Semaine 6 : Lundi : 2,87/7

Semaine 6 : Lundi : 2,87/7

1. Quels sont les idéaux de(Z,+,×)? Démontrer votre affirmation.

2. Rappeler le théorème de structure des groupes monogènes.

3. Résoudre dansC^∞(R,C), l’équation différentielley⁽³⁾−y= 0 4. Définir l’assertion ”les espaces(Fi)_i∈[1,n] sont en somme directe”.

5. SoitEun espace de dimension finie. Soitpune projection (non triviale) surF parallèlement àG. Quel est le polynôme caractéristique dep? le polynôme minimal dep?

6. Citer le lemme de décomposition des noyaux.

7. Donner des énoncés équivalents à ”f est un endomorphisme diagonalisable”.

Mardi : 2,77/7

1. Quelle est la définition de l’ordre d’un élément gd’un groupeG? Quelles sont ses caractérisations ? 2. Résoudrezⁿ= (−2).

3. Donner les formules de changement de bases.

4. Une projection est elle diagonalisable ? Une symétrie est-elle diagonalisable ?

5. Démontrer que siP etQsont premiers entre eux,Ker(P Q(f)) = KerP(f)⊕KerQ(f). 6. Donner des énoncés équivalents à ”f est un endomorphisme trigonalisable”.

Mercredi : 3,42/6

1. Énoncer le théorème d’Euler et donner sa démonstration.

2. Quelles sont les suites récurrentes réelles telles que∀n∈N, un+3= 3un+2−4un? (on remarquera que((−1)ⁿ)_n∈Nest solution)

3. Qu’est ce qu’un invariant de similitude ? Donner 5 invariants de similitude.

4. E est de dimension finie égale àn. Quel est le polynôme caractéristique d’un endomorphisme nilpotent ? 5. Rappeler la formule de Grassmann.

6. Donner la définition de la signature d’une permutation.

Jeudi

1. DéfinirlePGCD des polynômesP et Q. Comment exploiter que P et Qsont premiers entre eux ? 2. CalculerPn

k=0cos(kx)en prenant soin de ne pas diviser par 0.

3. Comment démontrer que les espaces (Fi)_i∈[1,n] sont en somme directe ? 4. Caractérisation(s) d’un endomorphisme diagonalisable ?

5. SoitE de dimensionn. Quelle est la dimension de E^p? deL(E)? de(L(E))^p? 6. Rappeler l’énoncé du théorème du rang.

Vendredi

1. Rappeler le théorème des restes chinois eten déduireque sipetnsont premiers entre eux,ϕ(np) =ϕ(n)ϕ(p) 2. Appliquer le lemme de décomposition des noyaux aux polynômes minimaux d’une projectionppuis d’une symétries. 3. Montrer que le spectre d’un endomorphismef est inclus dans l’ensemble des racines de tout polynôme annulateur de

f.

4. La matriceA= Å1 i

i −1

ãest-elle trigonalisable ? diagonalisable ?

5. Soitf un endomorphisme en dimension finie. Quelle est la dimension de l’algèbre commutative(K[f],+,◦,·)? 6. Donner la formule du déterminant d’une matriceA.

Semaine 6 : Lundi

1. Quels sont les idéaux de(Z,+,×)? Démontrer votre affirmation.

De manière générale, les idéaux d’un anneau euclidien(A,+,×)sont exactement lesnA.

SiI est un idéal de(Z,+,×):1er cas : siI={0},I= 0Z.2ème cas :siI6={0}. Alors par symétrie,I∩N^∗ 6=∅. Soitn₀= min(N^∗∩I).

D’une part, n0Z⊂I car I est un sous groupe additif.

D’autre part, si a∈I, il existeq, r tels quea=n0q+ret 06r < n0. Commer=a−n0q∈I et par statut den0, nécessairement, r= 0 eta∈n0Z.

2. Rappeler le théorème de structure des groupes monogènes. SoitG un groupe monogène.

— si Gest fini de cardinaln,G est isomorphe à(Z/nZ,+).

