Homothéties - Théorème de Thalès et sa réciproque

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Homothéties - Théorème de Thalès et sa réciproque

I. Homothéties : 1) Activité :

1- a) Avec GeoGebra, à l’aide de l’icône , créer un curseur nommé 𝑘 avec un incrément de 0,1.

b) Construire un polygone ABCD. GeoGebra va automatiquement le nommer « poly1 ».

c) Placer un point O.

d) Dans la fenêtre Saisie, taper le texte . Cela va créer l’image de ABCD par l’homothétie de centre O et de rapport 𝑘.

2- En déplaçant le point O et en faisant varier le curseur 𝑘, répondre aux questions suivantes.

a) Que peut-on dire de l’image A’B’C’D’ lorsque :

• 𝑘 > 1 : La figure est agrandie.

• 𝑘 = 1 : ABCD et A’B’C’D’ sont confondus. La figure ne change pas.

• 0 < 𝑘 < 1 : La figure est réduite.

• 𝑘 = 0 : Les points A’, B’, C’, D’ et O sont confondus.

• −1 < 𝑘 < 0 : La figure est « inversée » et réduite.

• 𝑘 = −1 : La figure est « inversée ». A’B’C’D’ est l’image de ABCD par la symétrie centrale de centre O.

• 𝑘 < −1 : La figure est « inversée » et agrandie.

b) Que peut-on dire des droites (AB) et (A’B’) ? Les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles.

c) Comment peut-on calculer la valeur de 𝑘 ?

On peut calculer la valeur de 𝒌 en calculant les rapports ^{𝑨′𝑩′}

𝑨𝑩 ou ^{𝑩′𝑪′}

𝑩𝑪 ou ^{𝑪′𝑫′}

𝑪𝑫 ou ^{𝑨′𝑫′}

𝑨𝑫 mais sans signe. 𝒌 est négatif si la figure est « inversée ».

2) Définition :

Appliquer une homothétie de centre O et de rapport 𝑘 (𝑘 ≠ 0) à une figure, consiste à multiplier la distance entre O et un point de la figure par 𝑘 (ou l’opposé de 𝑘 lorsque 𝑘 est négatif).

Exemples :

• 𝒌 > 𝟏

O, E et E’ sont alignés.

OE’ = 2 × OE.

La figure est agrandie.

𝑘 = 2

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• 𝟎 < 𝒌 < 𝟏

OE’ = 0,3 × OE.

La figure est réduite.

• 𝒌 < 𝟎

OE’ = 1,5 × OE.

La figure est « inversée » puis agrandie ou réduite.

Remarque :

Une homothétie de rapport −1 revient à une symétrie centrale.

II. Théorème de Thalès : 1) Activité GeoGebra:

1- Placer trois points distincts A, B et C, non alignés. Tracer les droites (AB), (BC), et (AC).

Placer un point M sur la droite (AB) puis construire la droite parallèle à la droite (BC) passant par le point M. Appeler N le point d’intersection de cette droite avec la droite (AC).

2- Quelles sont les différentes possibilités pour la position du point M ? Pour chacune d’elles, faire un dessin.

3- Afficher les longueurs AM, AB, AN, AC, MN et BC sur la figure.

Afficher le résultat du calcul des rapports ^𝐴𝑀 𝐴𝐵 , ^𝐴𝑁

𝐴𝐶 et ^𝑀𝑁

𝐵𝐶 . Comparer les résultats et émettre une conjecture.

AM≈0,7 , AB≈0,93 , AN≈0,45 , AC≈0,6 , MN≈0,8 et BC=1,06 𝑨𝑴

𝑨𝑩 = 𝟎, 𝟕𝟓 𝑨𝑵

𝑨𝑪 = 𝟎, 𝟕𝟓 𝑴𝑵

𝑩𝑪 = 𝟎, 𝟕𝟓 𝐈𝐥 𝐬𝐞𝐦𝐛𝐥𝐞 𝐪𝐮𝐞𝐀𝐌

𝐀𝐁 = 𝑨𝑵

𝑨𝑪 = 𝑴𝑵 𝑩𝑪

4- Déplacer les points libres A, B, C et le point lié M l’un après l’autre. La conjecture se confirme-t- 𝑘 = 0,3

𝑘 = −1,5

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2) Théorème de Thalès :

Le théorème de Thalès est un cas particulier d’homothétie dans un triangle, homothétie ayant pour centre un des sommets du triangle.

Dans les trois configurations de Thalès ci-dessus, les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

Propriété :

ABC est un triangle. Si 𝑀 ∈ (𝐴𝐵), 𝑁 ∈ (𝐴𝐶) et si (𝐴𝐵)//(𝑀𝑁) alors les côtés des triangles ABC et AMN ont des longueurs proportionnelles autrement dit : ^𝐴𝑀

𝐴𝐵 = ^𝐴𝑁 𝐴𝐶 = ^𝑀𝑁

𝐵𝐶 Application :

Calculer CB et CE.

