Collège Saint Joseph – SEGRÉMATHÉMATIQUES

(1)

NOM : …...

PRÉNOM : ...

Collège Saint Joseph – SEGRÉ MATHÉMATIQUES

Livret de cours

CYCLE 4 (5ème – 4ème – 3ème)

(2)

Sommaire

THÈME A - NOMBRES ET CALCULS...1

1 - Mener un calcul...1

2 - Nombres en écritures fractionnaires...2

3 - Opérations sur les nombres en écriture fractionnaire...4

4 - Nombres relatifs...6

5 - Opérations sur les nombres relatifs...8

6 - Puissances entières d'un nombre relatif...10

7 - Puissances de dix...11

8 - Notation scientifique d'un nombre...12

9 - Les nombres...12

10 - Multiples et diviseurs...13

11 - Nombres premiers...13

12 - Décomposition et fractions irréductibles...13

13 - Expressions littérales...14

14 - Distributivité...15

15 - Développer une expression littérale...15

16 - Double distributivité de la multiplication par rapport à l'addition...16

17 - Développer une expression littérale en utilisant les produits remarquables...17

18 - Factoriser une expression littérale...18

19 - Factoriser une expression littérale en utilisant les produits remarquables...18

20 - Équations et mise en équation d’ un problème...19

21 - Inéquations...23

THÈME B – ORGANISATION GESTION DE DONNÉES - FONCTIONS. .25

1 - Reconnaître une situation de proportionnalité...25

2 - Compléter un tableau de proportionnalité...25

3 - Déterminer une quatrième proportionnelle...25

4 - L'égalité des produits en croix...26

5 - Caractériser graphiquement la proportionnalité...26

6 - Utiliser la proportionnalité pour calculer des grandeurs...27

7 - Utiliser un pourcentage...27

8 - Déterminer un pourcentage...27

9 - Augmenter ou diminuer d'un pourcentage...28

10 - Effectifs et fréquences...28

11 - Représentations graphiques...29

12 - Caractéristiques d'une série de données...29

13 - Calcul de probabilité dans des situations simples...32

14 - Notion de fonction...36

15 - Fonctions linéaire, affine et constante...37

(3)

THÈME C - GRANDEURS ET MESURES...41

1 - Échelles...41

2 - Aires de figures usuelles...41

3 - Aire d'un parallélogramme...42

4 - Volume d'un prisme droit et d'un cylindre...42

5 - Volume d'une pyramide et d'un cône de révolution...42

6 - Volume de la boule...43

7 - Agrandissements et réductions...43

8 - Tableaux de conversion...44

THÈME D- ESPACE ET GÉOMÉTRIE...46

1 - Médiatrice d’un segment...46

2 - Angles...46

3 - Triangles...47

4 - Symétrie par rapport à un point...49

5 - Translation...50

6 - Rotation...51

7 - Homothétie...53

8 - Le parallélogramme...54

9 - Le rectangle...55

10 - Le losange...55

11 - Le carré...56

12 - Du quadrilatère aux parallélogrammes particuliers, propriétés...56

13 - Théorème de Pythagore...57

14 - Propriété de Thalès...59

15 - Cosinus, sinus, tangente dans le triangle rectangle...62

16 - Solides...64

17 - Repérage dans l'espace...68

18 - Sections planes de solides...69

(4)

THÈME A - NOMBRES ET CALCULS

1 - Mener un calcul

a . Vocabulaire Définitions :

● Le résultat d'une addition s'appelle une somme et les nombres utilisés s'appellent les termes.

● Le résultat d'une soustraction s'appelle une différence et les nombres utilisés s'appellent les termes.

● Le résultat d'une multiplication s'appelle un produit et les nombres utilisés s'appellent les facteurs.

● Le résultat d'une division s'appelle un quotient.

b . Expressions sans parenthèses

Propriété : Dans une expression avec uniquement des additions et des soustractions , on effectue les calculs dans l’ordre.

Il en est de même, dans une expression avec uniquement des multiplications et des divisions.

Exemples :

Propriété

: Dans une expression sans parenthèses, les multiplications et les divisions doivent être effectuées avant les additions et les soustractions.

Exemples :

Propriété : Dans une expression avec uniquement des additions, on peut effectuer les calculs dans l’ordre que l’on veut. Cela nous permet de calculer astucieusement. Il en est de même dans une expression avec

uniquement des multiplications.

Exemples :

A=27−5+ 2 A=22+2 A=24

B=42÷6×7 B=7×7 B=49

C=17−7×2 C=17−14 C=3

D=10+15÷3 D=10+5 D=15

E=25+187+75 E=100+187

F=25×13×4 F=100×13

(5)

c . Expressions avec parenthèses

Propriété : Dans une expression avec parenthèses, on effectue d’abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus à l’intérieur.

Exemples :

2 - Nombres en écritures fractionnaires

a . Écriture fractionnaire Définition :

● Si a et b sont deux nombres décimaux ( b non nul), ^a

b est une écriture fractionnaire,

a est le numérateur , b est le dénominateur.

● Si a et b sont deux nombres entiers ( b non nul), ^a_b est appelé fraction.

Exemple: ₂₀³ des élèves de la classe de 5ème C ont la rougeole.

La proportion ( ou la fréquence ou la fraction) des élèves de 5ème C ayant la rougeole est de ₂₀³

•

• ₂₀³ = ³÷20 = ^0,15 = ₁₀₀¹⁵ ; 15 % des élèves de la classe de 5ème C ont la rougeole.

b . Écritures fractionnaires égales Propriété

: Lorsqu'on multiplie ( ou on divise ) le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre non nul, on obtient une fraction égale.

Quels que soient les nombres a, b, c ( b non nul, c non nul ) G=8+3×(10−2×3)

G=8+3×(10−6) G=8+3×4 G=8+12 G=20

H=27−(18−(3+4)) H=27−(18−7) H=27−11 H=16

(6)

Critères de divisibilité

● Un nombre est divisible par 2 s'il est pair, c'est-à-dire s'il se termine par 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8

● Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est dans la table de multiplication de 3

● Un nombre est divisible par 4 si le nombre composé de ses deux derniers chiffres est divisible par 4

● Un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5

● Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est dans la table de multiplication de 9

● Un nombre est divisible par 10 s'il se termine par 0 Exemples :

2 5 = 40

100

3 12 = 1

4 ou ₁₂³ ^{= 3}_3×4^×1⁼¹₄ on a simplifié la fraction ₁₂³ Exemple d'utilisation de l'égalité : division par un nombre décimal

^8,1÷3,24 ⁼ _3,24^8,1 ⁼ ⁸¹⁰₃₂₄ ⁼ ^2,5

c . Comparaison de nombres en écritures fractionnaires

Propriété : Si deux nombres en écriture fractionnaire ont le même dénominateur, le plus petit est celui qui a le numérateur le plus petit.

