THÈME B – ORGANISATION GESTION DE DONNÉES - FONCTIONS
Exemple 3 Julia a relevé ses notes de mathématiques du trimestre sur son agenda :
Son professeur applique des coefficients: 6 aux contrôles, 1 aux devoirs et 2 aux interrogations.
Calculer sa moyenne trimestrielle. Arrondir au dixième.
M = (10+9+14) ×6 + (18+ 20+19) ×1 + (13+ 8+ 16) ×2
6+ 6+ 6+1+1+1+2+ 2+ 2 = 329 27 M = 12,2
La moyenne trimestrielle de Julia est de 12,2.
Définition : La médiane d'une série est un nombre m, qui partage la série en deux groupes de même effectif tels que :
● Les données du premier groupe sont inférieures ou égales à m.
● Les données du second groupe sont supérieures ou égales à m.
On considère la série des tailles des élèves d'une classe. Si la médiane de la série est égale
1
er cas : On considère une série de données rangées en ordre croissant. Si l'effectif total de la série est impair, alors, la médiane de la série est la donnée centrale Exemple : On considère la série des poids de nourrissons à la naissance : 3,120 kg ; 2,860 kg ; 4,100 kg ; 2,740 kg ; 3,530 kg ; 3,680 kg ; 3,900 kg
Calculer la médiane de cette série
On range la série dans l’ordre croissant : 2,74 ; 2,86 ; 3,12 ; 3,53 ; 3,68 ; 3,9 ; 4,1.
On prend la moitié de l’effectif total : 7 : 2 = 3,5 on fera donc deux groupes de 3 et la médiane sera au centre de ces deux groupes : la médiane est donc la 4ème valeur..
Médiane = 3,530 kg 2
ème cas : On considère une série de données rangées en ordre croissant. Si
l'effectif total de la série est pair, alors, par convention, la médiane de la série est la moyenne entre les deux données centrales de la série.
Exemple : On considère la série des tailles de nourrissons à la naissance : 47 cm ; 50 cm ; 54 cm ; 49 cm ; 51 cm ; 52 cm ; 49 cm ; 48 cm
Calculer la médiane de cette série
On range la série dans l’ordre croissant : 47 ; 48 ; 49 ; 49 ; 50 ; 51 ; 52 ; 54.
On prend la moitié de l’effectif total : 8 : 2 = 4 on fera donc deux groupes de 4 et la médiane sera au centre de ces deux groupes : la médiane est donc entre la 4ème valeur et la 5ème valeur : donc entre 49 et 50. On fait donc la moyenne des 4ème et 5ème valeurs pour trouver la médiane.
Médiane = 49,5 cm.
b . Caractéristique de dispersion
Définition : L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite de ses valeurs.
Exemple :
On considère la série des dépenses de Julien chaque jour de la semaine de vacances : 12,40 € ; 35 € ; 48,35 € ; 50,70 € ; 19 € ; 59,80 € ; 25,30 €
Trouver l'étendue de cette série
On fait la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur.
Étendue = 59,80 – 12,40 Étendue = 47,40
€
13 - Calcul de probabilité dans des situations simples
a . Expérience aléatoire
Parmi ces expériences, entourer celles qui sont aléatoires : A: « On lance un dé à 6 faces et on regarde le n° qui sort »
B: « On lance une pièce de monnaie et on regarde sur quelle face elle tombe » C: « On trace un carré de 5 cm de côté et on cherche son périmètre »
D: « On place dans une urne, une boule rouge et six boules jaunes. On tire, sans regarder une boule dans cette urne et on identifie la couleur de la boule »
b . Événement
Donner deux événements pour chacune des expériences aléatoires ci-dessus.
A :...
…...
B :...
…...
D : ...
…...
Définitions :
● Un événement A est un ensemble d'issues. On dit qu'il est réalisé lorsque le résultat de l 'expérience est l'une des issues qui le compose.
● Un événement certain est toujours réalisé ; il contient toutes les issues.
● Un événement impossible n'est jamais réalisé ; il ne contient aucune issue.
● L'événement contraire de l’événement A, noté , A est l’événement qui se réalise quand A ne se réalise pas.
Définition
: Une expérience est dite « aléatoire » si elle vérifie les deux conditions
● Elle conduit à des résultats ( ou issues) possibles qu'on est parfaitement capable de nommer.
● On ne sait pas lequel de ces résultats va se produire quand on réalise l'expérience.
Définition : À partir d'une expérience aléatoire, on peut définir des événements qui sont des ensembles de résultats.