On considère le triangle 𝑨𝑩𝑪, on sait que (AB)//(DE), E ∈ (AC) et D ∈ (BC) Or d’après le théorème de Thalès : ^𝑪𝑨

𝑪𝑬

=

^𝑪𝑩

𝑪𝑫

=

^𝑨𝑩

𝑬𝑫 𝐒𝐨𝐢𝐭 𝟏, 𝟓

𝑪𝑬 = 𝑪𝑩

𝟗 = 𝟐, 𝟓 𝟕, 𝟓 𝑪𝑩 =𝟗 × 𝟐, 𝟓

𝟕, 𝟓 𝐞𝐭 𝑪𝑬 =𝟏, 𝟓 × 𝟕, 𝟓 𝟐, 𝟓 𝐃𝐨𝐧𝐜 𝑪𝑩 = 𝟑 𝐞𝐭 𝑪𝑬 = 𝟒, 𝟓

III. Réciproque du théorème de Thalès : 1) Activité :

On va se demander s’il suffit que deux triangles aient des longueurs de côtés proportionnelles pour obtenir des droites parallèles.

Situation 1.

A-t-on ^𝐴𝑀 𝐴𝐵 = ^𝐴𝑁

𝐴𝐶 ? 𝑨𝑴

𝑨𝑩 = ^𝟒

𝟖=0,5 et ^𝑨𝑵 𝑨𝑪 = ^𝟑

𝟔 =0,5 On a bien ^𝑨𝑴 𝑨𝑩 = ^𝑨𝑵

𝑨𝑪 Les droites (MN) et (BC) semblent-elles parallèles ?

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Situation 2.

𝐴𝐶 ?

Les droites (MN) et (BC) semblent-elles parallèles ? non

Situation 3.

𝐴𝐶 ? 𝑨𝑴

𝑨𝑩 = ^𝟐 𝟔= ^𝟏

𝟑 et ^𝑨𝑵 𝑨𝑪 = ^𝟐,𝟓

𝟕,𝟓 = ^𝟏

𝟑 On a bien ^𝑨𝑴 𝑨𝑩 = ^𝑨𝑵

𝑨𝑪

Les droites (MN) et (BC) semblent-elles parallèles ? oui

Conclusion :

Suffit-il pour deux triangles d’avoir des longueurs de côtés proportionnelles pour obtenir des droites parallèles ?

Il ne suffit pas d’avoir des longueurs de côtés proportionnelles pour obtenir des droites parallèles.

Il faut également que les points soient alignés et dans un ordre précis.

2) Réciproque du théorème de Thalès : Propriété :

On considère le triangle ABC. Si A, M, B d’une part et A, N, C d’autre part, sont alignés dans le même ordre et si ^𝐴𝑀

𝐴𝐵 = ^𝐴𝑁

𝐴𝐶 alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

Exemple 1 :

Les droites (DE) et (BC) sont-elles parallèles ? 𝑨𝑫

𝑨𝑩= 𝟑

𝟓= 𝟎, 𝟔 𝐞𝐭 𝑨𝑬 𝑨𝑪 =𝟐

𝟑≠ 𝟎, 𝟔

!!! Il faut calculer les deux rapports séparément !!!

Comme ^𝑨𝑫

𝑨𝑩

≠

^𝑨𝑬

𝑨𝑪 alors les droites (DE) et (BC) ne sont pas parallèles.

(on parle de contraposée du théorème de Thalès)

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Exemple 2 :

Démontrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

𝑨𝑴 𝑨𝑩 =𝟐

𝟑 𝐞𝐭 𝑨𝑵 𝑨𝑪 = 𝟒

𝟔=𝟐 𝟑 Comme ^𝑨𝑴

𝑨𝑩 = ^𝑨𝑵

𝑨𝑪 et A, M, N d’une part et A, N, C d’autre part, sont alignés dans le même ordre alors, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont

parallèles.

D

ANS LA PRATIQUE

,

EN RESUME

• Quand on veut CALCULER UNE LONGUEUR dans un TRIANGLE RECTANGLE, on utilise Le théorème de Pythagore.

• Quand on veut CALCULER UNE LONGUEUR avec une CONFIGURATION DE THALES, on utilise Le théorème de Thalès

• Quand on veut DEMONTRER QU’UN TRIANGLE EST RECTANGLE connaissant des LONGUEURS, on utilise La réciproque du théorème de Pythagore.

• Quand on veut DEMONTRER QUE DES DROITES SONT PARALLELES connaissant des LONGUEURS, on utilise La réciproque du théorème de Thalès.

• Quand on veut DEMONTRER QU’UN TRIANGLE N’EST PAS RECTANGLE, on utilise

La contraposée du théorème de Pythagore.

• Quand on veut DEMONTRER QUE DES DROITES NE SONT PAS PARALLELES, on utilise La contraposée du théorème de Thalès.