Exemple : ³₅^{< 4}₅

Cas où les dénominateurs sont différents : il faut mettre au même dénominateur pour pouvoir comparer.

Exemple

: Comparaison de ⁴

5 et ¹³

20 : ⁴₅⁼¹⁶₂₀ , ¹⁶₂₀^>¹³₂₀ donc ⁴₅ > 13

20 d . Égalité des produits en croix

Si a b = c

d avec , alors a×d=c×b et inversement.

Exemple 1

: Les fractions ₁₄⁴ ^et ₂₁⁶ sont-elles égales ?

4×21= 84 et 6×14=84 Les 2 produits en croix sont égaux donc les fractions sont égales.

Exemple 2 : Trouver x tel que: ⁻¹⁵

6 = x

4

−15×4=6×x

−60=6x x= −60

6

b≠0et d≠0

(7)

e . Encadrement d'une fraction On effectue à la calculatrice ²⁵₇ ,

Affichage sur la

calculatrice Rang Encadrement par les valeurs

approchées par défaut et par excès Arrondi

3∣,571428571 A l'unité ^3<²⁵₇ ^<4 4

3,5∣71428571 Au dixième ^3,5<25

7 <3,6 3,6

3,57∣1 428571 Au centième ^3,57<25

7 <3,58 3,57

3 - Opérations sur les nombres en écriture fractionnaire

a . Addition de fractions ayant le même dénominateur

Propriété : pour additionner ou soustraire deux fractions ayant le même dénominateur :

● On additionne ou on soustrait les numérateurs.

● On conserve le dénominateur commun.

Quels que soient les nombres a, b, c ( b non nul ) : a

b  c

b = ac

b a b − c

b = a−c b Exemples :

A=3 4 + 7

4 A= 3+7

4 A= 10

4 A= 5 2

B=9 5−1

5 B=9−1

5 B=8 5

C=−13

9 + 10

9 C=−3

9 C=− 1

3

b . Addition de fractions ayant des dénominateurs différents

Propriété : pour additionner ou soustraire deux fractions ayant des dénominateurs différents, il faut les mettre « au même dénominateur ».

Exemples :

−9 −8 14 7

E = 3 4 − 5

32 E = 24

32 − 5 32 E = 24−5

32 donc E = 19 32 D = 7

24 + 5 6 D = 7

24 + 20 24 D = 27

24 donc D = 9 8

F = 2 + 3 7 F = 14

7 + 3 7 F = 14+3

7 donc F = 17 7

(8)

c . Multiplication de nombres en écriture fractionnaire

Règle : Pour multiplier deux nombres relatifs en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Remarque : Avant d'effectuer ces calculs, on essaie de décomposer en produits de facteurs pour simplifier.

Exemples :

d . Inverse d'un nombre

Définition : Deux nombres sont inverses l'un de l'autre lorsque leur produit est égal à 1.

Si a≠0 , l'inverse de a est noté ¹ a Si a≠0et b≠0 , l'inverse de ^a

b est ^b a Exemples : L’inverse de 2 est ¹

2 car ¹

2×2=1 L’inverse de ⁴

−3 est ⁻³₄ car ⁻₄³× 4

−3=1 L’inverse de ¹

5 est 5 car ⁵×1 5=1

e . Division de nombres en écriture fractionnaire

Règle : Diviser par un nombre différent de zéro revient à multiplier par l’inverse de ce nombre.

Exemples :

^C ⁼ ¹⁵₇ ^{÷ (−5)}

C = 15

7 × −1 5 C = 5 × 3 × (−1)

× B = −5 ÷ 15

7 B = −5 × 7 15 B = −5 × 7

5 × 3

A = 5

3 ÷ 2 7 A = 5

3 × 7 2

A = −3

4 × 5

2 A = −3×5

4×2 A = −15

8

B= − 3

24 × 48 15 B = −3×2×24 24×3×5 B = −2

5

C = 3 × −5 4 C = −3×5

4 C = −15 4

(9)

4 - Nombres relatifs

a . Écriture des nombres relatifs

Définition :Un nombre relatif est formé d'un signe et d'un nombre décimal appelé distance à zéro.

Exemple :

(+7) est un nombre relatif

• son signe est +

• sa distance à zéro est 7

(- 4) est un nombre relatif

• son signe est -

• sa distance à zéro est 4

Définitions :

● Les nombres comportant un signe - sont appelés les nombres négatifs.

● Les nombres comportant un signe + sont appelés les nombres positifs.

● Les nombres négatifs et positifs constituent les nombres relatifs.

● Deux nombres relatifs sont opposés si ils ont la même distance à zéro et des signes contraires.

Exemple : -3 et +3 sont opposés.

b . Repérage des nombres relatifs sur une droite graduée

Définition : Sur une droite graduée, chaque point correspond à un nombre relatif.

On dit que ce nombre est l’abscisse du point.

Exemple :

L'abscisse de A est ( 3 ) ou ( +3 ).On note A(+3)

De même, on note B(+5), C(-2), D(-4) et E(-5,5)

0 +7

7

0 - 4

4

(10)

c . Repérage des nombres relatifs dans le plan Dans le repère orthogonal, d’origine O ci-dessous :

A a pour abscisse -3 , A a pour ordonnée 1

A a pour coordonnées ( -3 ; 1 ); on note A ( -3 ; 1)

B ( 2,5 ; 3,5 ) , C ( -3 ; -2 ) , D ( 1,5 ; -2 ) , E ( 3,5 ; 0 ) , F ( 0 ; 2 ) , G ( 0 ; -3 ) , H ( -2,5 ; 0 ).

d . Comparaison de nombres relatifs Propriétés :

● Tout nombre négatif est inférieur à tout nombre positif.

● Si deux nombres sont négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande distance à zéro.

