Homothéties - Théorème de Thalès et sa réciproque

Homothéties - Théorème de Thalès et sa réciproque

I. Homothéties : 1) Activité :

1- a) Avec GeoGebra, à l’aide de l’icône , créer un curseur nommé ^k avec un incrément de 0,1.

b) Construire un polygone ABCD. GeoGebra va automatiquement le nommer « poly1 ».

c) Placer un point O.

d) Dans la fenêtre Saisie, taper le texte . Cela va créer l’image de ABCD par l’homothétie de centre O et de rapport k .

2- En déplaçant le point O et en faisant varier le curseur ^k , répondre aux questions suivantes.

a) Que peut-on dire de l’image A’B’C’D’ lorsque :

 k>1 : La figure est agrandie.

 ^k=1 : ABCD et A’B’C’D’ sont confondus. La figure ne change pas.

 0<k<1 : La figure est réduite.

 k=0 : Les points A’, B’, C’, D’ et O sont confondus.

 −1<k<0 : La figure est « inversée » et réduite.

 k=−1 : La figure est « inversée ». A’B’C’D’ est l’image de ABCD par la symétrie centrale de centre O.

 k←1 : La figure est « inversée » et agrandie.

b) Que peut-on dire des droites (AB) et (A’B’) ? Les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles.

c) Comment peut-on calculer la valeur de k ?

On peut calculer la valeur de k en calculant les rapports A ' B '

AB ou B ' C '

BC ou C ' D' CD ou A ' D '

AD

mais sans signe. ^k est négatif si la figure est « inversée ».

2) Définition :

Appliquer une homothétie de centre O et de rapport k ( k ≠0 ) à une figure, consiste à multiplier la distance entre O et un point de la figure par ^k (ou l’opposé de ^k lorsque ^k est négatif).

Exemples :

 k>1

O, E et E’ sont alignés.

OE’ = 2 × OE.

La figure est agrandie.

 0<k<1

O, E et E’ sont alignés.

OE’ = 0,3 × OE.

La figure est réduite.

 k<0

O, E et E’ sont alignés.

OE’ = 1,5 × OE.

La figure est « inversée » puis agrandie ou réduite.

Remarque :

Une homothétie de rapport −1 revient à une symétrie centrale.

II. Théorème de Thalès : 1) Activité GeoGebra:

1- Placer trois points distincts A, B et C, non alignés. Tracer les droites (AB), (BC), et (AC).

Placer un point M sur la droite (AB) puis construire la droite parallèle à la droite (BC) passant par le point M. Appeler N le point d’intersection de cette droite avec la droite (AC).

2- Quelles sont les différentes possibilités pour la position du point M ? Pour chacune d’elles, faire un dessin.

3- Afficher les longueurs AM, AB, AN, AC, MN et BC sur la figure.

Afficher le résultat du calcul des rapports AM

AB , AN

AC et MN

BC . Comparer les résultats et émettre une conjecture.

AM ≈ 0,7 , AB ≈ 0,93 , AN ≈ 0,45 , AC ≈ 0,6 , MN ≈ 0,8 et BC=1,06

AM

AB =0,75 AN

AC=0,75MN

BC =0,75 k=2

k=0,3

k=−1,5

Il semble que AM AB =AN

AC=MN BC

4- Déplacer les points libres A, B, C et le point lié M l’un après l’autre. La conjecture se confirme-t-elle ? La conjecture se confirme quand on déplace les points A, B, C et M.

2) Théorème de Thalès :

Le théorème de Thalès est un cas particulier d’homothétie dans un triangle, homothétie ayant pour centre un des sommets du triangle.

Dans les trois configurations de Thalès ci-dessus, les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

Propriété :

ABC est un triangle. Si M∈(AB), N∈(AC) et si (AB)/¿(MN) alors les côtés des triangles ABC et AMN ont des longueurs proportionnelles autrement dit : AM

AB = AN

AC = MN BC Application :

Calculer CB et CE.

On considère le triangle ABC , on sait que

(AB)//(DE), E ∈ (AC) et D ∈ (BC) Or d’après le théorème de Thalès : CA

CE=CB CD=AB

ED Soit1,5

CE=CB 9 =2,5

7,5 CB=9×2,5

7,5 et CE=1,5×7,5 2,5 Donc CB=3et CE=4,5

III. Réciproque du théorème de Thalès : 1) Activité :

On va se demander s’il suffit que deux triangles aient des longueurs de côtés proportionnelles pour obtenir des droites parallèles.

Situation 1.

A-t-on AM

AB = AN AC ? AM

AB = 4

8 =0,5 et AN

AC = 3

6 =0,5 On a bien AM

AB = AN AC

Les droites (MN) et (BC) semblent-elles parallèles ? Situation 2.

A-t-on AM

AB = AN AC ?

Les droites (MN) et (BC) semblent-elles parallèles ? non Situation 3.

A-t-on AM

AB = AN AC ? AM

AB = 2

6 = 1

3 et AN

AC = 2,5

7,5 = 1

3 On a bien AM

AB = AN AC

Les droites (MN) et (BC) semblent-elles parallèles ? oui Conclusion :

Suffit-il pour deux triangles d’avoir des longueurs de côtés proportionnelles pour obtenir des droites parallèles ?

Il ne suffit pas d’avoir des longueurs de côtés proportionnelles pour obtenir des droites parallèles.

Il faut également que les points soient alignés et dans un ordre précis.

2) Réciproque du théorème de Thalès : Propriété :

On considère le triangle ABC. Si A, M, B d’une part et A, N, C d’autre part, sont alignés dans le même ordre et si AM

AB = AN

AC alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

Exemple 1 :

Les droites (DE) et (BC) sont-elles parallèles ? AD

AB=3

5=0,6et AE AC=2

3≠0,6

!!! Il faut calculer les deux rapports séparément !!!

Comme AD

AB≠ AE

AC alors les droites (DE) et (BC) ne sont pas parallèles.

(on parle de contraposée du théorème de Thalès)

Exemple 2 :

Démontrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

AM AB =2

3et AN AC=4

6=2 3 Comme AM

AB = AN

AC et A, M, N d’une part et A, N, C d’autre part, sont alignés dans le même ordre alors, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

D

,

• Quand on veut ^{CALCULERUNELONGUEUR} dans un ^{TRIANGLERECTANGLE}, on utilise Le théorème de Pythagore.

• Quand on veut CALCULERUNELONGUEUR avec une CONFIGURATIONDE THALÈS, on utilise Le théorème de Thalès

• Quand on veut ^DÉMONTRERQU’^{UNTRIANGLEESTRECTANGLE} connaissant des ^LONGUEURS, on utilise La réciproque du théorème de Pythagore.

• Quand on veut ^{DÉMONTRERQUEDESDROITESSONTPARALLÈLES} connaissant des ^LONGUEURS, on utilise La réciproque du théorème de Thalès.

• Quand on veut DÉMONTRERQU’UNTRIANGLEN’ESTPASRECTANGLE , on utilise

La contraposée du théorème de Pythagore.

• Quand on veut ^{DÉMONTRERQUEDESDROITESNESONTPASPARALLÈLES} , on utilise La contraposée du théorème de Thalès.