Exemple :
On dispose d'une urne qui contient 6 boules indiscernables au toucher : deux rouges, trois vertes et une jaune. On tire une boule au hasard. On s'intéresse à la couleur de la boule tirée.
1. Parmi les événements suivants, entourer en vert ceux qui sont certains, puis en rouge ceux qui sont impossibles :
E: « La boule tirée est violette»
F: « La boule tirée n'est pas rouge » G: « La boule tirée est colorée»
H: « La boule tirée est rouge »
I : « La boule tirée est jaune et verte » J : « La boule tirée est jaune ou verte »
K : « La boule tirée est rouge, jaune ou verte »
2. Quel est l'événement contraire de F ? …...
3. Citer deux événements incompatibles : …...
c . Probabilité d'un événement
Exemple 1 :
On dispose de 5 cartes: 2 cartes rouges (carreau ou cœur) et 3 cartes noires (trèfle ou pique). On tire au hasard une carte et on s'intéresse à la couleur de la carte tirée.
Quelle est la probabilité d'avoir une carte rouge ? …...
Quelle est la probabilité d'avoir une carte noire ? …...
Définition :
Lorsque l'on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence de réalisation d'un événement A se rapproche d'une « fréquence théorique » appelée probabilité de l' événement A et notée p(A).
Quand les issues d'une expérience aléatoire ont toutes la même probabilité alors la probabilité d'un événement est égal au quotient:
nombre d'issues favorables à l'événement nombre d'issues possibles
Exemple 2 :
Dans un sac il y a les 26 lettres de l'alphabet.
On tire une lettre au hasard.
Quelle est la probabilité de tirer la lettre A ? …...
Quelle est la probabilité de ne pas tirer la lettre A ? …...
Quelle est la probabilité de tirer une voyelle ? …...
Quelle est la probabilité de tirer une consonne ? …...
Exemples :
On dispose d'une urne qui contient 6 boules indiscernables au toucher : deux rouges, trois vertes et une jaune. On tire une boule au hasard. On s'intéresse à la couleur de la boule tirée.
Calculer la probabilité des événements suivants : H : « La boule tirée est rouge » ; p(H) =
N : « La boule tirée est jaune » ; p(N) = G : « La boule tirée est colorée » ; p(G) = E : « La boule tirée est violette » ; p(E) = Que représente l'événement « H ou N » ?
…...
Calculer sa probabilité …...
…...
…...
Propriétés :
● La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience est égale à 1
● La probabilité d'un événement certain est 1 ; celle d'un événement impossible est 0
● La probabilité d'un événement A est un nombre compris entre 0 et 1 : 0p(A)1
● La probabilité de l'événement A , contraire de A, est : p A=1−p(A)
● Si deux événements A et B sont incompatibles, alors la probabilité que l'un des deux se réalise est : p(A ou B) = p(A) + p(B)
P
F
1ére pièce 2ème pièce Issue
d . Arbre de probabilité
Exemple 1 :
On lance en même temps deux pièces de monnaie.
On note, pour chaque pièce, P si elle tombe sur
« pile » et F si elle tombe sur « face ».
Pour voir les issues possibles, on peut faire un arbre de probabilité :
Quelle est la probabilité « obtenir deux fois face »? …...
Quelle est la probabilité « obtenir une fois pile, une fois face »...…
Quelle est la probabilité « obtenir deux fois pile » …...
Exemple 2 :
On dispose de deux urnes identiques, contenant chacune 6 boules indiscernables au toucher : deux rouges, trois vertes et une jaune. On tire une boule au hasard dans chacune des urnes. On s'intéresse à la couleur des deux boules tirées.
Définition : Un arbre de probabilité est un schéma représentant une expérience aléatoire à une ou plusieurs épreuves. Une branche représente une issue. Une succession de branches est appelé un « chemin ».
1ére urne
2ème urne Issue
La probabilité de tirer une boule rouge puis une boule verte est : …...
…...
…...
14 - Notion de fonction
Exemple :
Considérons un rectangle de 5 cm de longueur et dont la largeur x est variable. On s'intéresse au périmètre de ce rectangle, qui va changer suivant la valeur que prendra la largeur.
● Complétons le tableau suivant :
x 2 2,5 3 3,5
Périmètre du rectangle
● Écrivons le périmètre du rectangle en fonction de x . p(x)=... ou p(x)=...
Définition : La formule obtenue permet de faire correspondre à tout nombre x , une valeur unique du périmètre notée p(x) . Ce procédé de calcul s'appelle
…...
On note : pour ce rectangle p(x)=10+2x . qui se lit « p dex » Ainsi, par exemple, p4=...
On dit alors que …... est …... par la fonction …... . ou bien que …... est …... par la fonction …... .