Exemples : -5 < 1 -8 < -5

(11)

5 - Opérations sur les nombres relatifs

a . Addition de nombres relatifs

Propriété : Pour additionner 2 nombres relatifs de même signe : - on additionne les distances à zéro,

- on donne au résultat le signe commun aux deux nombres.

Exemple : (−5)+(−7)=(−12)

Propriété : Pour additionner 2 nombres relatifs de signes contraires : - on soustrait les distances à zéro (on fait la différence).

- on donne au résultat le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.

Exemples : (−6)+(+9)=(+3) (+8)+(−3,5)=(+4,5) (−5)+(+5)=0 Propriété : La somme de deux nombres opposés est égale à zéro.

Exemple : (+1,9)+(−1,9)=0

b . Soustraction de nombres relatifs

Propriété : Pour soustraire un nombre relatif, il suffit d’ajouter l’opposé de ce nombre.

Exemples :

c . Simplification d'écriture

Convention : On peut simplifier certaines écritures :

● On peut supprimer le signe + et les parenthèses des nombres positifs

● On peut supprimer les parenthèses du premier nombre relatif

● On utilise la règle suivante :

On supprime les signes d'addition

+

et les parenthèses.

A = (−6) − (+8) A = (−6) + (−8) A = (−14)

B = (+8) − (−7) B = (+8) + (+7) B = (+15)

C = (−5) − (−4) C = (−5) + (+4) C = (−1)

+(+ .... )

−(− .... )

(12)

E

xemple 1 : D = 4+ (−7) D = 4−7 D = −3

Exemple 2 :

F=7–4,5+8– (−3,5)–9+ (−6,5)–8

F = 7−4,5+8+3,5−9 −6,5 −8 On simplifie les écritures

(parenthèses).

F = 7 – 4,5+3,5 – 9−6,5 On supprime les deux

nombres opposés.

F = 7+3,5 – 9−6,5 – 4,5 On regroupe les termes de

même signe.

On effectue les calculs.

d . Multiplication de deux nombres relatifs

Règle : Si deux nombres relatifs sont de même signe, alors leur produit est positif.

Exemples :

Règle : Si deux nombres relatifs sont de signes différents, alors leur produit est négatif.

Exemples :

Règle : Un produit de nombres relatifs non nuls est : - positif si le nombre de facteurs négatifs est pair.

- négatif si le nombre de facteurs négatifs est impair.

Exemples :

E=(+5)×(−8)×(−2) F = −9,5

F = 10,5 – 20

F=(−3)×(−7)×(−5)×2 B = 3,5 × 4

B = 14 A = −3 × (−5)

A = 15

D = 2 × (−1,6) D = −3,2

C = −5 × 3,2

C = −16

E = −2− (−3) E = −2+3 E = 1

G = −9− (+5) G = −9−5 G = −14

(13)

e . Division de deux nombres relatifs

Règle :Pour calculer le quotient de deux nombres relatifs, on applique la règle des signes de la multiplication.

Exemples :

f . Enchaînement d'opérations de nombres relatifs

Dans une succession d’opérations sur les nombres relatifs, on effectue : - d’abord les calculs entre parenthèses,

- puis les puissances,

- puis les multiplications et les divisions, - enfin les additions et les soustractions.

Lorsqu’il y a égalité de priorité, on effectue les calculs de la gauche vers la droite.

Exemples :

6 - Puissances entières d'un nombre relatif

a . Exposant positif

Définition: Soit ⁿ un entier supérieur à 2 et ^a un nombre relatif, on appelle « a exposant n » le nombre noté aⁿ qui est égal à :

a×a×a×...×a avec ⁿ facteurs égaux à ^a Exemples : ₃⁴_=3×_3×_3×₃₌₈₁ ₃⁴ se lit « 3 exposant 4 »

a² se lit : « ^{a au carré} » a³ se lit : « ^{a au cube} . »

(−5)²=(−5)×(−5)=25 mais Par convention : Si

K = 0

8

K = 0

J = 4 ÷ 4 J = 1 I = −3,8 ÷ 2

I = −1,9 H = − 44

−11

H = 4

G = −63 9

G = −7

C = 64 ÷ (−8) × 5 C = −8 × 5

C = −40 B = 2 + 12 ÷ 4 −4

B = 2 + 3 − 4 B = 5 − 4 B = 1 A = 7 −(3 −5) × 4²

A = 7 −(−2) × 16 A = 7 + 32

A = 39

(3 4)²=3

4×3 4= 9 (−2)⁵=(−2)×(−2)×(−2)×(−2)×(−2)=−32 16

(−4)³=(−4)×(−4)×(−4)=−64

−5²=−5×5=−25 a≠0 , a⁰=1 a¹=a

(14)

b . Exposant négatif

Définition : Si ⁿ est un entier positif, on définit a⁻ⁿ par l'inverse de aⁿ Par convention, _a⁻ⁿ₌ ¹

aⁿ

avec a≠0

Exemples : ²⁻³=1 2³

En particulier : qui est l'inverse de a

7 - Puissances de dix

Définition : Quel que soit l’entier positif ⁿ :

1 suivi de n zéros n zéros précédant 1 (sans oublier la virgule)

Exemples :

10²=100

signifie un million signifie un milliard

Propriétés : ⁿ et ^p désignent des entiers relatifs

Exemples :

Préfixes scientifiques

Préfixe Giga Méga Kilo Milli Micro Nano

Symbole G M k m μ n

Signification 10⁹ 10⁶ 10³ 10⁻³ 10⁻⁶ 10⁻⁹

Exemple : Un gigaoctet, noté Go, correspond à une quantité de données numériques de 2⁻¹=1

2=0,5 a⁻¹=1

a

10ⁿ=10... 0 10⁻ⁿ=0,0 ... 001

10⁹=1 000 000 000

10⁻³=0,001 10⁶=1 000 000

10³=1 000 10⁻¹=0,1

(10ⁿ)^p=10^n×p

10ⁿ×10^p=10ⁿ⁺^p 10ⁿ

10^p=10ⁿ⁻^p

(10²)⁴=10^2×4=10⁸ 10⁵

10²=10⁵⁻²=10³

10×10⁻⁴×10⁵=10^1+(−4)+5=10² 10⁷×10⁴=10⁷⁺⁴=10¹¹

10⁹

10⁻³=10⁹⁻⁽⁻³⁾=10⁹⁺³=10¹²

(15)

8 - Notation scientifique d'un nombre

Définition : La notation scientifique d'un nombre décimal positif est la seule écriture de la forme a×10ⁿ dans laquelle le nombre ^a est compris entre 1 et 10 exclu et n est un entier relatif.