— si Gest infiniGest isomorphe à(Z,+)

3. Résoudre dansC^∞(R,C), l’équation différentielley⁽³⁾−y= 0

L’équation caractéristique estr³−1 = (r−1)(r²+r+ 1) = (r−1)(r−j)(r−j). D’après le lemme de décomposition des noyaux, siδ est l’opérateur de dérivation,

S= Ker(δ−Id)⊕Ker(δ−jId)⊕Ker(δ−j²Id)

Donc les solutions sont exactement les fonctions y est telles qu’il existe A, B, C complexes vérifiant ∀x∈R, y(x) = Aexp(x) +Bexp(jx) +Cexp(j²x).

4. Définir le fait que les espaces (Fi)_i∈[1,n] sont en somme directe.

Les espaces(Fi)_i∈[1,n] sont en somme directe ssi

φ: F1×F2× · · · ×Fn → Pn i=1Fi

(x1, x2, . . . , xn) 7→ x1+x2+. . . xn

est bijective.

C’est à dire que la décomposition de chaque x∈PFi est unique.

Par linéarité de φ, il suffit de vérifier que le noyau de cette application est réduit à {0}, c’est à dire que que si (x1, . . . xn)∈F1×F2× · · · ×Fn vérifiex1+· · ·+xn= 0E, alors ∀i∈[1, n], xi= 0E

5. SoitEun espace de dimension finie. Soitpune projection (non triviale) surF parallèlement àG. Quel est le polynôme caractéristique dep? le polynôme minimal dep?

E=F⊕G.χp= (X−1)^dimFX^dimG et µp=X(X−1)car Sp(f) ={0,1}.

6. Citer le lemme de décomposition des noyaux.

SoitP1, . . . Pn sont des polynômes 2 à 2 premiers entre eux, siP =QPi, sif est un endomorphisme, alors KerP(f) =⊕KerP_i(f)

7. Caractérisation(s) d’un endomorphisme diagonalisable ?

~ w w w w w w w w w w w w



• f est diagonalisable.

• E=⊕_λ∈Sp(f)Eλ

• il existe une base propre pour f

• il existe un polynôme annulateur non nul def scindé à racines simples.

• µf est scindé à racines simples

• Q

λ∈Sp(f)(X−λ) est un polynôme annulateur def

• ∀λ∈Sp(f), dim(E_λ) =m_λ

Mardi

1. Quelle est la définition de l’ordre d’un élément gd’un groupeG? Quelles sont ses caractérisations ? SoitGun groupe etg∈G.

L’application :ϕ: (Z,+)→(< g >,·)telle queϕ(k) =g^k est surjective. Son noyau est un sousgroupe de(Z,+), donc de la forme nZ. Alors ϕ˜: (Z/nZ)→(< g >,·)est un isomorphisme de groupes. Alors :

— si {n∈N^∗|gⁿ=eG} 6=∅, on poseO(g) = min{n∈N^∗|gⁿ=eG}

AlorsO(g) =Card(< g >),g^p=eG ⇔O(g)|petg^p=g^q ⇔O(g)|p−q.

— sinon, g n’est pas d’ordre fini etg^p=e_G⇔p= 0etg^p=g^q⇔p=q. 2. Résoudrezⁿ= (−2).

Une racine n-ième de(−2) = 2e^iπ est égale àz0= √ⁿ

2e^iπ/n. Donc les racincesn-ième de(−2)sont{√ⁿ

2e^i(2k+1)π/n} 3. Donner les formules de changement de bases.

Si β etβ⁰ sont des bases de E, siP est la matrice de passage de β dansβ⁰, sif ∈ L(E) etu∈E alors : en posant X =M at_β(u),X⁰=M at_β⁰(u),A=M at_β(f),B=M at_β(f),

— X=P X⁰

— B=P⁻¹AP,A=P BP⁻¹ etAP =P B.

4. Une projection est elle diagonalisable ? Une symétrie est-elle diagonalisable ?

Toute projection est diagonalisable car sipest une projection, X²−X=X(X−1)est un polynôme annulateur dep qui est scindé à racines simples.

