Exemples d’´etudes d’arcs param´etr´es
MP Lyc´ ee Clemenceau
Remarques d’ordre g´en´eral : pourf :t7→(x(t), y(t))
• on commence par donner l’ensemble de d´efinition.
• on regarde la p´eriodicit´e possible.
• on regarde les sym´etries possibles les plus usuelles : par parit´es des coordonn´ees – x(−t) =x(t),y(−t) =−y(t) implique une sym´etrie d’axe (Ox)
– x(−t) =−x(t),y(−t) =y(t) implique une sym´etrie d’axe (Oy) – s(−t) =−x(t),y(−t) =−y(t) implique une sym´etrie de centreO.
Tout ceci amenant une r´eduction de l’intervalle d’´etude.
• On ´etudie les variations dexet dey qu’on r´esume dans un mˆeme tableau.
– six0(t) = 0 ety0(t)6= 0 la tangente est verticale – six0(t)6= 0 ety0(t) = 0 la tangente est horizontale
• Pour un trac´e plus pr´ecis (demand´e parfois) : se rappeler la seule chose un programme : lorsque la d´eriv´ee def ne s’annule pas ent0alors la tangente est dirig´ee parf0(t0) = (x0(t0), y0(t0)) et la normale `a la courbe par (−y0(t0), x0(t0)).
Les ´equations de ces droites sont donc respectivement : tangente : −y0(t0)(x−x(t0)) +x0(t0)(y−y(t0)) = 0, normale : x0(t0)(x−x(t0)) +y0(t0)(y−y(t0)) = 0.
1) La cardio¨ıde
Etude et trac´e de l’arc d´efini par
(x(t) = (1 + cos(t)) cos(t) y(t) = (1 + cos(t)) sin(t) .
On commence par dire que la fonctionf :t7→(x(t), y(t)) est d´efinie sur IR.
Elle est 2πp´eriodique. On peut donc restreindre l’´etude `a [−π, π].
On a aussi, pour toutt∈[−π, π],x(−t) =x(t) ety(−t) =−y(t). La courbe admet donc l’axe des abscisses comme axe de sym´etrie. On peut donc restreindre l’´etude `a [0, π].
On a, pour toutt∈[0, π],f0(t) = −sin(t)(2 cos(t) + 1),cos(t) + 2 cos2(t)−1 . Une ´etude rapide montre quey0 s’annule une unique fois sur
0,π2
et est n´egative surhπ 2, πh
. On en d´eduit le tableau suivant :
0 α 2π3 π
x0(t) 0 − 0 + 0
2 −14 0
x(t) &
& %
−14 a
y(t) % &
&
0 0
y0(t) 2 − 0 + 0
On peut remarquer que pour t =π la d´eriv´ee de f s’annule. On n’a donc pas un point r´egulier. Cepen- dant la sym´etrie observ´ee, ainsi que les variations, nous permet de dire qu’il y a une demi tangente ho- rizontale en ce point.
Le trac´e :
1
On peut ajouter un point particulier : pourt= π
2 on ax π2
= 0 ety π2
= 1. De plus f0 π2
= (−1,−1).
On en d´eduit que la tangente `a la courbe ent=π2 a pour ´equationy=x+ 1 2) Stroph¨ıde droite.
On consid`ere l’arc param´etr´e d´efini parf(t) = (x(t), y(t)) =
1−t2
1 +t2, t1−t2 1 +t2
.
Il est d´efini sur IR. La fonctionxest paire etyest impaire, donc le support de l’arc admet un axe de sym´etrie (Ox). On restreint l’´etude sur IR+.
f est claire de classeC1 sur IR+. On a, pour toutt∈IR+,f0(t) =
−4t
(1 +t2)2,1−4t2−t4 (1 +t2)2
. On en d´eduit le tableau de variations suivant :
0 p
−2 +√
5 +∞
x0(t) 0 −
1
x(t) &
−1 a
y(t) % &
0 −∞
y0(t) 1 + 0 −
Lorsque t = 1 la courbe passe par l’origine. De plus f0(1) = (−1,−1), on en d´eduit que la tangente `a la courbe en ce point est d’´equationy=x.
De plus, comme lim
t→+∞x(t) = −1 et lim
t→+∞y(t) =
−∞, on en d´eduit que la courbe admet une asymp- tote verticale d’´equationx=−1.
Le trac´e :
Remarque : un autre exemple plus tard
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