Exemples : La distance de la Terre au Soleil est d'environ 150 000 000 km soit 1,5×10⁸ km en notation scientifique.

9 - Les nombres

a . Les nombres entiers -5 ; 0 ; 27 sont des nombres entiers.

b . Les nombres décimaux

Définition : Un nombre décimal est un nombre qui comporte une partie entière et une partie décimale, celle-ci ayant un nombre fini de chiffres.

Exemples : −4,12 7 3

4 50 %

Remarque : Tous les nombres entiers sont des nombres décimaux.

c . Les nombres rationnels

Définition : Un nombre rationnel est le quotient de deux nombres entiers

Exemples : ⁵₂ ⁻¹₃

√

⁴⁼²⁼²₁

Remarque : Tous les nombres décimaux sont des nombres rationnels.

d . Les racines carrées

Définition : La racine carrée d'un nombre positif a, est le nombre positif qui, élevé au carré, donne a. Ce nombre est noté

√

^a ^.

√

^a peut être un nombre entier

√

⁶⁴⁼⁸ ^{, décimal}

√

^0,01=0,1 ou rationnel

√

⁹⁴⁼³² ^.

Mais

√

^a n'est pas toujours un nombre entier, décimal ou rationnel.

Dans ce cas, on dit que

√

^a est un nombre irrationnel comme

√

² dont la valeur

−6 7,41

34500=3,45×10⁴ 0,000981=9,81×10⁻⁴

(16)

10 - Multiples et diviseurs

Définition : Soient deux nombres entiers n et d non nuls. S’il existe un nombre entier q tel que : n = d x q , on dit que:

● n est un multiple de d ( et de q)

● d est un diviseur de n ( de même q est un diviseur de n)

● ou n est divisible par d (et aussi par q) Remarque :

Un nombre est divisible par un autre si le reste de la division euclidienne de l’un par l’autre est égal à 0.

Exemples : Si on divise 91 par 13, on trouve un quotient de 7 et le reste est 0.

Donc : 91=13×7 Dans ce cas, on dit :

● 91 est un multiple de 13 (et de 7)

● 13 est un diviseur de 91 (de même 7 est un diviseur de 91)

● ou 91 est divisible par 13 (et aussi par 7) Les diviseurs de 24 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24.

Les diviseurs de 90 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 9 ; 10 ; 15 ; 18 ; 30 ; 45 ; 90.

Remarque :

Tout nombre supérieur à 1, a, au moins deux diviseurs : 1 et lui – même.

11 - Nombres premiers

Définition : Un nombre premier est un nombre ayant seulement 2 diviseurs : 1 et lui même.

Exemples : Les diviseurs de 19 sont : 1 et 19. Donc 19 est un nombre premier.

Les diviseurs de 35 sont : 1, 5, 7 et 35. Donc 35 n’est pas un nombre premier.

1 a un seul diviseur, donc 1 n’est pas un nombre premier.

12 - Décomposition et fractions irréductibles

Propriété

: On peut toujours décomposer un nombre non premier en produit de plusieurs facteurs premiers.

Exemples : 60=... ou 728=... ou

Méthode : On peut simplifier une fraction et la rendre irréductible en décomposant son numérateur et son dénominateur en produits de facteurs premiers.

60=...

728=...

(17)

Exemple :

On veut rendre irréductible la fraction 120 84 .

Pour cela on décompose 120 et 84 en produits de facteurs premiers.

120=.... et 84=...

120

84 =...

... ¹²⁰ 84 =....

... .

13 - Expressions littérales

a . Définition

3×a+4×b est une expression littérale.

Règle : Dans une expression, on peut supprimer le signe × quand il se situe entre un nombre et une lettre ; entre deux lettres ; entre un nombre et une parenthèse ; entre deux parenthèses ; entre une lettre et une parenthèse :

Exemples :

● Aire d'un disque _π×r×r=πr²

● Périmètre d'un rectangle 2×(L+l)=2(L+l)

● Périmètre d'un carré 4×c=4c

Attention : on ne peut pas supprimer le signe × entre deux nombres Exemple : 4×7 est égal à 28 et non 47

b . Calculer la valeur d'une expression littérale

Définition : Calculer la valeur d'une expression littérale c'est attribuer un nombre à chaque lettre afin d'effectuer le calcul.

Pour calculer une expression littérale, on réintègre le signe « x » dans l'expression : Exemple 1:

Calculer A pour a=2 A = 5×2−4

A = 10−4 A = 6

Exemple 2 :

Calculer B pour :

a=−2 ; b=3 et c=−6 B = 5×(−2)−2×3+3×(−6) B = −10−6−18

B = −34

Exemple 3 :

Calculer C pour x=4

C = 3×4²−2×4+1 C = 3×16−8+1 C = 48−8+1

A = 5a−4 B=5a−2b+3c

C = 3x²−2x+1

(18)

E=15×12 E=180

E=15×10+15×2 E=150+30 E=180

c . Réduire une expression littérale

Définition : Réduire une expression littérale, c'est l'écrire avec le moins de termes possibles.

Exemple : Réduire les expressions suivantes:

14 - Distributivité

Exemples : Calculer E et F de deux façons différentes :

E =15× (10+2) F=12×18 –12×16

1ère façon : 2ème façon : 1ère façon : 2ème façon :

15 - Développer une expression littérale

Définition : Développer une expression littérale, c'est la transformer en une somme ou une différence de termes.

Exemple : Développer et réduire les expressions suivantes :

k

a b

k

a b

A = 3 × 7x A = 21x

C = −5x − 2x C = −7x

D = 4x − 6x² + 2x² − x D = −4x²+3x

B = 6x × 7x B = 42x²

x correspond à 1x

Propriété : k, a et b désignent des nombres relatifs, on a:

De même:

k×(a+ b)=k×a+ k×b

=k a+ k b

k×(a – b)=k×a−k×b

=k a−k b

F=216−192 F=24

F=12×(18−16) F=12×2

F=24

A = 4(x+2)

A = 4× x + 4× 2 A = 4x + 8

B = −3(2a –7)

B = −3×2a − (−3) ×7 B = −6a + 21

C = 3a(4a−6)

C = 3a×4a − 3a×6 C = 12a² − 18a

(19)

Règles sur la suppression de parenthèses

Pour supprimer des parenthèses précédées du signe + :

● on supprime les parenthèses et le signe + qui les précède.

