Chapitre 1
Translations et homothéties
A Dénitions
1 Translation
Dénition Soit −→u un vecteur du plan. La translation de vecteur−→u est la transformation qui à tout pointM du plan associe le pointM0 tel que−−−→
M M0 =−→u.
On la note parfoist−→u. On dit queM0 est le translaté deM part−→u.
M
M
0N
N
0−
→ u
−−−→ M M
0= − → u −−→
N N
0= − → u
Proposition Soitt−→u une translation.
Si−→u est non nul alorst−→u n'admet aucun point xe (pointM tel que t−→u(M) =M).
SoitM0=t−→u(M)etN0=t−→u(N). Alors−−−→
M0N0 =−−→
M N (on a un parallélogramme).
Preuve : Égalités vectorielles avec Chasles. 2
→Exercices 1,2,3p320
2 Homothétie
Dénition Soit O un point du plan et k un nombre réel non nul (k peut être négatif). On appelle homothétie de centreO et de rapport k la transformation qui à tout point M du plan associe le point M0 tel que −−−→
OM0=k−−→
OM. On la note parfoishO,k. 1
2 CHAPITRE 1. TRANSLATIONS ET HOMOTHÉTIES
O
M N
M
0N
0−−→ OM
0= 2 −−→
OM
−−→ ON
0= 2 −−→
ON h
O,2M M
0O h
O,−12
−−→ OM
0= − 1 2
−−→ OM
Proposition Soithune homothétie de centreO et de rapportk. Alors : 1. Sik6= 1, alors le seul point xe de hest O.
2. SoitM0 =h(M). AlorsO,M et M0 sont alignés.
3. SoitN0=h(N). Alors−−−→
M0N0 =k−−→
M N.
4. SiM,N etOne sont pas alignés, alorsM etN avec leurs images forment avecOune conguration de Thalès.
Preuve : Pour le troisième point on utilise la dénition d'homothétie et la relation de Chasles. 2
→Exercices 7p320 (construction), 8,9p320 (recherche du rapport)
B Propriétés
Proposition Translations et homothéties conservent la colinéarité (de deux vecteurs).
Preuve : Cela vient des propriétés précédentes.
On a−−−→
A0B0=k−−→
ABet −−−→
C0D0=k−−→
CD (k= 1si la transformation est une translation).
Donc si−−→
AB=x−−→
CD, on a alors−−−→
A0B0=x−−−→
C0D0. 2
Proposition Translations et homothéties conservent le barycentre, et donc l'alignement.
Preuve : SiΣai
−−→GAi=−→
0, alors, puisque−−−→
G0A0i=k−−→
GAi,Σai
1 k
−−−→ G0A0i=−→
0 et donc Σai
−−−→ G0A0i =−→
0 Autrement dit : l'image d'un barycentre est le barycentre des images.
Conséquences : Proposition
L'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle ;
L'image d'un segment[AB]est le segment dont les extrémités sont les images de deAet B; L'image de l'intersection de deux droites est l'intersection de l'image des droites ;
L'image d'un cercle de rayonRest un cercle, de même rayon pour une translation, de rayon|k|Rpour une homothétie de rayonR, et de centre l'image du centre.
Proposition Les angles orientés sont conservés par une translation ou une homothétie.
B. PROPRIÉTÉS 3 Proposition Une homothétie de rapportk multiplie :
Les longueurs par|k|; Les aires park2; Les volumes par|k|3.
(Les homothéties font des agrandissements et des réductions)
→Exercices 20,21p321
Correction de l'exercice 21p321 :
1. L'image deAparh=hO,3estA0par dénition, car−−→
OA0 = 3−→
OA. SoitB0 l'image deB. L'image de (AB)est donc la droite (A0B0), et est parallèlle à(AB). Ainsi, B0 est le point d'intersection entre (OB)et la parallèle à(AB)passant parA0.
Autrement dit,B0 =I: l'image deB parhestI.
2. L'image de (BC) est la parallèle à (BC) passant par B0 =I, à laquelle J appartient ; c'est donc (IJ).
L'image de(AC)est la parallèle à(AC)passant parA0, à laquelleJ appartient ; c'est donc(A0J). 3. L'image par h de l'intersection de (BC) et de(AC) est l'intersection des images de (BC) et de
(AC), autrement dit l'image deCest l'intersection de(IJ)et de(A0J), doncJ. Puisque h(C) =J, on obtient queO,C etJ sont alignés.
