
Correction du Test du DM n°1 Exercice 1 : n° 27 p 32
Une solution contient cinq bactéries à l'instant = . Après l'ajout d'un élément nutritif, le nombre de bactéries augmente de % chaque seconde.
1. Ecrire un algorithme qui donne le nombre de bactéries présentes dans la solution au bout de
secondes.
←
Pour allant de à faire : ← (*) Fin Pour
Afficher (*) ou ← ou ←
2. Au bout de combien de secondes le nombre de bactéries dépassera-t-il ?
(Aucune justification n'est attendue, vous pourrez utiliser le tableur de la calculatrice pour identifier la réponse)
Le nombre de bactéries dépassera au bout de s.
Exercice 2 : n° 37 p 32 Une maison est louée depuis exactement ans.
La ère année, le loyer mensuel s'élevait à €. Puis, chaque année suivante, ce montant a augmenté de %.
Calculer la somme totale (au centime d'euro près)
représentant l'ensemble des loyers au cours de ces ans.
On pose = = le loyer annuel payé la 1ère année et celui payé la -ième année.
Chaque année, les loyers augmentent de %.
Donc : ∀ ∈ N*,
=
On reconnaît la relation de récurrence associée à la suite géométrique de raison et de er terme = . En notant S la somme des loyers versés sur les ans, on en déduit :
S = =
Exercice 3 : n°56 p 35 En informatique, on appelle pourcentage de
compression, le pourcentage de réduction de la taille en Ko (kilo octets) d'un fichier après compression.
1. Un fichier a une taille initiale de Ko.
Après compression, il mesure Ko. Montrer que le pourcentage de compression est de %.
On calcule le taux d'évolution de la valeur initiale = Ko à la valeur = Ko.
= = =
Le taux de compression est donc bien de %.
2. On note la taille en Ko de ce fichier après compressions successives au pourcentage de compression de %. On a = .
a) Exprimer en fonction de .
∀ ∈ N, =
= = b) Exprimer en fonction de .
On reconnaît la relation de récurrence associée à la suite géométrique de raison = et de er terme = Donc : ∀ ∈ N, = =
3. On admet, en utilisant la calculatrice, qu'il faut au minimum compressions successives pour que ce fichier ait une taille finale inférieure à 50 Ko.
t 0
25
n
20 000
10
1 900
1 10
800 664
17
tn n
17 t0 800
tn+1 tn
tn n
15 b+ 0,25b
1,25b b
t 1 n
b+ 25 100b
20 000 38
10 800 900£12
u1
un n
1 un+1 =un+ 1
100un
un+1 =un+ 0,01un
u1 10 800 1,01 1
n
u1£ 1¡q10 1¡q
10 1,01un
V1¡V0
V0
664¡800
800 -0,17
V0 800 V1 664
t
t
17
n tn+1 tn¡ 17 100tn
tn+1 tn¡0,17tn 0,83tn
n
800 t0
q 0,83 1
tn t0£qn 800£0,83n
u1+u2+ +u10
b 5
b
b b
Exercice 4 : n° 60 p 35
Le taux d'accroissement naturel (augmentation ou diminution annuelle de la population en pourcentage) de la population française est de % par an depuis
selon l'INSEE.
On estime également que chaque année, le solde migratoire (différence entre le nombre de personnes qui sont entrées sur le territoire et le nombre de personnes qui en sont sorties au cours de l'année) est d'environ .
En , le nombre d'habitants en France était de millions. On fait l'hypothèse que l'évolution observée perdure et on note le nombre d'habitants estimé (en millier) en France, l'année , avec
un entier naturel. Ainsi = . 1. Calculer
En , la population française était égale à : = (en milliers d'habitants.)
De à , le taux d'accroissement naturel était de % et le solde migratoire de milliers d'habitants.
Ainsi : = = =
= =
2. Montrer que, pour tout entier naturel , on a : =
Chaque année, le taux d'accroissement naturel est de % et le solde migratoire est de milliers d'habitants. Ainsi :
∀ ∈ N, = = =
3. On admet, en utilisant un tableur, que selon ce modèle il y aura environ milliers d'habitants en France en .
4. On pose =
a) Démontrer que = . Quelle est alors la nature de la suite ( ) ?
∀ ∈ N, = On en déduit : = Or : =
Donc : =
=
Or : = ⇔ =
Donc : = = =
On reconnaît la relation de récurrence associée à une suite géométrique.
b) Exprimer en fonction de puis en déduire en fonction de .
( ) est géométrique de raison = et de er terme : =
= = Ainsi :
∀ ∈ N, = = On en déduit :
= =
c) =
Ainsi, le calcul de à partir de la formule explicite obtenue à la question précédente permet de vérifier l'estimation faite à la question 3.
0,55 1999
75 000 2018
67,2
pn
2018 +n
n p0 67 200
p1
n pn+1 1,0055pn+ 75
88 123,5 2060
un pn+ 13 636,36 364 un+1 1,0055un
un
un n
pn n
2060 2018 + 42 p42
p1
2019 0,55
p0 67 200
p0 + 0,55
100 p0+ 75 p1 p0 + 0,0055p0+ 75 p1 1,0055p0+ 75
p1 1,0055£67 200 + 75 67 644,6
n pn+1 pn+ 0,55
100 pn+ 75 pn+1
pn+1
pn+ 0,0055pn+ 75 1,0055pn+ 75
0,55 75
2018 2018
75
n un pn+ 13 636,36 364
un+1 pn+1+ 13 636,36 364 pn+1 1,0055pn+ 75
un+1 1,0055pn+ 75 + 13 636,36 364 un+1 1,0055pn+ 13 711,36 364
pn+ 13 636,36 364 un¡13 636,36 364
un pn
1,0055 (un¡13 636,36 364) + 13 711,36 364 un+1
un+1 1,0055un¡13 711,36 364 + 13 711,36 364 un+1 1,0055un
n un
un
u0£qn
1,0055
q 1
u0 p0+ 13 636,36 364 u0 67 200 + 13 636,36 364 u0 80 836,36 364
pn un¡13 636,36 364
pn 80 836,36 364£1,0055n¡13 636,36 364 un 80 836,36 364£1,0055n