De même, toute symétrie est diagonalisable car si s est une symétrie, X²−1 = (X −1)(X + 1) est un polynôme annulateur de squi est scindé à racines simples.

5. Démontrer que siP etQsont premiers entre eux,Ker(P Q(f)) = KerP(f)⊕KerQ(f).

Si U P +V Q= 1, si x∈ Ker(P Q(f)), on pose x₁ =U P(f)(x) et x₂ =V Q(f)(x) de sorte que x₁+x₂ = (U P + V Q)(f)(x) = (1(f))(x) =Id(x) =x.

De plus,Q(f)(x1) =QU P(f)(x) =U P Q(f)(x) =U(f)(0) = 0 etP(f)(x2) = 0.

Donc Ker(P Q(f)) = KerP(f) + KerQ(f).

Enfin, la somme est directe car si x∈KerP(f)∩KerQ(f), alors x= (U P +V Q)(f)(x) = 0 + 0 = 0.

6. Caractérisation(s) d’un endomorphisme trigonalisable ?

~ w w w w w w w w



• f est trigonalisable.

• il existe un drapeau adapté à f

• il existe un polynôme annulateur non nul def scindé

• µf est scindé

• (en DF)χf est scindé

Mercredi

1. Énoncer le théorème d’Euler et donner sa démonstration.

Si xetnsont premiers entre eux, x^ϕ(n)≡1[n].

En effet, xest inversible dansZ/nZ. Donc par théorème de Lagrange,x^{Card(Z,nZ)∗}= 1et Card(Z, nZ)^∗=ϕ(n).

2. Quelles sont les suites récurrentes réelles telles que∀n∈N, un+3= 3un+2−4un? (on remarquera que((−1)ⁿ)_n∈Nest solution)

L’équation caractéristique estr³−3r²+ 4 = (r+ 1)(r²−4r+ 4) = (r+ 1)(r−2)²= 0. D’après le lemme des noyaux, si T est l’opérateur de shift,

S= Ker(T+Id)⊕Ker(T−Id)²

Donc les solutions sont exactement les suites u telles qu’il existe A, B, C réelles vérifiant ∀n∈ N, un = A(−1)ⁿ+ (Bn+C)2ⁿ.

3. Qu’est ce qu’un invariant de similitude ? Donner 5 invariants de similitude.

Un invariant de similitude est une fonction constante sur les classes d’équivalence de la relation A ∼ B ⇔ ∃P ∈ GLn, A=P BP⁻¹.

Par exemple, le rang, la trace, le déterminant, le polynôme caractéristique, le polynôme minimal, les valeurs propres, le spectre sont des invariants de similitude.

4. E est de dimension finie égale àn. Quel est le polynôme caractéristique d’un endomorphisme nilpotent ? Si f est nilpotent, χf =Xⁿ.

5. Rappeler la formule de Grassmann.

En dimension finie,dim(F+G) = dim(F) + dim(G)−dim(F∩G) 6. Donner la définition de la signature d’une permutation.

Si σest une permutation, sa signature est égale à (−1)^I(σ)oùI(σ)est le nombre d’inversions de σ. On a aussiε(σ) =Q

16i<j6n

σ(i)−σ(j) i−j . C’est un morphisme de groupes.

Jeudi

1. DéfinirlePGCD des polynômesP et Q. Comment exploiter que P et Qsont premiers entre eux ?

Le PGCD unitaire des polynômesP et Qest l’unique polynôme unitaire qui engendre l’idéalPK[X] +QK[X]. P et Qsont premiers entre eux ssi∃(U, V)∈K[X]², U P +V Q= 1.

2. CalculerPn

k=0cos(kx)en prenant soin de ne pas diviser par 0.

Si x≡0[2π],Pn

k=0cos(kx) =n+ 1. Soitx /∈2πZ, alors

n

X

k=0

cos(kx) =

n

X

k=0

Re(e^ikx)

=

n

X

k=0

Re(e^ikx) =Re

n

X

k=0

(e^ix)^k

!

= Re 1−e^i(n+1)x 1−e^ix

!

=Re e^inx/22isin(n+ 1)x sinx

!