● on réécrit l'expression sans changer les signes situés à l'intérieur des parenthèses supprimées.

OU on multiplie les termes de la parenthèse par 1

Pour supprimer des parenthèses précédées du signe – :

● on supprime les parenthèses et le signe – qui les précède.

● on réécrit l'expression en changeant tous les signes situés à l'intérieur des parenthèses supprimées.

OU on multiplie les termes de la parenthèse par - 1

Exemples : Simplifier les expressions suivantes:

16 - Double distributivité de la multiplication par rapport à l'addition

Exemple : Développer et réduire les expressions suivantes:

c d

a b

C =7x –(6+2x) C =7x – 6−2x C =5x – 6 A = x+ (5–3x)

A = x+ 5 – 3x A = 5 – 2x

D = 2x(3x−8) − 4x(−x+2) D = 6 x² −16 x + 4x² − 8x D = 10x²− 24x

B =8− (2x−3) B =8−2x+ 3 B = −2x+ 11

Propriété : a ,b , c , et d désignent des nombres relatifs, on a:

(a+ b)(c+d)=ac+ad+bc+ bd

B = (3a−4)(2a−5) B = 6a²−15a−8a+ 20 B = 6a²−23a+ 20 A = (a+2)(3+a)

A = 3a+a²+ 6+2a A = a²+ 5a+ 6

(20)

17 - Développer une expression littérale en utilisant les produits remarquables

a . Carré d'une somme de deux termes : Le carré d'une somme de deux termes est égal

● au carré du 1^er terme

● plus le double produit des deux termes : 2a b=2×a×b

(2 fois le produit des deux termes)

● plus le carré du 2^ème terme

Exemples : Développer les expressions suivantes

F=(3x+2)² G=(7x+3)²

b . Carré d'une différence de deux termes : Le carré d'une différence de deux termes est égal

● moins le double produit des deux termes

● plus le carré du 2^ème terme

Exemples : Développer les expressions suivantes

H=(2x−1)² I=(x−3)²

c . Produit de la somme par la différence de deux termes : Le produit de la somme par la différence de deux termes est égal

● moins le carré du 2^ème terme

Remarque : a²−b² s'appelle la différence de deux carrés Exemples : Développer les expressions suivantes

J=(7x+1)(7x−1) K=(3−x)(3+x)

( a + b )( a − b )=

...

(a+b)²=...

(a−b)²=...

(21)

18 - Factoriser une expression littérale

Définition : Factoriser une expression littérale, c'est la transformer en un produit de facteurs

Propriété utilisée :

Exemples : Factoriser les expressions suivantes :

18 - Factoriser une expression littérale en utilisant les produits remarquables

Exemple 1 : Factoriser ^L=25x²+30x+9 Il n'y a pas de facteur commun, par contre, L semble être de la forme : …...

Exemple 2 : Factoriser M=16x²−8x+1 Il n'y a pas de facteur commun, par contre, M semble être de la forme : …...

Exemple 3 : Factoriser N =4x²−9 Il n'y a pas de facteur commun, par contre, N semble être de la forme : …...

a×b+a×c=a(b+c)

A = 6 x − 12 A = 6× x − 6× 2 A = 6(x−2)

B = 25 a −35

B = 5 × 5 a − 5 × 7 B = 5(5 a−7)

C = 9x² − 4x

C = 9 × x × x − 4 × x C = x(9x−4)

D = (3x−1)(x+2) + (3x−1)(2x+3)

Programme de 3ème

(22)

19 - Équations et mise en équation d’ un problème

a . Solutions d'une équation

Définition : Une équation est une égalité qui comporte au moins un nombre dont la valeur est inconnue, désigné le plus souvent par une lettre . Cette égalité peut être vraie pour certaines valeurs de l'inconnue et fausse pour d’autres.

Une équation comporte deux membres (gauche et droit)

Résoudre une équation, c'est trouver la ou les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'égalité est vraie

Chacune de ces valeurs est appelée une solution.

Méthode

pour tester si une égalité est vraie :

● On calcule la valeur du membre de gauche

● On calcule séparément la valeur du membre de droite

● On compare ces deux valeurs et on conclut

Exemple 1 : Les nombres 0 et 1 sont-ils solutions de l'équation ⁶^x−3=2x+ 1 ? On remplace x par 0 dans chaque membre

et on compare les résultats :

Les résultats sont différents -3 ≠ 1 donc 0 n'est pas solution de l'équation.

On remplace x par 1 dans chaque membre et on compare les résultats :

Les résultats sont les mêmes donc 1 est solution de l'équation.

Exemple 2 : On considère l'équation : ₍₂x+1)²=8x+49 Les nombres 4 et 3 sont-ils solutions de cette équation ?

...

b . Résolution d'équations du premier degré à une inconnue

Propriété: Une égalité reste vraie si on additionne ou on soustrait un même nombre à ses deux membres.

2x + 1 = 2×0 + 1 = 0 +1 = 1 2x+1 = 2×1 + 1 = 2+1 = 3 6x−3 = 6×1 − 3 = 6−3 = 3 6x − 3 = 6×0 − 3 = 0−3 = −3

Programme de 3ème

(23)

● Exemple d’une balance avec une orange et une masse de 30 g puis de l'autre coté d'une masse de 130 g

Exemples

: Résoudre les équations:

Propriété: Une égalité reste vraie si on multiplie ou on divise ses deux membres par un même nombre (non nul).

