Université de Rouen L2 Math / L2 Info Année 2014-2015
Algèbre. Fiche n◦2 Groupes
Exercice 1. [•]
On définit une loi de composition interne surRpar :
∀(a, b)∈R2, a∗b= ln(ea+eb).
Étudier les propriétés de cette loi.
Exercice 2. [•]
Soit X un ensemble et P(X) l’ensemble des parties de X. Démontrer que P(X) muni de la différence symétrique∆ est un groupe.
Exercice 3. [•]
Sur l’ensembleR\{1}, on considère la loi :
x∗y=x+y−xy pour tousx, y∈R\{1}.
(1) Montrer que∗est une loi de composition interne.
(2) Déterminer si (R\{1},∗)est un groupe.
Exercice 4. [•]
Soitn∈N∗. Montrer que les racinesn-ième de l’unité dansCforment un sous-groupe de(C∗,·).
Quel est son ordre ?
Exercice 5.
On noteUl’ensemble des nombres complexes de module1.
Montrer queUest un sous-groupe de(C∗,·).
Exercice 6. [•]
Soit(G, ?)un groupe.
On appelle centre deGet on noteZ(G), l’ensemble des éléments deGqui commutent avec tous les éléments deG.
Montrer queZ(G)est un sous-groupe de(G, ?).
Exercice 7.
SoitE un ensemble muni d’une loi interne?. On appelle translation à droite (resp. à gauche) para∈E, l’applicationda (resp.ga)deEdansE définie parda(x) =a ? x(resp.ga(x) =x ? a).
(a) Montrer que dans un groupe les translations à droite et à gauche sont des bijections.
(b) Réciproquement, si la loi?deEest associative, et que les translations à droite et à gauche sont des bijections, montrer que(E, ?)est un groupe.
Exercice 8.
Soit(G, ?)un groupe et soientG1 etG2deux sous-groupes de(G, ?). Montrer queG1∪G2est un sous-groupe de(G, ?)si et seulement si on aG1⊂G2 ouG2⊂G1.
Exercice 9. [•]
Traduire en termes d’homomorphisme de groupes les propriétés traditionnelles suivantes (1) ln(xy) = lnx+ lny
(2) |zz0|=|z||z0| (3) (xy)12 =x12y12 (4) ez+z0 =ezez0 (5) z+u=z+u.
(6) det(AB) = detAdetB
2
Exercice 10.
(a) Soit (G,·)un groupe. Montrer l’équivalence de : -i- Gest abélien.
-ii- Pour touta, b∈G, on a : (ab)2=a2b2. -iii- Pour touta, b∈G, on a : (ab)−1=a−1b−1.
-iv- L’applicationf deGdansGdéfinie parf(x) =x−1 est un automorphisme.
(b) En déduire que si pour toutx∈G,x2=e, alorsGest abélien.
Exercice 11. [•]
Déterminer les sous-groupes du groupe additifZ.
Exercice 12.
Soit(G, ?)un groupe fini, d’élément neutree. Montrer que pour tout hélément deG, l’ordre dehest égal àinf{n≥1 ;hn =e}.
Exercice 13. [•]
(a) Soit (G,·) = ({e, a, . . . , a5},·)un groupe cyclique d’ordre 6. Calculer les ordres respectifs dea, a2, . . . , a5.
(b) Soit (G,·) = ({e, a, . . . , an−1},·) un groupe cyclique d’ordre n avec n ≥ 2. Soit k ∈ {1, . . . , n−1}. On veut montrer queak est d’ordren/PGCD(n, k).
On posed=PGCD(n, k)et on rappelle qu’on peut alors écrire :n=dn1,k=dk1 avec PGCD(n1, k1) = 1.
-i- Calculer(ak)n1.
-ii- Montrer que sih∈N∗ vérifie(ak)h=e, alorsn1 diviseh. Conclure.
Exercice 14. [•]
Soit le groupeG= (Z/12Z,+).
(a) Déterminer le sous-groupeH deGengendré par6 et8, et déterminer son ordre.
(b) Caractériser les générateurs deG.
(c) Quel est l’ordre de l’élément9?
Exercice 15. [•]
Étudier les structures de groupes d’ordre inférieur ou égal à 5. Pour chaque structure, donner au moins un exemple.
Exercice 16. [•]
Soitf un morphisme de groupes de(Z/15Z,+)dans(Z/18Z,+).
(a) Montrer quef est caractérisé parf(1).
(b) Déterminer les ordres possibles def(1).
(c) En déduire la liste des morphismes de groupes de(Z/15Z,+)dans(Z/18Z,+).
Exercice 17. (Contrôle continu 1 année 2013-2014)
(1) On se place dans le groupe (Z/15Z,+).
(a) Déterminer l’ordre de¯3et de¯4.
(b) Déterminer le sous-groupeh¯6,¯9iengendré par¯6et ¯9.
(2) On se place dans(Z/nZ,+). Soient1≤k, l≤n−1etd:= PGCD(k, l). On veut montrer queh¯k,¯li=hdi.¯
(a) Montrer quek¯∈ hdi¯ et ¯l∈ hdi.¯
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(b) Montrer qued¯∈ hk,¯ ¯li.
(c) Conclure.
(3) Déterminer l’odre de(¯1,¯2)dansZ/3Z×Z/5Z. Les groupesZ/3Z×Z/5ZetZ/15Zsont-ils isomorphes ?
Exercice 18. (Contrôle continu 1 année 2013-2014)
Soit F0,b(R;R) l’ensemble des fonctions bijectives de R dans R nulles en 0. Montrer que F0,b(R;R),◦
est un groupe.
Exercice 19. (Contrôle continu 1 année 2013-2014)
(1) Soient (G,·)un groupe etf : (Z/12Z,+) −→(G,·) un morphisme de groupes. Montrer queord(f(¯1))|12
(2) Soient (G1,+),(G2,·) deux groupes et f : G1 −→ G2 un morphisme de groupes. Soit x∈G1un élément d’ordre fini. Montrer queord(f(x))|ord(x).
Exercice 20. (Contrôle continu 1 année 2013-2014)
Soit(G,·)un groupe et soientA, B deux sous-groupes deG. On note : AB={a·b : a∈A, b∈B}.
Montrer queABest un sous-groupe deGsi et seulement siAB=BA.
Note : Aucune hypothèse de commutativité n’est faite dans cet exercice. L’écriture AB=BAsignifie que :
– tout élément deGs’écrivant sous la forme x=a·b (aveca∈Aet b∈B) s’écrit aussi sous la formex=b0·a0 (avecb0 ∈B eta0 ∈A),
et
– tout élément deGs’écrivant sous la forme x=b·a(avecb∈B eta∈A) s’écrit aussi sous la formex=a0·b0 (aveca0∈A etb0 ∈B).