= cos(nx/2) sin(n+ 1)x/2 sinx/2

3. Comment démontrer que les espaces (Fi)_i∈[1,n] sont en somme directe ?

Par linéarité de φ, il suffit de vérifier que le noyau de cette application est réduit à {0}, c’est à dire que que si (x1, . . . xn)∈F1×F2× · · · ×Fn vérifiex1+· · ·+xn= 0E, alors ∀i∈[1, n], xi= 0E

4. Caractérisation(s) d’un endomorphisme diagonalisable ?

~ w w w w w w w w w w w w



• f est diagonalisable.

• E=⊕_λ∈Sp(f)Eλ

• il existe une base propre pour f

• il existe un polynôme annulateur non nul def scindé à racines simples.

• µf est scindé à racines simples

• Q

λ∈Sp(f)(X−λ) est un polynôme annulateur def

• ∀λ∈Sp(f), dim(Eλ) =mλ

5. SoitE de dimensionn. Quelle est la dimension de E^p? deL(E)? de(L(E))^p? dimE^p=np,dimL(E) =n² etdim((L(E))^p) =p×n².

6. Rappeler l’énoncé du théorème du rang.

Si f est un endomorphisme deE de dimension finie,dim(E) = dim Ker(f) + rg(f).

Vendredi

1. Rappeler le théorème des restes chinois eten déduireque sipetnsont premiers entre eux,ϕ(np) =ϕ(n)ϕ(p) Sinetpsont premiers entre eux, l’applicationφ:Z/npZ→Z/nZ×Z/pZdéfinie parφ(x mod np) = (x mod n, x mod p) est un isomorphisme d’anneaux.

En particulier, les inversibles deZ/npZs’envoient exactement sur les inversibles deZ/nZ×Z/pZ. Donc par cardinalité : ϕ(np) =ϕ(n)ϕ(p).

2. Appliquer le lemme de décomposition des noyaux aux polynômes minimaux d’une projectionppuis d’une symétries.

D’après le lemme des noyaux et le théorème de Cayley-Hamilton, pour pprojection etssymétrie, E= Ker(p²−p) = Ker(p−Id)⊕KerpetE= Ker(s²−Id) = Ker(s−Id)⊕Ker(s+Id)

3. Montrer que le spectre d’un endomorphismef est inclus dans l’ensemble des racines de tout polynôme annulateur de f.

Par récurrence, on montre que ∀k∈N, f^k(x) =λ^kx.

Par linéarité, si P =PakX^k,P(f)(x) =P(akf^k(x)) =P(akλ^kx) = (Pakλ^k)x=P(λ)x. Si xest un vecteur propre def associé à λ, en particulier, x6= 0etP(f)(x) = 0. Donc P(λ) = 0.

4. La matriceA= Å1 i

i −1

ãest-elle trigonalisable ? diagonalisable ?

χA= (X−1)(X+ 1) + 1 =X². DoncSp(A)est un singleton. Si A était diagonalisable, A devrait être semblable à 0, donc nulle. DoncA n’est pas diagonalisable.

Par contre,A est trigonalisable comme toute matrice complexe et remarquons queAest symétrique...

5. Soitf un endomorphisme en dimension finie. Quelle est la dimension de l’algèbre commutative(K[f],+,×,·)? f admet un polynôme minimal car l’idéalIf des polynômes annulateurs def n’est pas réduit à{0}.

Alors (Id, f, . . . f^d−1)est une base deK[f]etdim(K[f]) =doùd=deg(µf) 6. Donner la formule du déterminant d’une matriceA.

det((ai,j)) =P

σ∈Σ_nε(σ)Qn

i=1a_i,σ(i)

7. Donner les formules de changement de bases.

Si β etβ⁰ sont des bases de E, siP est la matrice de passage de β dansβ⁰, sif ∈ L(E) etu∈E alors : en posant X =M atβ(u),X⁰=M atβ⁰(u),A=M atβ(f),B=M atβ(f),

— X=P X⁰

— B=P⁻¹AP,A=P BP⁻¹ etAP =P B.