● Exemple d'une balance avec 3 oranges et une masse de 300 g et introduction de la division de part et d'autre de l'égalité

Exemples : Résoudre les équations:

5x=15 5x

5 = 15 5 x = 15

5 x = 3

−10x = 60 x = 60

−10 x = −6

x

8 = −4 x = −4×8

x = −32

30 g 130 g

30 g 30 g

300 g

100 g

x + 30 = 130

x + 30−30 = 130−30 x = 130−30

x = 100

Étape facultative Étape facultative

x+12 = −2

x+ 12− 12 = −2−12 x = −2− 12

x = −14 x−21 = 13

x−21+ 21 = 13+ 21 x = 13+ 21

x = 34

3x = 300 3x

3 = 300 3 x = 300 3 x = 100

Étape facultative

(24)

● Exemple de la balance avec deux oranges et une masse de 40 g puis de l'autre côté d'une masse de 260 g

Exemples : Résoudre les équations 2x−5=−8

2x −5+5 = −8+5 2x = −3 2x

2 = −3 2 x = −3

2 ou −1,5

Méthode: Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut utiliser les propriétés précédentes pour isoler l'inconnue dans un membre de l'équation et les valeurs dans l'autre membre.

Exemple

s : Résoudre les équations

●

x

^{260 g}

x

^{40 g}

x

40 g ^{260 g}

x

40 g 40 g

x

^{220 g}

x

^{110 g}

2x + 40 = 260

2x+ 40− 40 = 260−40

2x = 220 2x

2 = 220 2 x = 220 2 x = 110

Étape facultative Étape facultative

On fait la résolution plus directement

en supprimant les étapes facultatives

On commence par développer le membre de gauche puis on supprime la

parenthèse dans le membre de droite

On déplace les termes en x à gauche en prenant leurs opposés

et les nombres seuls à droite en prenant leurs opposés On déplace les termes en x

à gauche en prenant leurs opposés et les nombres seuls à droite

en prenant leurs opposés 5x+4=2x+16

5x −2x = 16−4 3x = 12

x = 12 3 x = 4

−10x +17= 4

−10x = 4−17

−10x = −13 x = −13

−10 ou 1,3

5(x−2)=2x+(x+6) 5x−10 = 2x+ x +6 5x−2x− x = 6 +10

2x = 16 x = 16

2 x = 8

(25)

c . Équation produit nul

On appelle équation produit nul, une équation dont un membre est un produit de facteurs et l’autre membre est nul. Par exemple, ₍x+7)(x+2)=0 est une équation produit nul.

Propriété

: Si un produit de facteurs est nul, alors l'un ou l'autre des facteurs est nul.

Quels que soient les nombres a et b :

Si a b=0 alors …... ou …...

Cette propriété permet de résoudre des équations produit nul.

Exemples :

4x−32x1=0

…...

d . Résoudre un problème à l'aide d'une équation Méthode :

1) Mise en équation : je choisis l'inconnue puis je traduis le problème par une équation.

2) Résolution de l'équation : je résous l'équation.

3) Cohérence du résultat : après avoir résolu le problème, je peux vérifier que mes résultats sont cohérents avec l'énoncé.

4) Interprétation du résultat : je réponds à la question du problème.

Exemple :

Emma doit acheter des melons avec le billet que lui donne sa mère.

Si elle achète 6 melons, il lui restera 3,10 € mais il lui manque 2,20 € pour en acheter 8.

Combien coûte un melon ? Soit x le prix d’un melon.

Le melon coûte 2,65 €.

x(x+5)=0

6x + 3,10 = 8x −2,20 6x− 8x = −2,20−3,10

−2x = −5,30 x = −5,30

−2 x = 2,65

(26)

20 - Inéquations

a . Inégalités

● ^a<b signifie que a est strictement inférieur à b

● a⩽b signifie que a est inférieur ou égal à b b . Solutions d'une inéquation

Définition : Une inéquation est une …... qui comporte au moins un nombre dont la valeur est inconnue, désigné le plus souvent par une...… . Cette inégalité peut être ………… pour certaines valeurs de ………. et …………..

pour d’autres.

Résoudre une inéquation, c'est trouver...

…...

Exemple : On considère l'inéquation : 3x+4⩽2x−1

Les nombres – 6 et – 2 sont-ils solutions de cette inéquation ?

...

c . Résolution d'une inéquation

Propriété : On ne change pas le sens d'une inégalité en additionnant ou en soustrayant un même nombre à ses deux membres.

Exemples :

...

Propriété : On ne change pas le sens d'une inégalité en multipliant ou en divisant ses deux membres par un même nombre positif .

Exemples :

...

5x  35 3x  −8

x−3  −7 x11  −8

(27)

Propriété : On change le sens d'une inégalité en multipliant ou en divisant ses deux membres par un même nombre négatif .

Exemples :

...

Méthode: Pour résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue, il faut utiliser les propriétés précédentes pour isoler l'inconnue dans un membre de l'inéquation et les valeurs dans l'autre membre.

Exemples :

Résoudre les inéquations suivantes et représenter les solutions sur une droite graduée :

…...

x+4>4x+19 2x−13

−2x  7

−x  −4

(28)

18 12=1,5 9

6=1,5

24

16 = 1,5

x = 11×1,5

x = 16,5 x = 24

16 ×11 x = 24×11÷16 x = 16,5

THÈME B – ORGANISATION GESTION DE DONNÉES - FONCTIONS

1 - Reconnaître une situation de proportionnalité

Définition : Un tableau de proportionnalité est un tableau à deux lignes dans lequel on obtient les nombres d'une ligne en multipliant ceux de l’autre ligne par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité.

Exemple :

Nombre de sacs 6 12 15

Masse en kg 9 18 22,5

Ce tableau est un tableau de proportionnalité car: et On obtient le coefficient de proportionnalité.

Le coefficient de proportionnalité est 1,5.

2 - Compléter un tableau de proportionnalité

Exemple : Dans une recette de gâteau, il faut 200 g de farine pour quatre personnes. On peut alors exprimer la quantité de farine en fonction du nombre de personnes à l’aide d’un tableau.

Nombre de Personnes 4 2 8 10 24

Quantité de Farine (en g) 200 100 400 500 1 200

Pour calculer les quantités de farine, on multiplie le nombre de personnes par 50.

On dit que la quantité de farine est proportionnelle au nombre de personnes.

3 - Déterminer une quatrième proportionnelle

Dans un tableau de proportionnalité composé de deux colonnes, lorsqu'on connaît trois nombres, on peut calculer le quatrième, appelé quatrième proportionnelle.

Exemple : 16 cahiers coûtent 24 €. Combien coûtent 11 cahiers ?

Nombre de cahiers 16 11

Prix (en euros) 24 x

1ère méthode : 2ème méthode : X 1,5

22,5 15 =1,5

x 50

x

(29)

4 - L'égalité des produits en croix

Propriété : Si un tableau est un tableau de proportionnalité, alors on a l'égalité des produits en croix.

Exemple :

6 12

9 18

est un tableau de proportionnalité alors :

Pour calculer une quatrième proportionnelle, on peut utiliser l'égalité des produits en croix.

Exemple :

Louise a téléchargé un fichier de 30 Mo en 27 s.

On suppose que le nombre de mégaoctets téléchargés est proportionnel à la durée du téléchargement.

a. Quelle sera la durée du téléchargement d'un fichier de 80 Mo?

b. Le téléchargement d'un fichier a duré 45 s. Quelle était la taille en Mo de ce fichier ?

Durée (en s) 27 72 45

Taille du fichier en Mo 30 80 50

5 - Caractériser graphiquement la proportionnalité

Propriété: Toute situation de proportionnalité se représente graphiquement par une droite qui passe par l’origine.

Exemples :

0 0

00 0

Situation de

proportionnalité car la droite passe par

l’origine.

Situation de non

proportionnalité car la droite ne passe pas par l’origine.

Situation de non proportionnalité car les points ne sont pas alignés (ils ne forment pas une droite).

6×18 = 9×12

18=9×12 6

d = 80×27

30 = 72s

t = 45×30

27 = 50Mo

(30)

x=19 25×100 x=76

6 - Utiliser la proportionnalité pour calculer des grandeurs

Calculer avec des vitesses

Définition : La vitesse moyenne sur un trajet est le quotient de la distance parcourue par la durée du trajet.

La distance parcourue d est proportionnelle à la durée t du trajet.

Conséquence :

ou Exemple :

Un automobiliste a parcouru un trajet en 3h15 min à la vitesse moyenne de 64 km/h. Calculer la distance parcourue en km.

3 h 15 min = 3,25 h donc

3 h 15 min = 195 min Distance (en km) 64 ? Temps (en min) 60 195 La distance parcourue en 3 h 15 min est de 208 km.

7 - Utiliser un pourcentage

Rappel

: pour calculer « t % d’un nombre », on multiplie ce nombre par Exemple :

Une enquête a été réalisée auprès de 180 élèves de 5° d'un collège sur l'utilisation d'un téléphone portable. Elle a indiqué que 65% des élèves utilisaient un téléphone portable.

Combien d'élèves de 5° utilisent un téléphone portable?

117 élèves utilisent un téléphone portable.

8 - Déterminer un pourcentage

Exemple : Dans la classe de 5ème 1 , comprenant 25 élèves, 19 élèves sont demi- pensionnaires.

Calculer le pourcentage d'élèves demi-pensionnaires.

Nombre total d'élèves 25 100

Nombre d'élèves demi-pensionnaires 19

1ère méthode : 2ème méthode

x

Temps Vitesse

moyenne

Distance

d=v×t t=d

v

x …...

v=d t

x=19×4 x=76 19

25 = x 100

t 100

180× 65

100 = 117

19

25 ou 0,76

x 4

x 4 v=d

t

d = v×t d = 64×3,25 d = 208km

d = 64×195 60 d = 208km

(31)

9 - Augmenter ou diminuer d'un pourcentage

Propriété : Augmenter un nombre de t % revient à le multiplier par (1+ t 100) . Diminuer un nombre de t % revient à le multiplier par (1− t

100)

Exemple :

Dans un magasin, lors des soldes, on diminue tous les prix de 35 %.

Le prix d'un pantalon est de 55 €. Calculer son nouveau prix.

…...

10 - Effectifs et fréquences

Exemple : Le professeur de français d'une classe de 5ième a marqué les notes de ses élèves dans son cahier.

Ce relevé de notes s'appelle une série statistique qui comporte 25 données.

Définition : L’effectif d’une donnée dans une série statistique est le nombre de fois où cette donnée apparaît.

Définition : L’effectif total est le nombre total de données.

Définition : En divisant l’effectif d’une donnée par l’effectif total, on obtient une fréquence.

En multipliant par 100 la fréquence, on obtient la fréquence en pourcentage.

Une fréquence peut s'exprimer sous la forme d'une fraction, d'un nombre décimal ou d'un pourcentage.

Une fréquence est toujours comprise entre 0 et 1.

Exemple : La fréquence de la note 14 est ⁴

25 ou 0,16 ou 16 %

15 ; 14 ; 9 ; 7 ; 12 ; 10 ; 14 ; 7 ; 6 ; 18 ; 17 ; 10 ;

1 ; 11 ; 10 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 10 ; 11 ; 13 ; 14 ; 15 ; 14.

(32)

On peut regrouper ces données dans un tableau d'effectifs et de fréquences.

Notes 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 18 ^Total

Effectifs 1 2 2 1 2 5 2 1 1 4 2 1 1 25

Fréquences

fraction 1 25

2 25

1 25

2 25

5 25

2 25

1 25

4 25

2 25

1 25

en % 4 8 8 4 8 20 8 4 4 16 8 4 4 100

11 - Représentations graphiques

● Sur un diagramme en bâtons, la hauteur d’un bâton est proportionnelle à l’effectif.

● Sur un histogramme, l’aire d’un rectangle est proportionnelle à l’effectif.

● Sur un diagramme circulaire, l’angle d’un secteur est proportionnel à l’effectif.

12 - Caractéristiques d'une série de données

a . Caractéristiques de position Définition

: La moyenne d’une série statistique est le quotient de la somme de toutes les valeurs par l’effectif total de cette série.

Définition

: La moyenne pondérée est le quotient de la somme des valeurs, affectées chacune de leur coefficient, par la somme totale des coefficients.

Exemple 1 :

Durant une compétition d'athlétisme, les 7 concurrents ont couru les 200 m avec les temps suivants exprimés en secondes: 20,25 ; 20,12; 20,48 ; 20,09; 20,69; 20,19; 20,38.

Calculer la moyenne de cette série. Arrondir au centième de seconde.

La moyenne de cette série est environ de 20,31 s.

25 25=1

20,25+20,12+20,48+20,09+20,69+20,19+20,38

7 ≈20,31

(33)

Exemple 2 :

Les montants d'un repas pris dans un restaurant d'entreprise au cours d'une journée sont regroupés dans le tableau suivant:

Montant d'un repas

en € Centre de la classe Nombre de repas

3≤m6 4,5 39

6≤m10 8 58

10≤m15 12,5 15

Total 112

1. Calculer le centre de chaque classe de prix et compléter le tableau.

2. Calculer le montant moyen d'un repas en remplaçant chaque classe par son centre (Arrondir au centime d'euros près).

4,5×39+8×58+12,5×15

112 ≈7,38 Le montant moyen d’un repas est de 7,38 €.

Exemple 3 : Julia a relevé ses notes de mathématiques du trimestre sur son agenda :

Son professeur applique des coefficients: 6 aux contrôles, 1 aux devoirs et 2 aux interrogations.

Calculer sa moyenne trimestrielle. Arrondir au dixième.

M = (10+9+14) ×6 + (18+ 20+19) ×1 + (13+ 8+ 16) ×2

6+ 6+ 6+1+1+1+2+ 2+ 2 = 329 27 M = 12,2

La moyenne trimestrielle de Julia est de 12,2.

Définition : La médiane d'une série est un nombre m, qui partage la série en deux groupes de même effectif tels que :

● Les données du premier groupe sont inférieures ou égales à m.

● Les données du second groupe sont supérieures ou égales à m.

On considère la série des tailles des élèves d'une classe. Si la médiane de la série est égale

(34)

1

^er cas : On considère une série de données rangées en ordre croissant. Si l'effectif total de la série est impair, alors, la médiane de la série est la donnée centrale Exemple : On considère la série des poids de nourrissons à la naissance : 3,120 kg ; 2,860 kg ; 4,100 kg ; 2,740 kg ; 3,530 kg ; 3,680 kg ; 3,900 kg

Calculer la médiane de cette série

On range la série dans l’ordre croissant : 2,74 ; 2,86 ; 3,12 ; 3,53 ; 3,68 ; 3,9 ; 4,1.

On prend la moitié de l’effectif total : 7 : 2 = 3,5 on fera donc deux groupes de 3 et la médiane sera au centre de ces deux groupes : la médiane est donc la 4ème valeur..

Médiane = 3,530 kg 2

^ème cas : On considère une série de données rangées en ordre croissant. Si

l'effectif total de la série est pair, alors, par convention, la médiane de la série est la moyenne entre les deux données centrales de la série.

Exemple : On considère la série des tailles de nourrissons à la naissance : 47 cm ; 50 cm ; 54 cm ; 49 cm ; 51 cm ; 52 cm ; 49 cm ; 48 cm

Calculer la médiane de cette série

On range la série dans l’ordre croissant : 47 ; 48 ; 49 ; 49 ; 50 ; 51 ; 52 ; 54.

On prend la moitié de l’effectif total : 8 : 2 = 4 on fera donc deux groupes de 4 et la médiane sera au centre de ces deux groupes : la médiane est donc entre la 4ème valeur et la 5ème valeur : donc entre 49 et 50. On fait donc la moyenne des 4ème et 5ème valeurs pour trouver la médiane.

Médiane = 49,5 cm.

b . Caractéristique de dispersion

Définition : L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite de ses valeurs.

Exemple :

On considère la série des dépenses de Julien chaque jour de la semaine de vacances : 12,40 € ; 35 € ; 48,35 € ; 50,70 € ; 19 € ; 59,80 € ; 25,30 €

Trouver l'étendue de cette série

On fait la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur.

Étendue = 59,80 – 12,40 Étendue = 47,40

€

(35)

13 - Calcul de probabilité dans des situations simples

a . Expérience aléatoire

Parmi ces expériences, entourer celles qui sont aléatoires : A: « On lance un dé à 6 faces et on regarde le n° qui sort »

B: « On lance une pièce de monnaie et on regarde sur quelle face elle tombe » C: « On trace un carré de 5 cm de côté et on cherche son périmètre »

D: « On place dans une urne, une boule rouge et six boules jaunes. On tire, sans regarder une boule dans cette urne et on identifie la couleur de la boule »

b . Événement

Donner deux événements pour chacune des expériences aléatoires ci-dessus.

A :...

…...

B :...

…...

D : ...

…...

Définitions :

● Un événement A est un ensemble d'issues. On dit qu'il est réalisé lorsque le résultat de l 'expérience est l'une des issues qui le compose.

● Un événement certain est toujours réalisé ; il contient toutes les issues.

● Un événement impossible n'est jamais réalisé ; il ne contient aucune issue.

● L'événement contraire de l’événement A, noté , A^ est l’événement qui se réalise quand A ne se réalise pas.

Définition

: Une expérience est dite « aléatoire » si elle vérifie les deux conditions

● Elle conduit à des résultats ( ou issues) possibles qu'on est parfaitement capable de nommer.

● On ne sait pas lequel de ces résultats va se produire quand on réalise l'expérience.

Définition : À partir d'une expérience aléatoire, on peut définir des événements qui sont des ensembles de résultats.

(36)

Exemple :

On dispose d'une urne qui contient 6 boules indiscernables au toucher : deux rouges, trois vertes et une jaune. On tire une boule au hasard. On s'intéresse à la couleur de la boule tirée.

1. Parmi les événements suivants, entourer en vert ceux qui sont certains, puis en rouge ceux qui sont impossibles :

E: « La boule tirée est violette»

F: « La boule tirée n'est pas rouge » G: « La boule tirée est colorée»

H: « La boule tirée est rouge »

I : « La boule tirée est jaune et verte » J : « La boule tirée est jaune ou verte »

K : « La boule tirée est rouge, jaune ou verte »

2. Quel est l'événement contraire de F ? …...

3. Citer deux événements incompatibles : …...

c . Probabilité d'un événement

Exemple 1 :

On dispose de 5 cartes: 2 cartes rouges (carreau ou cœur) et 3 cartes noires (trèfle ou pique). On tire au hasard une carte et on s'intéresse à la couleur de la carte tirée.

Quelle est la probabilité d'avoir une carte rouge ? …...

Quelle est la probabilité d'avoir une carte noire ? …...

Définition :

Lorsque l'on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence de réalisation d'un événement A se rapproche d'une « fréquence théorique » appelée probabilité de l' événement A et notée p(A).

Quand les issues d'une expérience aléatoire ont toutes la même probabilité alors la probabilité d'un événement est égal au quotient:

nombre d'issues favorables à l'événement nombre d'issues possibles